1.1 代数基本概念.ppt

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1、信息工程大学信息工程大学信息工程大学信息工程大学 电子技术学院电子技术学院电子技术学院电子技术学院 二、群的性质二、群的性质 1.11.1群的定义和性质群的定义和性质 一、群的定义一、群的定义 三、群的判别三、群的判别 一群的定义一群的定义 定义定义1.2.11.2.1设设 是一个非空集合是一个非空集合,若对若对 中任意中任意两个元素两个元素 通过某个法则通过某个法则“”，有有 中惟一确定的中惟一确定的则称法则则称法则“”为集合上的一个为集合上的一个代数运代数运元素元素 与之对应与之对应,算（算（algebraic operationalgebraic operation）元素元素 是是 通过

2、运通过运 算算“”作用的结果作用的结果,我们将此结果记为我们将此结果记为例例有理数的加法、减法和乘法都是有理数集有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q Q上的代数运算上的代数运算,除法不是除法不是Q Q上的代数运算如果只考上的代数运算如果只考 虑所有非零有理数的集合虑所有非零有理数的集合Q Q*,则除法是则除法是Q Q*上的代数运上的代数运算算.剩余类集对剩余类集对 ，规定，规定例例 设设 为大于为大于1 1的正整数，的正整数，为为 的模的模则则“”与与“”都是都是 上的代数运算上的代数运算证证我们只要证明我们只要证明,上面规定的运算与剩余类上面规定的运算与剩余类的代表元的选取的代表元的选取无

3、关即可设无关即可设 则则 于是于是 从而从而 所以所以+与与 都是都是 上的代数运算上的代数运算.一个代数运算，即对所有的一个代数运算，即对所有的 有有 如如 果果 的运算还满足的运算还满足(G1)结合律，即对所有的结合律，即对所有的 有；有；定义定义1.2.21.2.2设设 是一个非空集合，是一个非空集合，“”是是 上的上的(G2)中有元素中有元素 ，使对每个，使对每个 ，有，有(G3)对对 中每个元素中每个元素 ，存在元素，存在元素 ，使，使 在不致引起混淆的情况下在不致引起混淆的情况下,也也 称为群称为群 则称则称 关于运算关于运算“”构成一个构成一个群（群（groupgroup），），

4、记作记作 （unit elementunit element）或恒等元（或恒等元（identityidentity）；）；注注1 1(G2)G2)中的元素中的元素 称为群称为群 的单位元的单位元(G3)(G3)中的元素中的元素 称为称为 的逆元（的逆元（inverseinverse）我们将证明：群我们将证明：群 的单位元的单位元 和每个元素的逆元和每个元素的逆元都是都是惟一的惟一的 中元素中元素 的惟一的逆元通常记作的惟一的逆元通常记作 （commutative groupcommutative group）或阿贝尔群（或阿贝尔群（abelian abelian groupgroup)，有有

5、，则称，则称 是一个交换群是一个交换群3群群 中元素的个数称为群中元素的个数称为群 的阶（的阶（orderorder），），记为记为 如果如果 是有是有 限数限数,则称则称 为有限群为有限群 2如果群如果群 的运算还满足交换的运算还满足交换律，即对任意的律，即对任意的（finite groupfinite group），），否则称否则称 为无限群为无限群（infinite group).).例例整数集整数集 关于数的加法构成群这个群关于数的加法构成群这个群称为整数加群称为整数加群 证证对任意的对任意的 ，有有 ，所以所以“”是是 上的一个代数运上的一个代数运算同时，对任意的算同时，对任意的 ,

6、有有所以结合律成立所以结合律成立.又对每个又对每个 有有 从而从而 关于关于“”构成群，显然构成群，显然这是一个交换群这是一个交换群所以所以0为为 的单位元的单位元.所以所以 是是 的逆元的逆元.另一方面另一方面 ，且且 有有 注注1 1当群的运算用加号当群的运算用加号 “”表示时，通常表示时，通常将将 的单位元记作的单位元记作0 0，并称，并称0 0为为 的零元；将的零元；将的逆元记作的逆元记作 ,并称并称 为为 的负元的负元2习惯上，只有当群为交换群时，才用习惯上，只有当群为交换群时，才用“”来表来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做

7、和，同时称这样的群为加群相应地结果叫做和，同时称这样的群为加群相应地,将将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，运算的结果叫做积在运算过程中，乘群的运算符号运算的结果叫做积在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写今后，如不作特别声明，我们总假定通常省略不写今后，如不作特别声明，我们总假定群的运算是乘法当然群的运算是乘法当然,所有关于乘所有关于乘群的结论对加群群的结论对加群也成立（必要时也成立（必要时,作一些相关的作一些相关的记号和术语上改变）记号和术语上改变）例例全体非零有理数的集合全体非零有理数的集合Q Q*关于数的乘法关于数的乘法构成交

8、换群构成交换群,这个群的单位元是数这个群的单位元是数1 1，非零有理数，非零有理数 的逆元是的逆元是 的倒数的倒数 同理，全体非零实数的同理，全体非零实数的 集集R R*、全体非零复数的集合全体非零复数的集合 关于数的乘法也关于数的乘法也构成交换群构成交换群例例实数域实数域R R上全体上全体 阶方阵的集合阶方阵的集合 ，关于矩阵的加法构成一个交换群全体关于矩阵的加法构成一个交换群全体 阶可逆阶可逆方阵的集合方阵的集合 关于矩阵的乘法构成群，关于矩阵的乘法构成群，群中的单位元是单位矩阵群中的单位元是单位矩阵 ，可逆方阵，可逆方阵的逆元是的逆元是 的逆矩阵的逆矩阵 当当 时，时，是一个非交换群是一

9、个非交换群例例集合集合 关于数的乘法构成交换群关于数的乘法构成交换群关于数的乘法构成一个关于数的乘法构成一个 阶交换群阶交换群例例全体全体 次单位根组成的集合次单位根组成的集合证证(1)(1)对任意的对任意的 ，因为，因为 ,所以所以 因此因此 于是于是“”是是 的代数运算的代数运算 的乘法也满足交换律和结合律的乘法也满足交换律和结合律 (2)因为数的乘法满足交换律和结合律，所以因为数的乘法满足交换律和结合律，所以(3)由于由于 ，且对任意的，且对任意的 ，所以所以1 1为为 的单位元的单位元 (4)对任意的对任意的 ，有，有 ，且，且 所以所以 有逆元有逆元 因此因此 关于数的乘法构成一个群

10、通常称这个关于数的乘法构成一个群通常称这个群为群为 次单位根群，显然次单位根群，显然 是一个具有是一个具有 个元素的交换群个元素的交换群例例设设 是大于是大于1 1的正整数，则的正整数，则 关于剩余关于剩余 类的加法构成加群类的加法构成加群.这个群称为这个群称为 的模的模 剩余类加剩余类加群群 证证(1)(1)由由例例知，剩余类的加法知，剩余类的加法“”是是 的的 代数运算代数运算 (2)对任意的对任意的 ，所以结合律成立所以结合律成立 (3)对任意的对任意的 ,所以交换律成立所以交换律成立(4)对任意的对任意的 ，且且所以所以0 0为为 的零元的零元 (5)对任意的对任意的 ,且且所以所以

11、为为 的负元的负元从而知，从而知，关于剩余类的加法构成加群关于剩余类的加法构成加群例例设设 是大于是大于1的正整数，记的正整数，记则则 关于剩余类的乘法构成群关于剩余类的乘法构成群 证证(1)(1)对任意的对任意的 ，有，有 于是于是 ，从而，从而 所以剩余类的乘法所以剩余类的乘法“”是是 的代数运算的代数运算 (2)对任意的对任意的 所以结合律成立所以结合律成立.(3)因为因为 ，从而，从而 ，且对任意的，且对任意的 所以所以1 1是是 的单位元的单位元 (4)对任意的对任意的 ，有，有 ，由由整数的性质可知，存在整数的性质可知，存在 ，使，使所以所以 ，且，且显然显然所以所以 为为 的逆元

12、的逆元从而知，从而知，的每个元素在的每个元素在中都可逆中都可逆 这就证明了这就证明了 关于剩余类的乘法构成群关于剩余类的乘法构成群注注(1)(1)群群 称为称为 的模的模 单位群，显单位群，显然这是一个交换然这是一个交换群当群当 为素数时，为素数时，常记作常记作 .易知，易知，(2)由初等数论可知（参见由初等数论可知（参见11），），的阶等于的阶等于 ,这里这里 是欧拉函数如果是欧拉函数如果其中其中 为的为的 不同素因子，那么不同素因子，那么例例1010具体写出具体写出 中任意两个个元素的乘积以中任意两个个元素的乘积以 及及每一个元素的逆元素易知每一个元素的逆元素易知直接计算，可得直接计算，可

13、得 表表1.2.11.2.1由表中很容易看出由表中很容易看出注注观察表观察表1.2.11.2.1，我们发现可以把表，我们发现可以把表1.2.11.2.1表表示示为更加简单的形式（见表为更加简单的形式（见表1.2.21.2.2）表表1.2.21.2.2123411234224133314244321形如表形如表1.2.21.2.2的表通常称为群的乘法表的表通常称为群的乘法表 （multiplication tablemultiplication table），），也称群表（也称群表（group tablegroup table）或凯莱表（或凯莱表（CayleyCayley table table

14、）人们常用群表来表述人们常用群表来表述 有限群的运算有限群的运算如下表所示：如下表所示：ebeebaa 在一个群表中在一个群表中,表的左上角列出了群的运算表的左上角列出了群的运算符号（有时省略），表的最上面一行则依次列出符号（有时省略），表的最上面一行则依次列出群的群的所有元素（通常单位元列在最前面），表的所有元素（通常单位元列在最前面），表的最左最左列按同样的次序列出群的所有元素表中的列按同样的次序列出群的所有元素表中的其余其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘的乘积积 又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，又如果一个群的群表是对称的，则可以肯

15、定，这个这个群一定是交换群群一定是交换群 注意，在乘积注意，在乘积 中，左边的因子中，左边的因子 总是总是 左列上的元素左列上的元素,右边的因子右边的因子 总是最上面一行的总是最上面一行的元素由群表很容易确定一个元素的逆元素元素由群表很容易确定一个元素的逆元素 二群的性质二群的性质定理定理1.2.11.2.1设设 为群，则有为群，则有 (1)群群 的单位元是惟一的的单位元是惟一的；(2)群群 的每个元素的逆元是惟一的的每个元素的逆元是惟一的；(3)对任意的对任意的 ，有有 ；(4)对任意的对任意的 ，有有 ；(5)在群中消去律成立在群中消去律成立，即设即设 ，如果如果 ，或或 ，则则 证证(1

16、)(1)如果如果 都是都是 的单位元，则的单位元，则（因为（因为 是是 的单位元），的单位元），因此因此 所以单位元是惟一的所以单位元是惟一的 （因为（因为 是是 的单位元），的单位元），(2)设设 都是都是 的逆元，则的逆元，则于是于是 所以所以 的逆元是惟一的的逆元是惟一的 (3)(3)因为因为 是是 的逆元，所以的逆元，所以从而由逆元的定义知，从而由逆元的定义知，是是 的逆的逆元又由逆元元又由逆元的的惟一性得惟一性得 及及从而由逆元的惟一性得从而由逆元的惟一性得 (5)如果如果 ，则，则 同理可证另一消去律同理可证另一消去律(4)直接计算可得直接计算可得定理定理1.2.21.2.2设设

17、是群，那么对任意的是群，那么对任意的 ，方程方程 及及在在 中都有惟一解中都有惟一解 证证取取 ，则，则所以方程所以方程 有解有解 同理可证另一方程也有惟一解同理可证另一方程也有惟一解 又如又如 为方程为方程 的任一解，即的任一解，即 则则这就证明了惟一性这就证明了惟一性 指数与指数法则指数与指数法则元素的乘积与运算的顺序无关，因此可以简单元素的乘积与运算的顺序无关，因此可以简单群的定义中的结合律表明，群中群的定义中的结合律表明，群中 三个三个进一步可知，在群进一步可知，在群 中，任意中，任意 个元素个元素 可以写成可以写成 .地写成地写成的乘积与运算的顺序无关，因此的乘积与运算的顺序无关，因

18、此对任意的正整数对任意的正整数 ，定义，定义 再约定再约定 （为正整数）为正整数）则则 对任意整数都有意义，并且不难证明：对任意整数都有意义，并且不难证明：据此据此,我们可以定义群的元素的方幂我们可以定义群的元素的方幂 对任对任意的意的 有下列的指数法则有下列的指数法则(1)；(2)(3)如果如果 是交换群，则是交换群，则 （如果（如果 不是交换群，一般不成立）不是交换群，一般不成立）当当 是加群时是加群时,元素的方幂则应改写为倍数元素的方幂则应改写为倍数相应地相应地,指数法则变为倍数法则：指数法则变为倍数法则：(1)(2)(3)（因为加群是交换群，所以（因为加群是交换群，所以（3 3）对加群

19、总是成立的）对加群总是成立的）定理定理1.2.31.2.3设设 是一个具有代数运算的非空是一个具有代数运算的非空 集合，集合，则则 关于所给的运算构成群的充分必要条件是关于所给的运算构成群的充分必要条件是 三群的判别三群的判别(1)的运算满足结合律；的运算满足结合律；(2)中有一个元素中有一个元素 （称为（称为 的左单位元的左单位元）,使对使对 任意的任意的 有有(3)对对 的每一个元素的每一个元素 ，存在，存在 （称为（称为 的的左逆元），使左逆元），使 这里这里 是是 的左单位元的左单位元证证必要性必要性由群的定义，这是显然的由群的定义，这是显然的充分性充分性只需证只需证:是是 的单位元的

20、单位元,，是是 的的 逆元即可逆元即可 设设 由条件由条件(3)(3)知，存在知，存在 使使而对于而对于 也存在也存在 使使于是于是进而由条件（进而由条件（1）知，）知，为群为群 由条件由条件(2)(2)及式及式(3)(3)知，是知，是 的单位元的单位元 是是 的逆元，的逆元，且且注注这个定理说明，一个具有乘法运算的非空这个定理说明，一个具有乘法运算的非空集合集合 ，只要满足结合律，有左单位元，每个元，只要满足结合律，有左单位元，每个元素素有左逆元，就构成一个群有左逆元，就构成一个群同理可证，一个具有乘法运算的非空集合同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 ，如，如 果满足结合律，有右单位元，且

21、果满足结合律，有右单位元，且 中每个元素有中每个元素有右逆元，则右逆元，则 构成群构成群 定理定理1.2.41.2.4设设 是一个具有乘法运算且满足结是一个具有乘法运算且满足结 合律的非空集合，则合律的非空集合，则 构成群的充分必要条件是：构成群的充分必要条件是：对任意的对任意的 方程方程 及及 在在 中有解中有解.证证必要性必要性已证（见已证（见定理定理1.2.2）充分性充分性任取任取 ，由条件知，由条件知，有解，有解，设为设为 ，则，则 .又对任意的又对任意的 ，有解有解,设为设为 设为设为 于是于是从而知从而知 是是 的左单位元的左单位元 其次，对每个其次，对每个 ，有解，设有解，设为为

22、 .于是于是从而知从而知 有左逆元有左逆元 于是由于是由定理定理1.2.3知，构成群知，构成群 例例1111设设 是一个具有乘法运算的非空有限集合，是一个具有乘法运算的非空有限集合，如果如果 满足结合律，且两个消去律成立，满足结合律，且两个消去律成立，则则 是一是一个群个群对任意的对任意的 考察考察 与与 ，如果如果 证证设设则由左消去律得，则由左消去律得，于是于是 这说明，这说明，同理可证，方程同理可证，方程 在在 中也有解中也有解 从而由从而由定理定理1.2.41.2.4知，知，是群是群 所以所以因因 故必存在故必存在 ，使，使 这说明，方程这说明，方程 在在 中有解中有解是是 中中 个不同的元素因个不同的元素因 ，参考文献及阅读材料参考文献及阅读材料1 潘承洞，潘承彪初等数论北京：潘承洞，潘承彪初等数论北京：北京大学出版社，北京大学出版社，19982 中国大百科全书数学北京，上海：中国大百科全书数学北京，上海：中国大百科全书出版社，中国大百科全书出版社，19883 数学百科全书数学百科全书(第二卷第二卷)北京：北京：科学出版社，科学出版社，1995