牛顿迭代法的基本思想.ppt

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1、 Newton迭代法的基本思想迭代法的基本思想l设 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在 处作泰勒展开l若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性方程l设 ,令其解为 ,得 l （1)l这称为f(x)=0的牛顿迭代格式。下一页它对应的迭代方程为 显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为 在 f(x)=0的根 的某个邻域 内,在 的邻域R 内，对任意初值 ，应用应用由公式（1）来解方程的方来解方程的方法就称为法就称为牛顿迭代法牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.返回下一页上一页牛顿法的几何意义l由（1）式知

2、 是点 处 的切线 与X轴的交点的横坐标（如图）。也就是说，新的近似值 是用代替曲线y=f(x)的切线与x 轴相交得到的。继续取点 ,再做切线与x轴相交，又可得 。由图可见，只要初值取的充分靠近 ,这个序列就会很快收敛于 。lNewtonNewton迭代法又称切线法迭代法又称切线法下一页上一页返回返回下一页上一页牛顿迭代法的步骤l步一、准备。选定初始近似值 ，计算l步二、迭代。按公式 迭代一次，得到新的近似值 ，计算l步三、控制。如果 满足 。则终止迭代，以 作为所求的根；否则转步四。此处 是允许误差,返回下一页上一页而 。其中c是取绝对值或相对误差的控制常数，一般可取c=1。步四、修改。如果

3、迭代次数达到预定指定的次数N，或者 则方法失败；否则以 代替 转步二继续迭代。返回下一页上一页例题例题例1:用牛顿法求下面方程的根 解 因 ,所以迭代公式为 选取 ,计算结果列于下表从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了四次迭代就得到了较满意的结果.返回下一页上一页例2 计算 的近似值。=10-6 x0=0.88 解：令x=问题转化为求(x)=x2-0.78265=0的正根由牛顿迭代公式 xk+1=xk-(xk)/(xk)=xk/2+0.78265/2xk 迭代结果 k 0 1 2 3 xk 0.880000 0.884688 0.884675 0.884675 满足了精度要求

4、=0.884675 返回下一页上一页返回下一页上一页2)修正Newton法求m重根迭代公式 注：若 是方程 的m重根，而 在 的某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具有至少二阶的收敛速度。因为：上一页下一页返回考察函数用定义求导Tailor展开所以由定理2知至少是二阶收敛上一页下一页返回牛顿迭代法的优缺点牛顿迭代法的优缺点1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。2、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。返回下一页上一页设(x)在有根区间(a,b)上存在二阶导数，且满足（1）(a)(b)0。则牛顿迭代序列xi收敛于(x)=0 在(a,b)内唯一的根。判别判别Newton 法收敛的充分条件法收敛的充分条件返回上一页