线性代数讲义3_向量空间.pptx

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1、线性代数讲义3向量空间张宏浩12015/10/19n 维向量及其线性运算维向量及其线性运算v n 维向量空间维向量空间 Rn Rn 中任一元素称为一个中任一元素称为一个 n 维向量维向量.称称 ai 为向量为向量 a=(a1,an)的的第第 i 个坐标个坐标分量分量.以以 ai(i=1,n)为第为第 i 个坐标的向量可写成列形式个坐标的向量可写成列形式 坐标全为零的向量称为坐标全为零的向量称为零向量零向量,记为记为 0.坐标完全一样的两向量坐标完全一样的两向量 a,b 称为称为相等向量相等向量,记为记为 a=b.2015/10/192v 向量的加法运算向量的加法运算 设向量设向量 a=(a1,

2、an),b=(b1,bn),定义定义称称 a+b 为为 a 与与 b 的和的和.v 向量的数乘运算向量的数乘运算 规定规定 称称 ka 为数为数 k 与向量与向量 a 的乘积的乘积.称称 (-1)a 为向量为向量 a 的的负向量负向量,记为记为 -a.设向量设向量 a=(a1,an),k为实数为实数,定义定义 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算线性运算.2015/10/193例例 设设 x x1,x xn-r 为方程组为方程组 Ax=0 的一个的一个基础解系基础解系,向量向量组的线性组合组的线性组合 对对 Ax=0 的任一解向量的任一解向量 x,若

3、干同维向量的集合若干同维向量的集合,称称向量组向量组.向量组的一部分称向量组的一部分称部分组部分组.例例 设设 称称为为 n 维维单位坐标向量组单位坐标向量组.任一向量任一向量可唯一地表示为可唯一地表示为 则则存在一组数存在一组数 k1,kn-r ,使使2015/10/194v 线性组合线性组合 给定向量组给定向量组 a1,am,对任一数组对任一数组 k1,km,称向量称向量为向量组为向量组 a1,am 的一个线性组合的一个线性组合,称称 k1,km 为这个为这个线性组合的线性组合的表示表示系数系数.并称并称 b 可由可由 a1,am 线性表示线性表示.例例 设矩阵设矩阵 A=(a1,am),

4、线性方程组线性方程组 Ax=b 有一组有一组解解 xi=ki(i=1,m),也即也即 线性线性方程方程组组 Ax=b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是:向量向量 b 可由矩阵可由矩阵 A 的的列向量组列向量组线性表示线性表示.约定约定:非特别交待时非特别交待时,向量都采用向量都采用列形式列形式.2015/10/195练习练习1 判断向量判断向量 与与 是否为是否为 向量组向量组 的线性组合的线性组合.若是若是,写出表示式写出表示式.解解 同时解方程组同时解方程组 和和 的解为的解为因此因此 无解无解,因此因此 b2 不可由不可由 a1,a2 线性表示线性表示.2015/10/196向量

5、向量组的线性相关性组的线性相关性 线性线性方程方程组组 Ax=b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是:向量向量 b 可由矩阵可由矩阵 A 的的列向量组列向量组线性表示线性表示.若线性若线性方程方程组组 Ax=b 有有无穷多无穷多解解,则向量则向量 b 可用可用矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组的无穷多个的无穷多个线性线性组合来线性表示组合来线性表示.设向量设向量 b 有两个线性表示式有两个线性表示式和和则有则有 b 的两个表示式不同的两个表示式不同,也即存在一组也即存在一组不全为零不全为零的数的数 使成立使成立2015/10/197v 线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 如果存在

6、一组如果存在一组不全为零不全为零的数的数 使使那么称那么称线性相关线性相关.否则否则,称称线性无关线性无关.v 基本性质基本性质 (1)若向量若向量 b 可由向量组可由向量组 a1,am 线性表示线性表示,当当 a1,am 线性相关时线性相关时,表示式不唯一表示式不唯一;当当 a1,am 线性无关时线性无关时,表示式唯一表示式唯一.(2)若部分组线性相关若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关则任一部分组也线性无关.则向量组则向量组b,a1,am 线性相关线性相关.2015/10/198 a1,am 线性无关

7、线性无关,也即向量方程也即向量方程只有零解只有零解.v 线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 使使v 定理定理1 设矩阵设矩阵 的充分必要条件是的充分必要条件是 R(A)=m.提示提示:m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 只有零解的充分必只有零解的充分必要条件是要条件是 R(A)=m.如果存在一组如果存在一组不全为零不全为零的数的数 那么称那么称线性相关线性相关.否则否则,称称线性无关线性无关.则向量组则向量组线性无关线性无关 2015/10/199 方阵方阵 A 的列向量组线性相关的充要条件为的列向量组线性相关的充要条件为|A|=0.a1,am 线性无关线性无关,也即向量方

8、程也即向量方程只有零解只有零解.v 线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 使使v 定理定理1 设矩阵设矩阵 的充分必要条件是的充分必要条件是 R(A)=m.齐次线性方程组的基础解系线性无关齐次线性方程组的基础解系线性无关.如果存在一组如果存在一组不全为零不全为零的数的数 那么称那么称线性相关线性相关.否则否则,称称线性无关线性无关.则向量组则向量组线性无关线性无关 2015/10/1910解解1 练习练习2 讨论向量组讨论向量组 的线性相关性的线性相关性.设方阵设方阵化化 A 为行阶梯形为行阶梯形:当当 a -1,4 时时,R(A)=3,线性无关线性无关;当当 a=-=-1 或或 a=4

9、 时时,R(A)=2,线性相关线性相关.2015/10/1911解解2 设方阵设方阵当当 a -1,4 时时,|A|0,线性无关线性无关;当当 a=-=-1 或或 a=4 时时,|A|=0,线性相关线性相关.则则练习练习2 讨论讨论向量组向量组 的线性相关性的线性相关性.2015/10/1912证证1 将将 b1,b2,b3 的表示式代入的表示式代入,并整理得并整理得因因 a1,a2,a3 线性无关线性无关,故有故有由于系数行列式由于系数行列式因此因此(2)(从而从而(1)只有零解只有零解,线性无关线性无关.所以所以(2)(1)设存在一组数设存在一组数 x1,x2,x3,使使练习练习3设向量组

10、设向量组 a1,a2,a3 线性无关线性无关,试证向量组试证向量组 b1,b2,b3 也线性无关也线性无关.2015/10/1913证证2 线性无关线性无关.即即把已知条件合写成把已知条件合写成记作记作 B=AK,因因|K|=-=-1,知知 K 可逆可逆,于是于是 R(B)=R(A).因因 A 的列向量组线性无关的列向量组线性无关,知知 R(A)=3.所以所以 R(B)=3.于是于是 B 的的3个列向量线性无关个列向量线性无关,设向量组设向量组 a1,a2,a3 线性无关线性无关,练习练习3试证向量组试证向量组 b1,b2,b3 也线性无关也线性无关.2015/10/1914则向量则向量 b

11、可由可由 a1,ar 线性表示线性表示.设向量组设向量组 a1,ar 线性无关线性无关,v 定理定理2证明证明 故存在一组不全为故存在一组不全为0的数的数 使使假设假设 k=0,则则 k1,kr 不全为不全为0,且有且有这与这与 a1,ar 线性无关矛盾线性无关矛盾.因此因此 k 0,于是于是若若 a1,ar,b 线性相关线性相关,因因 a1,ar,b 线性相关线性相关,2015/10/1915练习练习4 设向量组设向量组 a1,a2,a3 线性相关线性相关,向量组向量组 a2,a3,a4 线性无关线性无关,证明证明 (1)a1 能由能由 a2,a3 线性表示线性表示;(2)a4 不能由不能由

12、 a1,a2,a3 线性表示线性表示.证明证明 (1)因因 a2,a3,a4 线性无关线性无关,于是于是 a2,a3 线性无关线性无关,而而 a1,a2,a3 线性相关线性相关,因此因此 a1 能由能由 a2,a3 线性表示线性表示.(2)用反证法用反证法.假设假设 a4 能由能由 a1,a2,a3 线性表示线性表示,a1 能由能由 a2,a3 线性表示线性表示,从而从而 a4 能由能由 a2,a3 线性表示线性表示,所以所以 a2,a3,a4 线性相关线性相关,这与这与 a2,a3,a4 线性无关矛盾线性无关矛盾.由由(1)知知v 定理定理2则向量则向量 b 可由可由 a1,ar 线性表示线

13、性表示.设向量组设向量组 a1,ar 线性无关线性无关,若若 a1,ar,b 线性相关线性相关,v 定理定理2v 定理定理2*设向量组设向量组 a1,ar 线性无关线性无关,若向量若向量 b 不可由向量不可由向量则向量则向量 b 可由可由 a1,ar 线性表示线性表示.设向量组设向量组 a1,ar 线性无关线性无关,若若 a1,ar,b 线性相关线性相关,组组 a1,ar 线性表示线性表示,则则 a1,ar,b 线性无关线性无关.2015/10/1917向量向量组的秩和最大无关组组的秩和最大无关组 设设 A 为一为一 n 维向量组维向量组(A 0),A 中任一线性无关向量组所含向量个数不多于中

14、任一线性无关向量组所含向量个数不多于 n 个个.提示提示:这是因为这是因为当当 s n 时时,n 维向量组维向量组 a1,as 线性相关线性相关.A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值中线性无关向量组所含向量个数存在最大值:存在正整数存在正整数 r,使得使得 A 中有中有 r 个向量线性无关个向量线性无关,而而 A 中任意多于中任意多于 r 个向量个向量(若存在的话若存在的话)线性相关线性相关.v 向量组的秩向量组的秩 设设 A 为一向量组为一向量组,A 中线性无关向量组所含向量个数的最大值中线性无关向量组所含向量个数的最大值 r,称为向量组称为向量组 A 的秩的秩,记为记为 R(A).规

15、定规定0的秩为的秩为 0.v 向量组的最大无关组向量组的最大无关组 设向量组设向量组 A 的秩为的秩为 r,如果如果 a1,ar 为为 A 中一个线中一个线性无关向量组性无关向量组,那么称那么称 a1,ar 为为 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.v 最大无关组的性质最大无关组的性质 设设 A 为一向量组为一向量组,则部分组则部分组 a1,ar 为为 A 的一个最的一个最大无关组的充分必要条件是大无关组的充分必要条件是(2)A 中任一向量可由中任一向量可由 a1,ar 线性表示线性表示.(1)a1,ar 线性无关线性无关;必要性必要性:提示提示:则向量则向量 b 可由可由 a1,ar 线性

16、表示线性表示.设向量组设向量组 a1,ar 线性无关线性无关,若若 a1,ar,b 线性相关线性相关,从略从略.v 向量组的最大无关组向量组的最大无关组 设向量组设向量组 A 的秩为的秩为 r,如果如果 a1,ar 为为 A 中一个线中一个线性无关向量组性无关向量组,那么称那么称 a1,ar 为为 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.v 最大无关组的性质最大无关组的性质 设设 A 为一向量组为一向量组,则部分组则部分组 a1,ar 为为 A 的一个最的一个最大无关组的充分必要条件是大无关组的充分必要条件是(2)A 中任一向量可由中任一向量可由 a1,ar 线性表示线性表示.(1)a1,ar

17、线性无关线性无关;于是于是设设 b1,bs 为为A 中向量中向量,s r.充分性充分性:存在数存在数 kij,使得使得故故b1,bs 线性相关线性相关.因此因此 r为秩为秩,a1,ar 为最大无关组为最大无关组.例例 设设 x x1,x xn-r(r=R(A)为为 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 的一个的一个基础解系基础解系,S 为方程组为方程组 Ax=0 的的解集解集,则有则有因基础解系线性无关因基础解系线性无关,且且 S 中的任一向量可由基础中的任一向量可由基础解系线性表示解系线性表示,故基础解系是故基础解系是 S 的一个最大无关组的一个最大无关组.n 元方程组元方程组 A

18、x=0 的解集的解集 S 的秩等于的秩等于 n-R(A).Ax=0 的解集的解集 S 的一个最大无关组也即基础解系的一个最大无关组也即基础解系.证明证明 若若 x 满足满足 Ax=0,则有则有 AT(Ax)=0,即即 (ATA)x=0;若若 x 满足满足 (ATA)x=0,则有则有 xT(ATA)x=0,(Ax)T(Ax)=0,设设 aT=(=(a1,an),则则 提示提示:综上可知综上可知 Ax=0 与与 (ATA)x=0 同解同解,从而从而 Ax=0.练习练习5 证明证明 设其解集为设其解集为 S,x 为为 n 元未知量元未知量,则有则有 初等行变换保持矩阵的列向量组的初等行变换保持矩阵的

19、列向量组的线性关系线性关系.证明证明 设矩阵设矩阵 A 经初等行变换化为矩阵经初等行变换化为矩阵 B.设矩阵设矩阵 A 的列向量组有一的列向量组有一线性关系线性关系因为矩阵因为矩阵 A 与与 B 行等价行等价,所以所以 Ax=0 与与 Bx=0 同解同解,由此可知也有由此可知也有v 定理定理1 记记v 定理定理1 初等行变换保持矩阵的列向量组的初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系线性关系.例例3 设设的秩为的秩为3,一个最大无关组为一个最大无关组为易知易知且有且有 的秩为的秩为3,一个最大无关组为一个最大无关组为因此因此且有且有 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩行最简形矩阵的秩等于它的列

20、向量组的秩.矩阵的秩等于它的矩阵的秩等于它的(行行)列向量组的秩列向量组的秩.注注:R(a1,am)既表示向量组的秩既表示向量组的秩,也表示矩阵的秩也表示矩阵的秩.v 秩与最大无关组的一个算法秩与最大无关组的一个算法 例例3 设设的秩为的秩为3,一个最大无关组为一个最大无关组为易知易知且有且有 的秩为的秩为3,一个最大无关组为一个最大无关组为因此因此且有且有 化化矩矩阵阵 A为为行行最最简简形形 A0,通通过过观观察察 A0,便便知知 A的的列列向向量量组组的的秩秩和和一一个个特特定定的的最最大大无无关关组组,以以及及 A的的其其余余列列向量在该最大无关组下的线性表示向量在该最大无关组下的线性

21、表示.解解 一个最大无关组为一个最大无关组为且有且有 练习练习6 设设(1)求求 a1,a2,a3,a4,a5 的秩和一个最大无关组的秩和一个最大无关组;(2)求其余向量在此最大无关组下的线性表示求其余向量在此最大无关组下的线性表示.矩阵矩阵 (a1,a2,a3,a4,a5)的行最简形为的行最简形为a1,a2,a3,a4,a5 的秩为的秩为3,若向量组若向量组 B 中的任一向量都可由向量组中的任一向量都可由向量组 A 中的向中的向量线性表示量线性表示,就称向量组就称向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.v 等价向量组等价向量组 可以相互线性表示的两个向量组可以相互线性表示的两

22、个向量组,称等价向量组称等价向量组.向量组的等价具有向量组的等价具有反身性、对称性和传递性反身性、对称性和传递性.向量组的线性表示具有向量组的线性表示具有传递性传递性:v 线性表示线性表示 若向量组若向量组 C 可由向量组可由向量组 B 线性表示线性表示,向量组向量组 B 可可由向量组由向量组 A 线性表示线性表示,则向量组则向量组 C 可由向量组可由向量组 A 线性线性表示表示.等价等价向量组向量组证明证明 设设 a1,ar 为向量组为向量组 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.向量组向量组 B 也可由也可由a1,ar 线性表示线性表示.因此因此 a1,ar 为为(A,B)的一个最大无关组

23、的一个最大无关组,因向量组因向量组 A 可由可由 a1,ar 线性表示线性表示,线性表示的传递性线性表示的传递性,向量组向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是v 定理定理3其中其中 (A,B)表示向量组表示向量组 A 与与 B 的并集构成的向量组的并集构成的向量组.必要性必要性:由向量组由向量组从而从而当然向量组当然向量组 B 可由可由 a1,ar 线性表示线性表示,个最大无关组个最大无关组,若若充分性充分性:则则 a1,ar 为为(A,B)的一的一从而向量组从而向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.向量组向量组 B 可由向量组可由向量

24、组 A 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是v 定理定理3其中其中 (A,B)表示向量组表示向量组 A 与与 B 的并集构成的向量组的并集构成的向量组.v 定理定理4 向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是 证明证明 练习练习7 设设 证明向量组证明向量组 a1,a2 与向量组与向量组 b1,b2,b3 等价等价.记记 A=(a1,a2),B=(b1,b2,b3),易知易知 b1,b2 线性无关线性无关,于是于是可知可知因此因此从而向量组从而向量组 a1,a2 与向量组与向量组 b1,b2,b3 等价等价.例例 设设 P P 是立体空间中的一个平面

25、是立体空间中的一个平面,O 是是 P P 上一定点上一定点,用用 V 表示起点在点表示起点在点 O 的的 P P 上所有向量的集合上所有向量的集合.集合集合 V 中的向量具有如下性质：中的向量具有如下性质：(1)若若 a V,b V,则则 a +b V;(2)若若 a V,k R,则则 ka V,称称 V 为一个为一个平面向量空间平面向量空间.设设 V 中两向量中两向量 a1,a2 线性无线性无关关,即即 a1,a2 不是共线向量不是共线向量,称向量空间称向量空间 V 为由向量组为由向量组 a1,a2 生成的向量空间生成的向量空间.向量向量空间的概念空间的概念则有则有 例例 设设 n 元齐次线

26、性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 的解集为的解集为 S,系数系数矩阵矩阵 A 的秩的秩 R(A)=r n.性质性质1 若若 x x S,h h S,则则 x x+h h S.性质性质2 若若 x x S,k R,则则 kx x S.称解集称解集 S 为一个为一个向量空间向量空间(解空间解空间).称解空间称解空间 S 为由向量组为由向量组 x x1,x xn-r 生成的向量空间生成的向量空间.设设 x x1,x xn-r 是方程组是方程组 Ax=0 的一个基础解系的一个基础解系,则有则有v 向量空间向量空间 设设 Rn 的非空子集的非空子集 V 满足条件：满足条件：(1)若若 a V,b V,

27、则则 a +b V;(2)若若 a V,k R,则则 ka V,那么称那么称 V 为一个向量空间为一个向量空间.当非空集当非空集 V 满足条件满足条件(1),(2)时时,称称 V 对线性运算封闭对线性运算封闭.向量空间必含零向量向量空间必含零向量.0是一个向量空间是一个向量空间,称称零空间零空间.Rn 本身是一个向量空间本身是一个向量空间.v 子空间子空间 设有向量空间设有向量空间 V1 及及 V2,若若 V1 V2,就称就称 V1 是是 V2 的子空间的子空间.而当而当 V1 V2 时时,称称 V1 是是 V2 的的真子空间真子空间.(II)A 组可由组可由B 组线性表示的充要条件是组线性表

28、示的充要条件是v 生成空间生成空间 设有向量组设有向量组 A:a1,am,则则 L(A)是一个向量空间是一个向量空间.称称 L(A)为由向量组为由向量组 A 生成的生成的向量空间向量空间,简称生成空间简称生成空间.称称 a1,am 为为生成元生成元.记记 设有向量组设有向量组 A:a1,as,B:b1,bt.(1)L(A)为为 L(B)的子空间的充分必要条件是的子空间的充分必要条件是 A 组可由组可由B 组线性表示；组线性表示；(2)L(A)=L(B)的充分必要条件是的充分必要条件是 A 组与组与 B 组等价组等价.提示提示:(I)对任意向量空间对任意向量空间V,练习练习8 由由 a1=(1,

29、1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T 所生成的空间记为所生成的空间记为V1,而由而由 b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T 所生成的空间所生成的空间记为记为 V2.试证试证 V1=V2.解解求得求得由此由此,又可得又可得因此因此 a1,a2 与与 b1,b2 等价等价,从而从而 V1=V2.称向量空间称向量空间 V 的任一最大无关组为的任一最大无关组为 V 的一个基的一个基.向量向量空间的基和维数空间的基和维数 v 向量空间的基和维数向量空间的基和维数 称向量空间称向量空间 V 的秩为的秩为 V 的维数的维数,记为记为 dim V.v 基的性质基的性质 设设 V

30、为一个向量空间为一个向量空间,则则 V 中向量组中向量组 a1,ar 为为 V 的一个基的充分必要条件是的一个基的充分必要条件是(2)V 中任一向量可由中任一向量可由 a1,ar 线性表示线性表示.(1)a1,ar 线性无关线性无关;设设 V 是一个是一个 r 维向量空间维向量空间,则则 V 中任意中任意 r 个线性无关个线性无关向量向量 a1,ar 为为 V 的一个基的一个基,且有且有 n 元方程组元方程组 Ax=0 的基础解系为解空间的基础解系为解空间 S 的一个基的一个基,dim S=n-R(A).单位坐标向量组为单位坐标向量组为 Rn 的一个基的一个基,dim Rn=n.立体空间中的平

31、面向量空间是立体空间中的平面向量空间是 2 维向量空间维向量空间,的任意两个不共线向量为一个基的任意两个不共线向量为一个基.平面中平面中v 向量在基下的坐标向量在基下的坐标 设设 a1,ar 是向量空间是向量空间 V 的一个基的一个基,则则 V 中任一中任一向量向量 a 可唯一地表示为可唯一地表示为称称 (k1,kr)为为 a 在基在基 a1,ar 下的坐标下的坐标.解解练习练习9 验证验证 a1=(1,-1,0)T,a2=(0,1,3)T,a3=(2,1,8)T 为为R3 的一个基的一个基,并求并求 b1=(5,0 0,12)T,b2=(9,-7,8 8)T,b3=(3,1,11)T在这个基

32、下的坐标在这个基下的坐标.a1,a2,a3 线性无关线性无关,b1,b2,b3 在基在基 a1,a2,a3 下的坐标分别为下的坐标分别为可知可知 R(a1,a2,a3)=3,即有即有为为 R3 的一个基的一个基.基变换基变换与过渡矩阵与过渡矩阵 设设 a1,ar 及及 b1,br 是向量空间是向量空间 V 的两个基的两个基,v 基变换基变换称此关系式为称此关系式为基变换公式基变换公式.称矩阵称矩阵 P 为从基为从基 a1,ar 到基到基 b1,br 的的过渡矩阵过渡矩阵.证明证明 由矩阵乘积的秩的性质知由矩阵乘积的秩的性质知 于是于是 R(P)=r,因此因此 P 可逆可逆.过渡矩阵是可逆矩阵过

33、渡矩阵是可逆矩阵.则则存在存在 r 阶矩阵阶矩阵 P,使使v 平面坐标旋转变换公式平面坐标旋转变换公式 如图所示如图所示,依次记依次记 i,j,i,j 为为 x 轴轴,y 轴轴,x 轴轴,y 轴的轴的正向单位向量正向单位向量,设点设点 M 在坐标系在坐标系 xOy 下的坐标为下的坐标为(x,y),在坐标系在坐标系 x Oy 下的坐标为下的坐标为(x,y).由此得由此得旋转变换公式旋转变换公式则有则有则有则有向量的内积 立体向量 a 与 b 的数量积(内积)定义式为 其中 j 为向量 a 与 b 的夹角.a=(a1,a2,a3)与 b=(b1,b2,b3)的内积坐标计算公式为 v 向量的内积 设

34、有 n 维向量 a=(a1,an),b=(b1,bn),称 a,b 为向量 a 与 b 的内积.向量空间带有内积运算,就称为欧氏空间.记v 内积的性质v 向量的内积 设有 n 维向量 a=(a1,an),b=(b1,bn),称 a,b 为向量 a 与 b 的内积.向量空间带有内积运算,就称为欧氏空间.记 设 a,b,c 为 n 维向量,k 为实数,则有(1)a,b=b,a;(4)a,a 0,等号成立的充分必要条件是 a=0.(2)ka,b=k a,b;(3)a+b,c=a,c+b,c;提示:v 向量的范数v 范数的性质 设 a,b 为 n 维向量,k 为实数,则有(2)齐次性|ka|=|k|a

35、|;(3)三角不等式|a+b|a|+|b|.(1)非负性|a|0,等号成立的充分必要条件是 a=0;即 称为向量 a 的范数(或长度),记为|a|.对于立体向量 a,b 因此 证明 v 施瓦茨(Schwarz)不等式提示:对于立体向量 a,b 因此 当|a|=|b|=1 时,一般地,对于非零向量 a,b,而当 a 或 b 为零向量时,不等式两边都等于 0.由恒等式 得 v 两向量的夹角 定义非零向量 a 与 b 的夹角为规定零向量与任一向量成任意角.若 a,b=0,则称向量 a 与 b 正交.提示:对于立体向量 a,b 范数为 1 的向量,称单位向量.对于立体向量 a,b 其中j 为向量 a

36、与 b 的夹角 非零向量 a 的单位化(或规范化)向量练习10 求与 a=(1,1,1),b=(1,-2,1)同时正交的单位向量.解 设非零向量 x=(x1,x2,x3)与 a,b 同时正交,解得 所求为则有表示与 a 同向(即夹角为零)的单位向量.v 定理1 设 e1,er 为 r 维向量空间V 中一组两两正交的单位向量,则 e1,er 为V 的一个基,且对V 中任一向量 a 有表示式规范正交基 几何背景 设 e1,er 为 r 维向量空间V 中一组两两正交的单位向量,则 e1,er 为V 的一个基,且对V 中任一向量 a 有表示式v 定理1规范正交基 证明设则于是向量 a 可惟一地表示为因

37、此 e1,er 线性无关,从而为 V 的一个基.由此即得所证.设 e1,er 为 r 维向量空间V 中一组两两正交的单位向量,则 e1,er 为V 的一个基,且对V 中任一向量 a 有表示式 r 维向量空间V 中任意一组两两正交的单位向量 e1,er 称为V 的一个规范正交基.规范正交基 v 定理1v 规范正交基 V 为平面POQ,AA 与 V 正交.几何背景v 定理2 设 e1,er 为 Rn 的子空间 V 的一个规范正交基,对 Rn 中任一向量 a,记则 a-a 与 V 正交,即 a-a 与 V 中每个向量都正交.称 a 为向量 a 在向量空间 V 上的正交投影向量.v 定理2 设 e1,

38、er 为 Rn 的子空间 V 的一个规范正交基,对 Rn 中任一向量 a,记则 a-a 与 V 正交,即 a-a 与 V 中每个向量都正交.证明因为在基下的坐标是唯一的,所以由定理1知对 V 中任一向量即 a-a 与 x 正交.问题 已知 a1,ar 为V 的一个基,如何求V 的一个规范正交基?v 施密特(Schmidt)正交化过程 记 Vk=L(a1,ak),设 ak 为 ak 在向量空间Vk-1 上的 正交投影向量,取则e1,ek 为Vk 的一个规范正交基.注意 因此 e1,ek 为Vk 的规范正交基.假设 e1,ek-1 为Vk-1 的一个 规范正交基.提示:称e1,er 为a1,ar

39、的规范正交化.问题 已知 a1,ar 为V 的一个基,如何求V 的一个规范正交基?v 施密特(Schmidt)正交化过程 记 Vk=L(a1,ak),设 ak 为 ak 在向量空间Vk-1 上的 正交投影向量,取则e1,ek 为Vk 的一个规范正交基.提示:解练习11 设 a1=(1,2,-1),a2=(-1,3,1),a3=(4,-1,0),试用Schmidt 正交化过程把这组向量规范正交化.e1,e2,e3 即为所求.设 e1,en 为 Rn 的一个规范正交基,正交矩阵与正交变换 则有 于是 PTP=E.反之,若 PTP=E,则 P 的列向量组是 Rn的一个规范正交基.v 正交矩阵 设 P 为方阵,如果 PTP=E,就称 P 为正交矩阵.P 为正交矩阵,也即 P-1=PT.P 为 n 阶正交阵的充分必要条件是 P 的列(行)向量组为 Rn 的一个规范正交基.记矩阵练习12 设 A,B 为 n 阶正交阵,证明 AB 也为正交阵.证明由 ATA=E,BTB=E,得因此 AB 为正交阵.v 正交变换 若 P 为正交阵,则称线性变换 y=Px 为正交变换.正交变换保持向量的内积不变.证明设 y=Px 为正交变换,y1=Px1,y2=Px2,坐标旋转变换是正交变换.正交变换具有保持几何形状(长度和夹角)不变的优点.则有