第5节 线性子空间的基与维数.ppt

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1、注释注释注释注释2 2 例子表明线性空间例子表明线性空间例子表明线性空间例子表明线性空间 一定有基。一定有基。一定有基。一定有基。（1 1 1 1）一般线性子空间一定有基吗？）一般线性子空间一定有基吗？）一般线性子空间一定有基吗？）一般线性子空间一定有基吗？（2 2 2 2）基中向量个数都相等吗？）基中向量个数都相等吗？）基中向量个数都相等吗？）基中向量个数都相等吗？（3 3 3 3）线性子空间中的基个数有限还是无限？）线性子空间中的基个数有限还是无限？）线性子空间中的基个数有限还是无限？）线性子空间中的基个数有限还是无限？引理引理引理引理5.2 5.2 设设设设 与与与与 是线性空是线性空是

2、线性空是线性空i)i)向量组向量组向量组向量组 可经可经可经可经 线性表出线性表出线性表出线性表出；则向量组则向量组则向量组则向量组 必线性相关。必线性相关。必线性相关。必线性相关。ii)间间间间V V 的两个向量组，的两个向量组，的两个向量组，的两个向量组，如果两个向量组满足如果两个向量组满足如果两个向量组满足如果两个向量组满足二、线性子空间基的性质二、线性子空间基的性质二、线性子空间基的性质二、线性子空间基的性质要证要证要证要证 线性相关线性相关线性相关线性相关，使得使得使得使得 证明证明证明证明 由条件由条件由条件由条件i)i)，作线性组合作线性组合作线性组合作线性组合 令令令令 即证有

3、不全为零的数即证有不全为零的数即证有不全为零的数即证有不全为零的数常数常数如果能找到不全为如果能找到不全为如果能找到不全为如果能找到不全为0 0的的的的 ，显然这组不全为显然这组不全为显然这组不全为显然这组不全为0 0 0 0的数的数的数的数 也使也使也使也使 从而从而从而从而 线性相关。线性相关。线性相关。线性相关。把它看成一把它看成一把它看成一把它看成一个方程组，个方程组，个方程组，个方程组，看它有无非看它有无非看它有无非看它有无非零解零解零解零解使使使使 由条件由条件由条件由条件ii)ii)ii)ii)，所以它有非零解。所以它有非零解。所以它有非零解。所以它有非零解。的个数的个数的个数的

4、个数 s s ，该方程组中方程的个数该方程组中方程的个数该方程组中方程的个数该方程组中方程的个数r r 未知量未知量未知量未知量已经知道已经知道已经知道已经知道 线性空间线性空间线性空间线性空间 的一个基。的一个基。的一个基。的一个基。对对对对 的任意向量组的任意向量组的任意向量组的任意向量组由于由于由于由于 中每个向量都可由中每个向量都可由中每个向量都可由中每个向量都可由 线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，于是由命题于是由命题于是由命题于是由命题5.25.25.25.2知知知知 线性相关。线性相关。线性相关。线性相关。推论推论推论推论5.35.3 中线性无关的像两个数不超过中线性无关的

5、像两个数不超过中线性无关的像两个数不超过中线性无关的像两个数不超过n.n.事实上线性无关向量个数恰好是事实上线性无关向量个数恰好是事实上线性无关向量个数恰好是事实上线性无关向量个数恰好是n n定理定理5.4 数域数域K上上n维向量空间维向量空间V的每个非的每个非0子空间子空间W都存在基。都存在基。证明证明令令令令 是是是是WW的一个线性无关向的一个线性无关向的一个线性无关向的一个线性无关向因为因为因为因为W是非是非是非是非0 0子空间，子空间，子空间，子空间，所以所以所以所以W存在线性无关存在线性无关存在线性无关存在线性无关的向量组。的向量组。的向量组。的向量组。量组，量组，量组，量组，满足对

6、满足对满足对满足对WW的任意向量的任意向量的任意向量的任意向量向量组向量组向量组向量组都线性相关。都线性相关。都线性相关。都线性相关。于是于是于是于是 可由可由可由可由 线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，因此，因此，因此，因此，是是是是W W 的一个基。的一个基。的一个基。的一个基。注释注释注释注释3 3 教材求教材求教材求教材求 的过程类似一个的过程类似一个的过程类似一个的过程类似一个“算法算法算法算法”，该过程可转化为矩阵来实现。该过程可转化为矩阵来实现。该过程可转化为矩阵来实现。该过程可转化为矩阵来实现。引理引理引理引理5.25.2可等价的表述为可等价的表述为可等价的表述为可等价的

7、表述为引理引理引理引理5.2 5.2 设设设设 与与与与 是线性空是线性空是线性空是线性空i)i)向量组向量组向量组向量组 可经可经可经可经 线性表出线性表出线性表出线性表出；ii ii)向量组向量组向量组向量组 线性无关线性无关线性无关线性无关,间间间间V V 的两个向量组，的两个向量组，的两个向量组，的两个向量组，如果两个向量组满足如果两个向量组满足如果两个向量组满足如果两个向量组满足则则则则推论推论5.5 设设设设WW数域数域数域数域K K上上上上n n维向量空间维向量空间维向量空间维向量空间V V的子空间的子空间的子空间的子空间,则则W W 的所有基都包含相同个数的向量。的所有基都包含

8、相同个数的向量。的所有基都包含相同个数的向量。的所有基都包含相同个数的向量。证明证明证明证明由于由于由于由于B B可由可由可由可由A A线性表示并且线性表示并且线性表示并且线性表示并且B B线性无关，线性无关，线性无关，线性无关，假设下面是假设下面是假设下面是假设下面是W W 的两个任意基的两个任意基的两个任意基的两个任意基于是于是于是于是由于由于由于由于A A可由可由可由可由B B线性表示并且线性表示并且线性表示并且线性表示并且A A线性无关，线性无关，线性无关，线性无关，于是于是于是于是因此，因此，因此，因此，定义定义5.2 设设设设WW数域数域数域数域K K上上上上n n维向量空间维向量

9、空间维向量空间维向量空间V V的非的非的非的非0 0子空间子空间子空间子空间,则则则则W W 的一个基包含的向量个数成为的一个基包含的向量个数成为的一个基包含的向量个数成为的一个基包含的向量个数成为W W 的维数。的维数。的维数。的维数。特别规定零子空间的维数为特别规定零子空间的维数为特别规定零子空间的维数为特别规定零子空间的维数为0.0.0.0.利用线性子空间的维数定义向量组的秩如下利用线性子空间的维数定义向量组的秩如下利用线性子空间的维数定义向量组的秩如下利用线性子空间的维数定义向量组的秩如下定义定义5.3 设设设设 是向量空间是向量空间是向量空间是向量空间V V上的向量，上的向量，上的向

10、量，上的向量，称称称称的维数为向量组的维数为向量组的维数为向量组的维数为向量组 的秩。的秩。的秩。的秩。注释注释注释注释4 4零子空间是维数等于零子空间是维数等于零子空间是维数等于零子空间是维数等于0 0 0 0的唯一子空间。的唯一子空间。的唯一子空间。的唯一子空间。线性子空间的维数就是线性无关向量的最大个数。线性子空间的维数就是线性无关向量的最大个数。线性子空间的维数就是线性无关向量的最大个数。线性子空间的维数就是线性无关向量的最大个数。从维数的定义可以得到下面几个显然的结论。从维数的定义可以得到下面几个显然的结论。从维数的定义可以得到下面几个显然的结论。从维数的定义可以得到下面几个显然的结

11、论。命题命题5.7 设设设设WW和和和和Z Z都是线性空间都是线性空间都是线性空间都是线性空间V V的子空间，的子空间，的子空间，的子空间，设设设设WW数域数域数域数域K K上上上上n n维向量空间维向量空间维向量空间维向量空间V V的的的的r r 维子空间维子空间维子空间维子空间,则则则则W W 的任意的任意的任意的任意r r个线性无关向量都构成个线性无关向量都构成个线性无关向量都构成个线性无关向量都构成WW 的一个基。的一个基。的一个基。的一个基。命题命题5.6并且并且并且并且则则则则命题命题5.8 设设设设WW和和和和Z Z都是线性空间都是线性空间都是线性空间都是线性空间V V的子空间，的子空间，的子空间，的子空间，如果如果如果如果且且且且则则则则例例例例5.25.2（Ex 3Ex 3）下面的证明方法类似引理下面的证明方法类似引理下面的证明方法类似引理下面的证明方法类似引理5.25.2。考虑下面的线性表示考虑下面的线性表示考虑下面的线性表示考虑下面的线性表示于是于是于是于是线性无关线性无关线性无关线性无关因此，得到因此，得到因此，得到因此，得到线性无关线性无关线性无关线性无关只有零解只有零解只有零解只有零解只有零解只有零解只有零解只有零解作业：作业：P168 Ex 1,2(2)