第三章第三节 线的投影.ppt

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1、3 3 直线的投影直线的投影前前面面讲讲到到画画物物体体的的三三视视图图就就是是按按照照投投影影方方法法画画出出物物体体上上的的所所有有轮轮廓廓线线。在在这这一一节节里里我我们们着着重重分分析析如如何何在在投投影影图中确定轮廓线段的位置以及轮廓线段的投影长度。图中确定轮廓线段的位置以及轮廓线段的投影长度。几几何何中中定定义义的的直直线线是是没没有有端端点点、无无限限长长的的。这这里里所所说说的的直直线线实实际际指指的的是是直直线线段段，也也可可以以把把直直线线的的说说法法理理解解为为对一类几何元素的统称。对一类几何元素的统称。从这个意义上讲，点的投影是学从这个意义上讲，点的投影是学习直线投影的

2、基础。实际上也是学习后面其他内容的基础。习直线投影的基础。实际上也是学习后面其他内容的基础。一、直线的投影一、直线的投影直直线线的的投投影影一一般般仍仍为为直直线线，特特殊殊情况为一点。情况为一点。对对于于一一般般情情况况，由由于于两两点点可可以以确确定定一一条条直直线线。因因此此作作直直线线的的投投影影可以归结为作直线两端点的投影。可以归结为作直线两端点的投影。作图步骤：作图步骤：例：根据例：根据AB直线的两面投影补出第三面投影。直线的两面投影补出第三面投影。2.投投影影连连线线的的交交点点为为A、B两两端端点点的的侧侧面面投投影影,连连接接A、B的的侧侧面面投影完成作图投影完成作图1.按按

3、点点的的投投影影规规律律分分别别作作A、B两两点点投投影影的的连线连线这样作对吗？这样作对吗？不对，找点时要细心，不不对，找点时要细心，不要把点对错了。要把点对错了。改正图中的错误改正图中的错误(左图）。左图）。3 3 直线的投影直线的投影下面分别研究各种直线的定义及投影特点。下面分别研究各种直线的定义及投影特点。二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影为为了了研研究究问问题题方方便便，根根据据直直线线在在三三投投影影面面体体系系中中对对投投影影面面的相对位置不同，将直线分为：的相对位置不同，将直线分为：1.投影面平行线投影面平行线2.投影面垂直线投影面垂直线3.投影面倾斜线投影面倾斜线

4、1.一般位置直线一般位置直线 定义：与三个投影面均成倾斜的直线定义：与三个投影面均成倾斜的直线特殊位置直线特殊位置直线一般位置直线一般位置直线直线与直线与H H、V V、WW投影面的倾角投影面的倾角分别用分别用、表表示，见图中的标示，见图中的标注。注。3 3 直线的投影直线的投影此外，一般位置直线的三个投影与各投影轴都成倾斜。此外，一般位置直线的三个投影与各投影轴都成倾斜。二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影 1.一般位置直线一般位置直线 定义：与三个投影面均成倾斜的直线定义：与三个投影面均成倾斜的直线一般位置直线投影特点：一般位置直线投影特点：由于与三个投影面成倾斜故三个投影都缩短由

5、于与三个投影面成倾斜故三个投影都缩短三个投影均不能反映三个投影均不能反映、和、和 角实际大小角实际大小3 3 直线的投影直线的投影二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影 2.投影面平行线投影面平行线 定定义义：平平行行于于某某一一投投影影面面，倾斜于另两投影面的直线。倾斜于另两投影面的直线。由由于于有有V、H、W三三个个投投影影面面，按按照照定定义义就就有有三三种种不不同同的的投影面平行线。投影面平行线。正正平平线线平平行行V面面，而而与与H面、面、W面成倾斜面成倾斜水水平平线线平平行行于于H面面，与与V、W面成倾斜面成倾斜侧侧平平线线平平行行于于W面面，与与V、H面倾斜面倾斜3 3 直

6、线的投影直线的投影投影面平行线的投影特点：（以水平线为例）投影面平行线的投影特点：（以水平线为例）水平线的水平投影反映实长（正投影的真实性）水平线的水平投影反映实长（正投影的真实性）水平线的水平投影反映水平线的水平投影反映、角的实际大小角的实际大小水平线的正面投影平行水平线的正面投影平行X轴、侧面投影平行轴、侧面投影平行Yw投影轴。投影轴。正平线、侧平线也有类似特点正平线、侧平线也有类似特点二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影 2.投影面平行线投影面平行线 定义：平行于某一投影面，倾斜于另两投影面的直线。定义：平行于某一投影面，倾斜于另两投影面的直线。3 3 直线的投影直线的投影二、各

7、种位置直线的投影二、各种位置直线的投影 3.投影面垂直线投影面垂直线定定义义：垂垂直直于于某某一一投投影影面面的直线（与另两投影面平行）。的直线（与另两投影面平行）。由由于于有有V、H、W三三个个投投影影面面，按按照照定定义义也也有有三三种种不不同同的的投影面垂直线。投影面垂直线。正正垂垂线线垂垂直直于于V面面，而与而与H面、面、W面平行面平行铅铅垂垂线线垂垂直直于于H面面，与与V、W面平行面平行侧侧垂垂线线垂垂直直于于W面面，与与V、H面平行面平行3 3 直线的投影直线的投影投影面垂直线的投影特点：（以铅垂线为例）投影面垂直线的投影特点：（以铅垂线为例）铅垂线的水平投影为一点（正投影的积聚性

8、铅垂线的水平投影为一点（正投影的积聚性）铅垂线的正面投影和侧面投影反映实际长度铅垂线的正面投影和侧面投影反映实际长度 正垂线、侧垂线也有类似特点正垂线、侧垂线也有类似特点二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影 3.投影面投影面垂直垂直线线 定义：垂直于某一投影面的直线（与另两投影面平行）。定义：垂直于某一投影面的直线（与另两投影面平行）。3 3 直线的投影直线的投影二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影 例：判断图中各直线的空间位置例：判断图中各直线的空间位置。3 3 直线的投影直线的投影二、各种位置直线的投影二、各种位置直线的投影 例：试分析立体表面上各线段的空间位置例：试分析立

9、体表面上各线段的空间位置。3 3 直线的投影直线的投影三、点与直线三、点与直线 点点与与直直线线的的相相对对位位置置主主要要是是从从属属关关系系，即即通通常常所所说说的的点点是否在直线上是否在直线上。1.点从属于直线点从属于直线点点从从属属于于直直线线则则点点的的各各个个投投影影必从属于直线的各同面投影。必从属于直线的各同面投影。反反之之，若若点点的的各各个个投投影影从从属属于于直直线线的的同同面面投投影影，则则该该点点必必定定从从属属于于此直线。此直线。问：若问：若AC:BC=k，ac:bc=?ac:bc=?ac:bc=?从从属属于于直直线线的的点点分分割割线线段段的的长长度度之之比比等等于

10、于其其投投影影分分割割线段投影长度之比。即直线上点的定比性。线段投影长度之比。即直线上点的定比性。因此有因此有 ac:cb=ac:cb=ac:cb=k2.点不从属于直线点不从属于直线若点不从属于直线，则点的投影不具备上述性质。若点不从属于直线，则点的投影不具备上述性质。例例:判断图中点与直线的从属关系判断图中点与直线的从属关系。作图分析作图分析：由由于于AB直直线线为为一一般般位位置置。而而给给出出的的C点点的的两两投投影影分分别别在在AB线的同面投影上，故可认定线的同面投影上，故可认定C点从属于点从属于AB直线。直线。EF线线为为一一侧侧平平线线，虽虽然然k点点的的两两投投影影在在EF线线的

11、的同同面面投投影影上，但由于上，但由于AB直线位置的特殊性，仍需要通过作图认定。直线位置的特殊性，仍需要通过作图认定。判别方法判别方法1：补出：补出k点与点与EF线的侧面投影线的侧面投影,若若 k在在ef 上则上则k点从属点从属于于EF线。反之则不属于线。反之则不属于EF线。线。判别方法判别方法2：由定比性知，若：由定比性知，若K点在直线点在直线EF上则应满足上则应满足EK:FK=e k:f k=e k:f k可按此道理作图判别，作图过程如图可按此道理作图判别，作图过程如图示。示。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况，空间两直线的相对位置有三种情况，即相交、

12、平行和交叉即相交、平行和交叉。平平行行、相相交交的的两两直直线线属属于于共共面面直直线线，交交叉叉的的两两条条直直线线为为异异面面直直线线。这这里里要要分分析析的的是是当当两两直直线线处处于于相相交交、平平行行或或交交叉叉的的相相对位置时，两直线的投影特点。对位置时，两直线的投影特点。1.两直线平行两直线平行空空间间平平行行的的两两直直线线其其投投影影是是否否还还平平行呢行呢？设设AB、CD两两直直线线在在空空间间平平行行，投投影的形成如图所示。影的形成如图所示。因因AB CD，所所以以两两投投影影平平面面互互相相平平行。行。此此外外，可可以以将将AB、CD的的投投影影ab、cd看看成成是是投

13、投影影平平面面与与H面面的交线，故两平行的投影平面与的交线，故两平行的投影平面与H面的交线必然平行面的交线必然平行。因此可得两平行直线的投影特点：空间平行的两直线，其同面投影必定平因此可得两平行直线的投影特点：空间平行的两直线，其同面投影必定平行。反之，若两直线的各个投影都平行则该两直线在空间必定平行。行。反之，若两直线的各个投影都平行则该两直线在空间必定平行。3 3 直线的投影直线的投影四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 2.两直线相交两直线相交图图中中AB、CD两两直直线线在在空空间间相相交交，可可以以看看到到两两直直线线的的各各同面投影均相交。其投影的交点即为两直线交点的投影。同面

14、投影均相交。其投影的交点即为两直线交点的投影。因此可得两相交直线的投影特点因此可得两相交直线的投影特点：空空间间相相交交的的两两直直线线，其其同同面面投投影影必必定定相相交交，交交点点为为两两直直线所共有，且交点的投影应符合点的投影规律。线所共有，且交点的投影应符合点的投影规律。根据上述结论，在解决相交的问题时常常要借助于交点根据上述结论，在解决相交的问题时常常要借助于交点。3 3 直线的投影直线的投影例：例：1.过过S点任作一直线与点任作一直线与AB线相交线相交 2.过过S点作一水平线点作一水平线ST与与AB线相交。线相交。作作图图分分析析1:题题目目没没有有其其他他要要求求，即即只只要要作

15、作出出的的图图形形符符合合相相交交的的结结论论就就可可。最最简简单单的的方方法法是是将将S点点直直接接与与AB线线的的任任一一端点相连接。端点相连接。作图步骤如图所示。作图步骤如图所示。作作图图分分析析2:按按题题目目要要求求，ST线线既既要要符符合合两两直直线线相相交交的的结结论论，同同时时又又要要具具有有水水平平线线的的投影特点投影特点。作图步骤如图所示。作图步骤如图所示。前前面面介介绍绍了了两两直直线线相相交交的的投投影影特特点点，从从给给出出的的AB、CD两直线的投影图来看，两面投影均相交，两直线的投影图来看，两面投影均相交，但交点不符合点的投影规律，这是怎样但交点不符合点的投影规律，

16、这是怎样形成的呢？形成的呢？从从两两直直线线的的直直观观图图看看到到，两两直直线线投投影影的的交交点点实实际际上上是是直直线线上上重重影影点点的的投投影影。投投影影的交点是的交点是AB线上的线上的E点和点和CD线上的线上的F点的重影。两直线交叉的作图问点的重影。两直线交叉的作图问题主要是判断重影点的可见性。题主要是判断重影点的可见性。3.两直线交叉两直线交叉判别方法：判别方法：将各重影点标上字母或者数字，再按照坐标将各重影点标上字母或者数字，再按照坐标大的点挡住坐标小的点的方法判别，并将被大的点挡住坐标小的点的方法判别，并将被挡住的点括住。挡住的点括住。3 3 直线的投影直线的投影 问问：两两

17、直直线线在在空空间间成成垂垂直直相相交交或或交交叉叉，什什么么情情况况下下它它们们的投影仍成垂直的投影仍成垂直？你你可可能能会会很很快快想想到到，两两条条线线都都平平行行于某一投影面于某一投影面。对对的的，不不过过这这只只是是上上述述问问题题中中的的一一种种答答案案，下下面面我我们们要要讨讨论论的的是是第第二二种种情况。情况。五、一边平行于投影面的直角投影五、一边平行于投影面的直角投影 从从标标题题上上可可以以想想到到，若若两两直直角角边边中中的的一一条条边边与与某某投投影影面面平平行行，则则两两者者在在该该投投影影面面上上的的投投影影仍仍保保持持着着垂垂直直关关系系。这这一说法称为一说法称为

18、直角投影定理直角投影定理。现以下图为例予以证明现以下图为例予以证明已知：已知：ABBC，BCH面，面，AB倾斜于倾斜于H面。面。求证：求证：abbc证明：证明：BCH面面 bcBC又又BCAB，BCBb BCABba平面，平面，bcABba平面平面bcab 即即abc=90证毕证毕 例例1.已已知知矩矩形形ABCD的的水水平平投投影影以以及及AB边边的的正正面面投投影影ab完成该矩形的正面投影图。完成该矩形的正面投影图。作作图图分分析析：由由于于矩矩形形各各边边互互相相垂垂直直，且且AB边边为为一一正正平平线线根根据据直直角角投投影影定定理理，则则有有ab ad。求求得得d后后再再根根据据矩矩

19、形形对对边相平行的关系求得边相平行的关系求得 c，连接各点完成作图。，连接各点完成作图。作图步骤作图步骤：一一般般位位置置线线段段在在投投影影图图上上反反映映不不出出线线段段的的实实长长及及对对投投影面的倾角。影面的倾角。1.几何分析几何分析 2.作图要领作图要领 用用线线段段在在某某一一投投影影面面上上的的投投影影长长作作为为一一条条直直角角边边，再再以以线线段段的的两两端端点点相相对对于于该该投投影影面面的的坐坐标标差差作作为为另另一一条条直直角角边边，所所作作直直角角三三角角形形的的斜斜边边即即为为线线段段的的实实长长，斜斜边边与与投投影影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。3.直角三角形直角三角形的四个要素的四个要素 实实长长、投投影影长长、坐坐标标差差及及直直线线对对投投影影面面的的倾倾角角。已已知知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。四要素中的任意两个，便可确定另外两个。3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角几何分析|zA-zB|ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abO 例例5 5 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB以及以及abab和和aa，求它的正面投影求它的正面投影abab。aXa bAOBb0bb0bb0b b