大学物理15 量子物理基础1.ppt

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1、一、德布罗意波一、德布罗意波 (物质波物质波)1924年，法国物理学家德布罗意提出了年，法国物理学家德布罗意提出了物质波的假设物质波的假设：一切实物粒子一切实物粒子(如电子、质子、中子如电子、质子、中子)都与光子一样都与光子一样,具有波粒二象性。具有波粒二象性。具有能量为具有能量为E、动量为动量为p 的实物粒子就有一定频率的实物粒子就有一定频率 和一定波长和一定波长 与之对应。它们之间满足如下关系：与之对应。它们之间满足如下关系：德布罗意公式德布罗意公式(或或假设假设)与实物粒子相联系的波称为与实物粒子相联系的波称为德布罗意波德布罗意波(或或物质波物质波)15-1 德布罗意波德布罗意波 实物粒

2、子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性独创性独创性所以电子的德布罗意波长为：所以电子的德布罗意波长为：例如例如：电子经加速电势差：电子经加速电势差 U加速后加速后当当U=100伏伏解：解：例例 一原静止的电子被电场加速到速度一原静止的电子被电场加速到速度v（vc），），加速电压为加速电压为100V时，则速度为时，则速度为v的电子的电子的的De Brglie波波长为多大？波波长为多大？GK狭缝狭缝电电流流计计镍镍集集电电器器U电子射线电子射线单单晶晶二、物质波的实验验证二、物质波的实验验证二、物质波的实验验证二、物质波的实验验证 1927年年戴维孙和革末戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体用加速后的

3、电子投射到晶体上进行电子衍射实验。上进行电子衍射实验。实验发现实验发现：保持保持 角不变角不变，改变电压值改变电压值，电流并电流并不随电压单调的改变，而是出现选择性。不随电压单调的改变，而是出现选择性。根据衍射理论，根据衍射理论，衍射最大值衍射最大值应满足应满足布拉格公式布拉格公式：德布罗意假说，德布罗意假说，电子的波长为：电子的波长为：波波 当电压为某一当电压为某一特定值时特定值时，电流才有极大值电流才有极大值（此规律（此规律与与x射线的衍射规律相似射线的衍射规律相似）。）。5102015250I利用布拉格公式球得利用布拉格公式球得波长为波长为:两者波长值很接近，证明两者波长值很接近，证明微

4、观粒子具有波粒二象性微观粒子具有波粒二象性若在戴维孙若在戴维孙革末实验中取革末实验中取根据德布罗意假说根据德布罗意假说,由加速由加速电势差算得的波长为电势差算得的波长为:思考题思考题:若一个若一个电子的电子的德布罗意波长和光子的波长德布罗意波长和光子的波长相同。相同。试问：试问：1）它们的动量大小是否相同？它们的动量大小是否相同？2）它们的总能量是否相同？（）它们的总能量是否相同？（05年）年）2 2）但它们的总能量是不相同的。电子的总能量大于）但它们的总能量是不相同的。电子的总能量大于光子的能量。光子的能量。解：解：1 1）由德布罗意关系可知由德布罗意关系可知,它们的它们的波长相同波长相同.

5、因此，因此，它们的它们的动量大小相同动量大小相同光子的能量：光子的能量：电子的总能量：电子的总能量：例例1:、粒子在磁感应强度为粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场的均匀磁场中沿半径为中沿半径为R=0.83cm的轨道作圆周运动的轨道作圆周运动.试求试求:(1)粒子粒子德布罗意波长德布罗意波长;(2)若使其质量为若使其质量为m=0.1g的小球以与的小球以与 粒子相同的速率粒子相同的速率 运动运动,则其则其波长为多少波长为多少?(粒子质量为粒子质量为ma=6.641010-27-27kg)(05.08kg)(05.08)解解:(1)求求 粒子德布罗意波长粒子德布罗意波长(2)若使其质量为若

6、使其质量为m=0.1g的小球以与的小球以与 粒子相同的粒子相同的 速率运动速率运动,求其波长求其波长若若 m=0.1g 的小球速率的小球速率考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：所以：经严格证明此式应为：经严格证明此式应为：这就是著名的这就是著名的海森伯不确定关系式海森伯不确定关系式设有一个动量为设有一个动量为p，质量为质量为m的粒子，能量的粒子，能量考虑到考虑到E的增量：的增量：能量与时间不确定关系式能量与时间不确定关系式即：即：能量与时间不确定关系能量与时间不确定关系测不准关系式的讨论测不准关系式的讨论测不准关系式的讨论测不准关系式的讨论1.

7、用经典物理学量来描写微观粒子行为时必然会出用经典物理学量来描写微观粒子行为时必然会出现不确定性现不确定性。在位置和动量的不确定量中在位置和动量的不确定量中,位置不确位置不确定量越小定量越小,则同方向的动量不确定量就越大则同方向的动量不确定量就越大。反之亦反之亦然。然。3.可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。力学来描写还是用量子力学来描写。2.测不准关系是微观粒子波粒二象性的必然反映测不准关系是微观粒子波粒二象性的必然反映,决不决不是测量仪器的缺陷或测量方法不完善所致。是测量仪器的缺陷或测量方法不完善所致。所以宏

8、观粒子的坐标及动量可以同时确定所以宏观粒子的坐标及动量可以同时确定1.宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？，若，若的乒乓球的乒乓球,其直径其直径,可以认为其位可以认为其位置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？例例问题？问题？所以，电子的动量是不确定的，应该用量子力所以，电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。学来处理。例例1 一电子以一电子以的速度穿过晶体。的速度穿过晶体。晶体常数晶体常数d10-10m2.微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？解：解：例例2 电子射线管中的电

9、子束中的电子速度一般为电子射线管中的电子束中的电子速度一般为 10105 5m/sm/s，设测得速度的精度为设测得速度的精度为1/100001/10000，即，即 vx=10m/s，求电子求电子位置的不确定量位置的不确定量（电子的位置确定在电子的位置确定在 范围内范围内可以认为令人满意）可以认为令人满意）可以用经典力学来处理。可以用经典力学来处理。所以，微观粒子的动量和坐标有时是可以同时确定的。所以，微观粒子的动量和坐标有时是可以同时确定的。E.薛定谔薛定谔 (1887-1961)奥地利物理学家，奥地利物理学家，奥地利物理学家，奥地利物理学家，1933193319331933年诺贝尔年诺贝尔年

10、诺贝尔年诺贝尔物理奖获得者。物理奖获得者。物理奖获得者。物理奖获得者。15-3 薛定谔方程薛定谔方程 描述微观粒子运动状态的基本描述微观粒子运动状态的基本方程方程薛定谔方程？薛定谔方程？什么是隧道效应？什么是隧道效应？描述微观粒子的波函数必须描述微观粒子的波函数必须 满足哪些条件？满足哪些条件？波函数的物理意义是什么？波函数的物理意义是什么？描述微观粒子运动状态的描述微观粒子运动状态的函数。函数。经典单色平面简谐波波动方程：经典单色平面简谐波波动方程：1 1、波函数：、波函数：区别于经典波动区别于经典波动一、波函数一、波函数 概率密度概率密度 自由粒子自由粒子沿沿x方向运动时对应的单色平面波波

11、函数方向运动时对应的单色平面波波函数考虑到自由粒子沿三维方向的传播考虑到自由粒子沿三维方向的传播 设运动的实物粒子的能量为设运动的实物粒子的能量为E、动量为动量为 p，与之相关与之相关联的频率为联的频率为 、波长为波长为，将德布罗意关系式代入：将德布罗意关系式代入：式中的式中的 、E 和和 p 体现了体现了微观微观粒子的波粒二象性粒子的波粒二象性2 2、概率密度概率密度波函数的统计解释波函数的统计解释波函数波函数物理意义物理意义如何描述微观粒子的运动如何描述微观粒子的运动 根据根据玻恩对德布罗意波的统计解释玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波，物质波波函数是对波函数是对微观微观粒子运动的统计描述

12、粒子运动的统计描述,即即物质波物质波是是概率波概率波,概率波只能给出粒子在各处出现的概率概率波只能给出粒子在各处出现的概率。1）大量电子的一次性行为：）大量电子的一次性行为：U极大值极大值极小值极小值中间值中间值较多电子到达较多电子到达较少电子到达较少电子到达介于二者之间介于二者之间波强度大，波强度大，大大小小波强度小波强度小，波强介于二者之间波强介于二者之间粒子的观点粒子的观点波动的观点波动的观点统一地看：粒子出现的几率正比于统一地看：粒子出现的几率正比于(r,t)代表什么？代表什么？看电子的单缝衍射：看电子的单缝衍射：2）一个粒子多次重复性行为）一个粒子多次重复性行为较长时间以后较长时间以

13、后极大值极大值极小值极小值中间值中间值较多电子到达较多电子到达较少电子到达较少电子到达介于二者之间介于二者之间波强度大，波强度大，大大小小波强度小，波强度小，波强介于二者之间波强介于二者之间粒子的观点粒子的观点波动的观点波动的观点U统一地看：粒子出现的几率正比于统一地看：粒子出现的几率正比于则波函数则波函数模的平方模的平方表征了表征了t 时刻，在空间时刻，在空间(x,y,z)处出现粒子的处出现粒子的概率密度概率密度-波函数的物理意义波函数的物理意义.结论：结论：某时刻空间某体元某时刻空间某体元dVdV中出现粒子的中出现粒子的几率几率 正比于正比于该地点该地点波函数模的平方波函数模的平方和体积元

14、和体积元 体积：体积：通常比例系数取通常比例系数取1:（由叫（由叫概率分布函数概率分布函数）微观粒子遵循的是微观粒子遵循的是统计规律统计规律，而不是经典的，而不是经典的 决定性规律决定性规律。牛顿说牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨 迹是已知的，迹是已知的，决定性决定性的。的。量子力学说量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达 某点，只给出到达各点的某点，只给出到达各点的统计分布统计分布；即只；即只 知道知道|2大的地方粒子出现的可能性大，大的地方粒子出现的可能性大，|2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出小

15、的地方几率小。一个粒子下一时刻出 现在什么地方，走什么路径是不知道的现在什么地方，走什么路径是不知道的 （非决定性非决定性的）的）物质波与经典波的本质区别物质波与经典波的本质区别经典波经典波的波函数是实数的波函数是实数,本身具有物理意义本身具有物理意义,可测量。可测量。因此，只有波函数的概率密度才具有物理意义。因此，只有波函数的概率密度才具有物理意义。1)物质波物质波一般情况是复函数，本身无具体的物理意义一般情况是复函数，本身无具体的物理意义,所以是不可测量的；可测量的只有所以是不可测量的；可测量的只有2)对于概率波来说对于概率波来说,重要的是相对概率分布。故重要的是相对概率分布。故和和 描述

16、的相对概率分布是完全相同的描述的相对概率分布是完全相同的。而经典波的波幅如果增加一倍，则相应的波动能量而经典波的波幅如果增加一倍，则相应的波动能量 将为原来的四倍，因此将为原来的四倍，因此,代表了不同的波动状态。即若：代表了不同的波动状态。即若：等价等价那么那么3、波函数的标准化条件与归一化条件、波函数的标准化条件与归一化条件（波函数必须满足的条件）（波函数必须满足的条件）1）波函数具有）波函数具有有限有限性性在空间是在空间是有限的有限的2）波函数是）波函数是连续的连续的3）波函数是）波函数是单值的单值的粒子在空间出现的几率粒子在空间出现的几率只可能是一个值只可能是一个值.4）满足归一化条件满

17、足归一化条件（归一化条件）归一化条件）因为粒子在全空间出现是必然事件因为粒子在全空间出现是必然事件.波函数波函数的标准条件：的标准条件：单值、有限单值、有限和连续和连续解：解：利用归一化条件利用归一化条件例例1 1：求波函数归一化常数和概率密度。求波函数归一化常数和概率密度。这就是这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程一维自由粒子（含时间）薛定谔方程对于非相对论粒子对于非相对论粒子一维一维自由粒子自由粒子的波函数的波函数二二、薛定谔方程薛定谔方程1、薛定谔方程的引入、薛定谔方程的引入(并不是理论推导并不是理论推导)若粒子处在外力场中若粒子处在外力场中(非自由粒子非自由粒子)其粒子的总能量为：其

18、粒子的总能量为：一维薛定谔方程一维薛定谔方程三维薛定谔方程三维薛定谔方程:拉普拉斯算符拉普拉斯算符 哈密顿（能量）算符哈密顿（能量）算符则薛定谔方程为：则薛定谔方程为：算符算符:就是一种运算就是一种运算符号，是对量符号，是对量子态子态(波函数波函数)的操作。某物的操作。某物理量算符常用理量算符常用对应的该对应的该物理物理量字母上方加量字母上方加“”符号表符号表示。示。2 2、定态薛定谔方程、定态薛定谔方程如果如果势能函数不是时间的函数势能函数不是时间的函数,即：即：代入上式薛定谔方程中整理得：代入上式薛定谔方程中整理得：用分离变量法将波函数写为：用分离变量法将波函数写为：只是空间坐标的函数只是

19、空间坐标的函数只是时间的函数只是时间的函数此方程仅是空间坐标的函数此方程仅是空间坐标的函数-称为定态称为定态薛定谔方程薛定谔方程.那么，粒子在空间出现的几率密度：那么，粒子在空间出现的几率密度：几率密度与时间无关，几率密度与时间无关，因此，因此，波函数描述的是稳定波函数描述的是稳定态态-简称定态。简称定态。-称为定态称为定态薛定谔方程薛定谔方程.薛定谔方程比较薛定谔方程比较薛定谔方程比较薛定谔方程比较（非相对论形式）（非相对论形式）2.2.定态薛定谔方程定态薛定谔方程:1.1.一般形式薛定谔方程：一般形式薛定谔方程：一维一维三维三维一维一维三维三维若若 U=0（自由粒子自由粒子）设质量为设质量

20、为m的粒子的粒子只能只能在在 0 xa 区域内的区域内的外力场外力场中作一维运动中作一维运动.势能函数为：势能函数为：三、一维无限深三、一维无限深势阱势阱（定态（定态薛定谔方程的应薛定谔方程的应用用)因为在因为在阱外阱外(即：当即：当 x a 时时)粒子势能为无穷粒子势能为无穷大大方程的通解为：方程的通解为：由边界条件由边界条件概率分概率分布函数布函数0粒子波粒子波函数函数则粒子的能量：则粒子的能量：此能量量子化是求解此能量量子化是求解此能量量子化是求解此能量量子化是求解态态态态薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程时时波函数必须满足波函数必须满足标准化条件的自然结果标准化条件的自然结果,而

21、不是人为的假设。而不是人为的假设。n=1,2,3,在一维无限深势阱中运动的粒子，在一维无限深势阱中运动的粒子，它的能量是量子化的。它的能量是量子化的。若若n=0，则，则k=0，没有意义。没有意义。所以所以n=1时粒子取最低能量：时粒子取最低能量：E1称之为称之为基态能量基态能量。特征分析：特征分析：1.粒子只能在粒子只能在U(x)=0的势阱内运动。的势阱内运动。2.波函数是驻波方程。能级越波函数是驻波方程。能级越高，驻波个数越多。高，驻波个数越多。在在x=0和和x=a的边界上是驻波波节。的边界上是驻波波节。在在0 xa的区域，驻波有的区域，驻波有(n1)个波节，驻个波节，驻波不向外辐射能量，粒

22、子处于各种稳定态。波不向外辐射能量，粒子处于各种稳定态。3.概率密度分布具有起伏性。能级越高，起伏次数概率密度分布具有起伏性。能级越高，起伏次数越多。越多。用用驻波思想求解一维无限深势阱中粒子的能量驻波思想求解一维无限深势阱中粒子的能量:因为势阱中因为势阱中 U(x)=0，E=EK 用薛定谔方程简单分析得：用薛定谔方程简单分析得：n=1,2,3,由驻波条件得，由驻波条件得，能量是量子化的。能量是量子化的。与求解与求解态态薛定谔方程得到的能量公式一致。薛定谔方程得到的能量公式一致。例例2 一维无限深势阱中粒子的定态一维无限深势阱中粒子的定态波函数为波函数为求求:粒子处于粒子处于基态基态和处于和处

23、于第一激发态第一激发态时，时，x 在（在（0 a/3）之间找到粒子的之间找到粒子的概率概率。n=1,2,3,.解：解：2asinpxa2dx3a0()=2acos2pxadx3a0121+=1axp2asinpxa2()3a0=0.19=1aa3p2a32.当当n=1（基态）时基态）时a3x=0在在中找到粒子的概率中找到粒子的概率W1 为：为：x=+=1axp4asinpxa43a0=0.264=1aa3p4a32.2asin2pxa2dx3a0=1acosdx3a01()4pxaa30在在中找到粒子的概率中找到粒子的概率W2为：为：处于第一激发态，即处于第一激发态，即n=2 时的状态时的状态

24、 例题例题3 一个质子在一维无限深势阱中，一个质子在一维无限深势阱中，阱宽阱宽a=10-14m。(1)质子的质子的最低能量最低能量有多大有多大?(2)由由n=2态跃迁到态跃迁到n=1态态时，质子放出时，质子放出 多大能量的光子多大能量的光子?解：解：（2）n=2 1时：时：EE2=E18ma23h2=3(6.6310-34)2=9.8710-13(J)=81.6710-2710-28(6.6310-34)2=3.2910-13(J)=81.6710-2710-28（1）最小能量为）最小能量为(n=1时时)：两种不同金属材料连接在一起，其接触面将形成势垒，两种不同金属材料连接在一起，其接触面将形

25、成势垒，势垒高度为势垒高度为U0 0。并设粒子的总能量并设粒子的总能量En n 势垒高度势垒高度U0 0。例如：例如：衰变，衰变，用经典力学来研究，粒子不能够穿透势垒。在用经典力学来研究，粒子不能够穿透势垒。在势垒中无电流产生。势垒中无电流产生。实验证明，能量低于势垒高度的自由电子也能实验证明，能量低于势垒高度的自由电子也能穿透势垒进入另一金属区穿透势垒进入另一金属区.四、一维势垒、隧道效应四、一维势垒、隧道效应(一维散射问题一维散射问题)粒子在图中三个区域的波函数分别为粒子在图中三个区域的波函数分别为oaU(x)一维方势垒是指粒子受到势能为一维方势垒是指粒子受到势能为的作用，的作用，称为一维

26、方势垒称为一维方势垒。IIIIII 在三个区域内的在三个区域内的波函数波函数满足的满足的方程方程分别为：分别为：IIIIII入射波入射波反射波反射波透射波透射波 考虑粒子是从考虑粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波区中有入射波反射波；粒子从反射波；粒子从I 区经过区经过II 区穿过势垒到区穿过势垒到 III 区，区，在在III 区只有透射波。区只有透射波。粒子在处的几率要大粒子在处的几率要大于在处出现的几率。于在处出现的几率。根据波函数根据波函数单值、连续单值、连续的标准条件的标准条件透射系数：透射系数：可见，可见，a、m及及(U0-E)值越小值越小，粒子的透射，粒子的透射系数

27、系数P 越大。越大。当当 U0-E=5eV，势垒的宽度约势垒的宽度约50nm 以上时，透射以上时，透射系数会小六个数量级以上（几乎为零），隧道效应实际系数会小六个数量级以上（几乎为零），隧道效应实际上已经没有意义了。量子力学与经典力学趋于一致了。上已经没有意义了。量子力学与经典力学趋于一致了。微观粒子的隧道效应已被大量实验所证实微观粒子的隧道效应已被大量实验所证实微观粒子的隧道效应已被大量实验所证实微观粒子的隧道效应已被大量实验所证实,并已广并已广泛应用。例如泛应用。例如,粒子从放射性核中释放出来、场致电粒子从放射性核中释放出来、场致电子发射及半导体和超导体的隧道器件等都是隧道效应的子发射及半

28、导体和超导体的隧道器件等都是隧道效应的结果结果如利用隧道效应已研制成了隧道二极管和扫描隧如利用隧道效应已研制成了隧道二极管和扫描隧道显微镜道显微镜（简称（简称STM.STM.是研究材料表面结构的重要工具是研究材料表面结构的重要工具)。隧道效应隧道效应：粒子能穿透比其能粒子能穿透比其能量量 E 更大的于势垒高更大的于势垒高度度 U0 的现象。的现象。(EU0)电子逸出金属表面的模型电子逸出金属表面的模型隧道效应隧道效应m振子质量，振子质量，固有频率，固有频率，x位移位移五、五、一维谐振子一维谐振子（重要的物理模型）（重要的物理模型）1.粒子的势能函数粒子的势能函数:其中其中 (x)一维谐振子的一

29、维谐振子的定态波函数定态波函数。2.2.哈密顿算符：哈密顿算符：3.由由定态薛定谔方程定态薛定谔方程:得到得到 能量是量子化的能量是量子化的 能量间隔能量间隔:最低能量最低能量(零点能零点能):):为使波函数满足标准化条为使波函数满足标准化条件，谐振子件，谐振子能量必须满足能量必须满足量子化条件量子化条件:U说明原子并不静止说明原子并不静止,仍有零点振动仍有零点振动满足方程的满足方程的定态波函数定态波函数：其中其中4.4.与经典谐振子的比较与经典谐振子的比较.基态位置概率分布基态位置概率分布 量子：在量子：在x=0=0处概率最大。处概率最大。经典：在经典：在x=0=0处概率最小处概率最小.符合

30、玻尔对应原理符合玻尔对应原理 量子概率分布量子概率分布 经典概率分布经典概率分布 能量量子化能量量子化 能量取连续值能量取连续值 最低能量最低能量(零点能零点能)最低能量为零。最低能量为零。.尽尽管管振振子子的的能能量量与与量量子子力力学学计计算算结结果果有有1/2hv的的偏偏差差，但但 能能量量的的改改变变还还是是hv的的整整数数倍倍，与与普普朗朗克克假假设设一致一致。例例4、设线性谐振子处在设线性谐振子处在基态和第一激基态和第一激发态的波函数分别为发态的波函数分别为y1e2a2x21=2a3p1/2y0e2a2x21=a2p4求：在这两状态时求：在这两状态时概率最大的位置概率最大的位置。y0=a2p4e-a2x2/2解：解：(1)基态概率分布函数基态概率分布函数d=0(-2a2xe-a2x2)dx2y0=a2py1=2a3p1/2xe-a2x2/2求极值，由求极值，由得到得到 x=0,由二阶导数小于零可知由二阶导数小于零可知x=0处是极大值。处是极大值。2y0=a2pe-a2x2（2）在第一激发态的波函数为：）在第一激发态的波函数为：y1=2a3p1/2x2e-a2x22=xa1=x2a21得到：得到：=2a3p1/2ddx2y1(2xe-a2x2-2a2x3e-a2x2)=0由由