2.1、2.2：多元函数的概念、极限与连续.ppt

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1、复习复习:数轴上的邻域数轴上的邻域回忆回忆2.1.1 n维空间维空间Rn点集的有关概念点集的有关概念（1 1）邻域）邻域二维平面上的点集二维平面上的点集（2 2）区域）区域例如，例如，即为即为开集开集内点内点.内点：内点：开集：开集：开集开集.边界点：边界点：边界点边界点.连通：连通：连通的连通的.开区域：开区域：连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域例如，例如，例如，例如，闭区域：闭区域：开区域和闭区域统称区域开区域和闭区域统称区域对于点集对于点集 E，如果存在正数，如果存在正数 K，使一切点，使一切点 PE 与某一点与某一点 A 间的距离间的距离|AP|不超过不超过 K，即，即对于一切点

2、对于一切点 PE 成立，则称成立，则称 E 为为有界点集有界点集。否则称为否则称为无界点集无界点集.有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，（3 3）聚点）聚点（1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：（2 2）边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例如，例如，(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点（3 3）点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：

3、说明：说明：说明：（2 2）边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例如，例如，(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点（4 4）n 维空间维空间实数实数 x一一对应一一对应数轴点数轴点.数组数组(x,y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应一一对应平面点平面点(x,y)全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)数组数组(x,y,z)一一对应一一对应空间点空间点(x,y,z)全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间)推广推广：n 维数组维数组(x1,x2,xn)全体称为全体称为 n 维空间维空间，记为，记为n 维空间中两点间维空间中两点间距离公式距离公式 设两点为

4、设两点为特殊地，当特殊地，当 n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离点间的距离n 维空间中维空间中邻域邻域概念：概念：区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义回忆回忆2.1.2 多元函数的概念多元函数的概念点集点集 D-定义域定义域，-值域值域.x、y-自变量自变量，z-因变量因变量.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数点集点集 D-定义域定义域，-值域值域.x、y-自变量自变量，z-因变量因变量.函数的函数的两个要素两个要素:定义域、对应法则定义域、对应法则.与一元函数相类似，对于

5、定义域与一元函数相类似，对于定义域约定约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为例例2.52.5求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：解解xyz0yxz例例2.62.6解解所以所以于是于是 表示多元函数的方法也有多种，如公式法、图形表示多元函数的方法也有多种，如公式法、图形法、表格法等。法、表格法等。2.1.3 2.1.3 二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左

6、图左图,球面球面.单值分支单值分支:0 xyz图图1yxz0图图22.1.4 n2.1.4 n元向量值函数元向量值函数(略略)2.2.1 多元函数的极限多元函数的极限-二重极限二重极限2.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续利用点函数的形式有利用点函数的形式有说明：说明：（1 1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2 2）二元函数的极限也叫）二元函数的极限也叫二重极限二重极限（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（4）二重极限的）二重极限的几何意义几何意义：0，P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0,)。在在U(P0,)内，

7、函数内，函数的图形总在平面的图形总在平面及及之间。之间。补例补例1 1 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例2.8证明证明证证因为因为所以所以所以所以例例2.9证明证明证证因为因为所以所以由夹逼原理知，由夹逼原理知，例例2.10求下列极限：求下列极限：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）解解（1 1）因为因为所以所以（2 2）因为因为（3 3）其中其中（4 4）或者，或者，注意注意：是指是指 P 以任何以任何方式趋于方式趋于P0.一一元元中中多多元元中中确定极限确定极限不存在不存在的的方法方法：例例2.112.11解解但取但取其值随其值随 k 的不同而变化。的不同而变化。不

8、存在不存在故故2.2.2 多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义3 3定义定义33注意注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。在曲线上的所有点处均间断。例如，例如，因此，因此，例例2.12讨论函数讨论函数的连续性。的连续性。解解函数函数 f 的定义域是不包含两坐标轴，但包含原点的定义域是不包含两坐标轴，但包含原点的平面的平面R2上所有点的集合。上所有点的集合。又因为坐标原点（又因为坐标原点（0，0）是）是定义域的聚点，且定义域的聚点，且所以函数所以函数 f 在（在（0 0，0 0）处连续。而）处连续。而 f 在其定义域中

9、在其定义域中的其他点上是连续的，因此该函数在其定义域上是连的其他点上是连续的，因此该函数在其定义域上是连续的。续的。例例2.13讨论函数讨论函数在（在（0 0，0 0）处的连续性。）处的连续性。解解因为因为所以函数所以函数 f 在（在（0 0，0 0）处连续。）处连续。多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定

10、义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域在在定义区域内的定义区域内的连续点求极限可用连续点求极限可用“代入法代入法”：例例2.14求下列函数的极限：求下列函数的极限：（1 1）（2 2）（3 3）解解（1 1）（2 2）显然点（显然点（1 1，0 0）为函数的连续点，所以）为函数的连续点，所以（3 3）因为因为令令 x x2 2+y+y2 2=t,=t,而而而而所以所以从而从而即即2.2.3 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（1 1）最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2 2）介值定理介值定理