线性代数(赵树嫄)第二章课件.ppt

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1、Ch2 矩矩 阵阵 本本章章介绍矩阵的概念、矩阵的运算、介绍矩阵的概念、矩阵的运算、逆矩阵、分块矩阵及计算、矩阵的初等变逆矩阵、分块矩阵及计算、矩阵的初等变换等。换等。矩阵是从生产实践和科学技术问题中抽象出矩阵是从生产实践和科学技术问题中抽象出来的一个数学概念，它在线性代数中既是最基来的一个数学概念，它在线性代数中既是最基本的研究对象，又是最重要的研究工具，它贯本的研究对象，又是最重要的研究工具，它贯穿线性代数的各个方面。穿线性代数的各个方面。1、理解矩阵概念，知道零矩阵、单位阵、理解矩阵概念，知道零矩阵、单位阵、对角阵、对称阵等特殊矩阵。对角阵、对称阵等特殊矩阵。2、熟练掌握矩阵的线性运算、

2、乘法运算、熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算以及它们的运算规律。转置运算以及它们的运算规律。3、知道矩阵的分块方法。、知道矩阵的分块方法。4、理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要、理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件。掌握求逆阵的方法。条件。掌握求逆阵的方法。5、熟练掌握矩阵的初等变换。、熟练掌握矩阵的初等变换。本章基本要求本章基本要求本章重点本章重点矩阵的乘法、逆阵及矩阵的初等变换。矩阵的乘法、逆阵及矩阵的初等变换。1 矩阵的概念矩阵的概念 在很多实际问题中，我们常常会碰到具有在很多实际问题中，我们常常会碰到具有m个方程个方程n个末知量的最一般形式的线性方程组：个末知量的最一般形式的

3、线性方程组：对线性方程组的研究可转化为对这张表的对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究研究.线性方程组的系数与常数项按原来相对位线性方程组的系数与常数项按原来相对位置不变可排为置不变可排为定义定义1 由由m n个数个数aij(i=1,2，m；j=1,2，n)排列成的排列成的m行行n列的数表：列的数表：简记为简记为(aij)m n,aij表表示矩阵示矩阵A的第的第i行、第行、第j列的元素。列的元素。称为称为m行行n列的矩阵，简称为列的矩阵，简称为mn阶矩阵。常记为阶矩阵。常记为矩阵通常用大写字母矩阵通常用大写字母A、B、C等表示。等表示。元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元

4、素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.例如例如是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.4 方阵方阵A的元素按原来相对位置不变所构成的的元素按原来相对位置不变所构成的n阶行阶行列式称为方阵列式称为方阵A的行列式，记为的行列式，记为|A|或或detA。例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵（1）n阶方阵阶方阵只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为对角对角对角对角矩阵矩阵矩阵矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵）.（3）形如形如 的方

5、阵的方阵,(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量)。记作记作 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .注意注意不同阶数的零矩阵是不一样的不同阶数的零矩阵是不一样的.例如例如(5)单位矩阵单位矩阵称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）。）。同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念 1、两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵。2.两个矩阵两个矩阵A=(aij)，B=(bij)为同型矩阵，并且为同型矩阵，并且对应元素相等，即对应元素相等，即则称则称矩

6、阵矩阵A与与B相等相等，记作，记作例如例如为同型矩阵为同型矩阵.(6)上上(下下)三角矩阵三角矩阵(7)对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵(8)负矩阵负矩阵例如例如则则2.2 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵的意义不仅仅在于将一些数据排成一个矩阵的意义不仅仅在于将一些数据排成一个有规律的数表形式，更重要的是在于当我们对它定有规律的数表形式，更重要的是在于当我们对它定义了一系列运算后，矩阵可以像数一样运算，从而义了一系列运算后，矩阵可以像数一样运算，从而使得矩阵成为进行理论研究和解决实际问题的有力使得矩阵成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。工具。定义定义 设有两个设有两个m n矩阵矩阵A=(aij

7、)，B=(bij),那末矩那末矩阵阵A和和B的和记作的和记作A+B，规定为规定为一、矩阵的加法一、矩阵的加法 例例1 有某种物资（单位：吨）从有某种物资（单位：吨）从3个产地运往个产地运往4个销个销地，两次调运方案分别为矩阵地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵与矩阵B：则从各则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）共为：吨）共为：矩阵加法满足下列运算规律：矩阵加法满足下列运算规律：性质性质1 设设A、B、C是同型矩阵，则是同型矩阵，则 (1)交换律：交换律：A+B=B+A；(2)结合律：结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(3)A+O=A，其中其

8、中O是与是与A同型的零矩阵。同型的零矩阵。矩阵的减法：矩阵的减法：显然有显然有 A-A=O二、数乘矩阵二、数乘矩阵定义定义 数数 与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作 A，规定为：规定为：例例1 设有设有3个产地与个产地与4个销地的里程（单位：公里），个销地的里程（单位：公里），为矩阵为矩阵A：如果运费为如果运费为1.5元元/公里，则运费矩阵为：公里，则运费矩阵为：矩阵的数乘满足下列运算规律：矩阵的数乘满足下列运算规律：性质性质2 设设A，B是同型的矩阵，是同型的矩阵，、为常数，则为常数，则 (1)()A=(A)=(A)；(2)(+)A=A+A；(3)(A+B)=A+B；(4)A=O，当且仅当当

9、且仅当 =0或或A=O。矩阵相加与数与矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。矩阵相加与数与矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。显然，显然，(1)A=A，(A)=A。例子，设有两个线性变换例子，设有两个线性变换（2.1)(2.2),23213132221212212111132322212123132121111 +=+=+=+=+=tbtbxtbtbxtbtbxxaxaxayxaxaxay(2.1)称为从变量称为从变量Y 到变量到变量X的线性变换；的线性变换；(2.2)称为从变量称为从变量X 到变量到变量T 的线性变换。的线性变换。三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘它们的系数矩阵分别是它们的系数矩阵分

10、别是 如要求出从如要求出从Y(y1，y2)到到T(t1，t2)的线性变换，可的线性变换，可将（将（2.2）代入（）代入（2.1），便得：），便得：观察观察(2.1)、(2.2)、(2.3)所对应的矩阵的关系所对应的矩阵的关系：由此我们定义它们之间关系为矩阵的乘积，即由此我们定义它们之间关系为矩阵的乘积，即一般地，一般地，记为记为C=AB。(2.4)式表明，乘积矩阵式表明，乘积矩阵AB的的i行行j列位置上的元素是列位置上的元素是A的第的第i行与行与B的第的第j列对应元素乘积之和。列对应元素乘积之和。即即例例1设设例例2故故解解注意：注意：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数

11、等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.例如例如没有意义。没有意义。=10解：解：由矩阵的定义及上述例题可知，由矩阵的定义及上述例题可知，矩阵乘法与普矩阵乘法与普通数的乘法有根本的差别，通数的乘法有根本的差别，应特别引起注意。应特别引起注意。例例5 利用矩阵的乘法利用矩阵的乘法,线性方程组线性方程组(1.1)可以写成矩阵可以写成矩阵形式。设线性方程组形式。设线性方程组(1.1)的系数组成的系数组成mn矩阵：矩阵：末知数和常数项分别组成末知数和常数项分别组成n1与与m1列矩阵列矩阵(列向量列向量)：这样线性方程组这样线性方程组(1.1)可以写成可以写成 AX=b。例例

12、7 矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 (1)结合律结合律(AB)C=A(BC)(2)(AB)=(A)B=A(B)(3)分配律分配律 A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA (4)对于单位阵对于单位阵I，有有Im Amn=Amn Amn In=Amn 证明略。证明略。四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义定义4 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做阵，叫做A的转置矩阵，记做的转置矩阵，记做A或或AT。例如例如转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质特别地，矩阵特别地，矩阵A是是对称对称矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是AT=A；矩阵矩阵A是是反对

13、称反对称矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是AT=-A。例例10 证明任一证明任一n阶矩阵阶矩阵A都可表示成都可表示成 个对称阵个对称阵与一个反对称阵之和与一个反对称阵之和.证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证。命题得证。五、方阵的幂五、方阵的幂设设A是是n阶方阵，设阶方阵，设k为正整数为正整数,记记 A1=A，A2=AA，Ak+1=AkA。叫做方阵叫做方阵A的幂。的幂。特别规定特别规定A0=I。性质性质4 设设A是是n阶方阵，阶方阵，k是常数、是常数、m、n是正整数，是正整数，则则 (1)Am Ak=Am+k；(2)(Am)k=Amk；一般地，一

14、般地，(AB)m AmBm。矩阵多项式：矩阵多项式：设设则定义则定义这里，一般这里，一般但但例例11 设矩阵：设矩阵：求求例例14 设设 。从而对于任意的正整数从而对于任意的正整数n，要证的等式成立。要证的等式成立。六、方阵的行列式六、方阵的行列式定义定义 由由n阶方阵阶方阵A的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵A的行列式，记作的行列式，记作|A|或或det(A)。运算性质运算性质4 分块矩阵分块矩阵 对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条纵对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为原

15、来矩阵的子阵或子块，以这些子块为元素所构成原来矩阵的子阵或子块，以这些子块为元素所构成的矩阵称为的矩阵称为分块矩阵分块矩阵。在许多工程问题的矩阵计算中，由于矩阵的阶在许多工程问题的矩阵计算中，由于矩阵的阶数一般很高，因此，为了使矩阵的结构更清楚，同数一般很高，因此，为了使矩阵的结构更清楚，同时也为了利用矩阵所具有的某些特点，常常采用分时也为了利用矩阵所具有的某些特点，常常采用分块法，将阶数较高的矩阵的运算化成一些阶数较低块法，将阶数较高的矩阵的运算化成一些阶数较低的小矩阵的运算。的小矩阵的运算。一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念例如：例如：矩阵的分块可以是任意的，具体分块方法的选取，矩阵的分

16、块可以是任意的，具体分块方法的选取，主要取决于问题的需要和矩阵自身的特点。主要取决于问题的需要和矩阵自身的特点。又如又如二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算1.设矩阵设矩阵A与矩阵与矩阵B的行数和列数，且采用相同的分的行数和列数，且采用相同的分块法，则块法，则分块矩阵有着与普通矩阵相类似的运算方法和性质。分块矩阵有着与普通矩阵相类似的运算方法和性质。2.数与矩阵相乘数与矩阵相乘 即分块矩阵转置时，既要把整个分块矩阵转置，即分块矩阵转置时，既要把整个分块矩阵转置，又要把其中每一个子块转置。又要把其中每一个子块转置。例如：例如：分块分块矩阵有下列性质：矩阵有下列性质：解解5 可逆矩阵可逆矩阵一、逆

17、阵的定义一、逆阵的定义 我们知道在数学上有很多运算是成对出现的我们知道在数学上有很多运算是成对出现的那么，我们前面讨论的矩阵的乘法是否存在除法呢？那么，我们前面讨论的矩阵的乘法是否存在除法呢？更一般地，在初等数学中解方程更一般地，在初等数学中解方程ax=b，当当 a0时，时，x=a-1b。那么矩阵方程那么矩阵方程AX=b，是否也有是否也有X=A-1b呢？呢？如果不存在满足如果不存在满足(*)式的方阵式的方阵,则称方阵则称方阵A是不可是不可逆的。逆的。即逆矩阵是唯一的。即逆矩阵是唯一的。证毕证毕方阵的方阵的A逆阵记为逆阵记为A1。由逆阵的定义知：单位阵由逆阵的定义知：单位阵I是可逆的，且是可逆的

18、，且I的逆阵就的逆阵就是是I本身。更一般地，对角矩阵本身。更一般地，对角矩阵其逆矩阵是其逆矩阵是二、方阵可逆的充分必要条件二、方阵可逆的充分必要条件 定义定义2 设设A是是n阶方阵，阶方阵，Aij 是行列式是行列式|A|中元素中元素aij的代数余子式，则矩阵的代数余子式，则矩阵 若若n阶矩阵阶矩阵A的行列式不为零，即的行列式不为零，即|A|0，则称则称A为为非奇异非奇异(非退化非退化)矩阵矩阵，否则称为，否则称为奇异奇异(退化退化)矩阵矩阵。此外，定理不仅给出了矩阵可逆的条件，而且也此外，定理不仅给出了矩阵可逆的条件，而且也告诉我们，对阶数不大的矩阵，可以通过伴随矩阵告诉我们，对阶数不大的矩阵

19、，可以通过伴随矩阵求它的逆阵。求它的逆阵。如例如例1 中，中，因为因为|A|=20，所以所以A可逆，且可逆，且推论推论 设设A，B是是n阶方阵，且阶方阵，且AB=I，那么，那么，BA=I，即即A，B都可逆，且都可逆，且B-1=A，A-1=B。证：证：由条件由条件A，B都是都是n阶方阵，且阶方阵，且AB=I，得得|A|B|=|I|=10；所以所以|A|0，从而由定理从而由定理2可知可知A，B都可逆。都可逆。再由条件再由条件AB=I可得，可得，BA=(A-1A)BA=A-1(AB)A=A-1IA=I。由定义由定义1知：且知：且B-1=A，A-1=B。三、可逆阵的性质三、可逆阵的性质设设A，B为同阶

20、可逆矩阵，为同阶可逆矩阵，是非零常数，则是非零常数，则例例3 设设A，B为三阶方阵，为三阶方阵，I是三阶单位阵，且满足是三阶单位阵，且满足：AB+I=A2+B，又知又知(*)例例4 设方阵设方阵A与与B满足满足AB=AB，证明证明A+I可逆可逆,且求出它的逆阵且求出它的逆阵.解解 由条件由条件AB=AB可得，可得，A+IBAB=I，(A+I)(A+I)B=I，于是于是 (A+I)(IB)=I。所以，所以，A+I 可逆，且其逆阵可逆，且其逆阵 (A+I)1=IB。注：矩阵的左乘和右乘一定要注意！注：矩阵的左乘和右乘一定要注意！，使使AX=I所以，所以，A可逆，且可逆，且A-1=X。例例11 利用例利用例10结论求方阵结论求方阵解解计算得：计算得：于是于是例题选讲例题选讲例例1 若方阵若方阵A满足满足A23A10I=0，证明证明A、A-4I均均可逆，并求其逆。可逆，并求其逆。例例2 已知已知 。计算。计算例例3 已知已知3阶矩阵阶矩阵A的逆矩阵：的逆矩阵：试求其伴随矩阵试求其伴随矩阵A*的逆矩阵。的逆矩阵。