第一章 计算声学中的数值计算及误差分析2.ppt

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1、2 误差与数值计算的误差估计l有效数字的判断有效数字的判断 精确值：358.467、0.00427511 8.000034、8000.034近似值：358.47、0.0042751 8.0000、8000.0分别有几位有效数字？分别有几位有效数字？2 误差与数值计算的误差估计误差与数值计算的误差估计l有效数字有效数字 定义：设定义：设 的近似值的近似值 可以写成如下的标准形式可以写成如下的标准形式 所以当其绝对误差限满足所以当其绝对误差限满足 时，称近时，称近似值似值 具有具有 位有效数字。位有效数字。2 误差与数值计算的误差估计l结论：结论：如果 ，有 位有效数字，则其相对误差限为反之，如果

2、 的相对误差限满足则 至少有 位有效数字。2 误差与数值计算的误差估计l例例1.3 要使 的近似值的相对误差小于 ，至少需取几位有效数字？l误差的传播与估计误差的传播与估计 实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是近似值，带有误差带有误差。而在进一步运算中都会产生舍入误差舍入误差或截断误截断误差差，这些误差在运算过程中会进行传播传播，影响计算结果。l数值计算的误差估计数值计算的误差估计二元函数：二元函数：，当，当 、时时2 误差与数值计算的误差估计2 误差与数值计算的误差估计l泰勒（泰勒（Taylor）公式估计误差的方法：）公式估计误差的方法：以二元函数 为例，设 和 分别是和 的近似值，是函

3、数值 的近似值。函数在点 处的Taylor展开式为2 误差与数值计算的误差估计 式中 ，一般都是小量值，如果忽略它们的高阶无穷小量，则上式简化为 的绝对误差：的绝对误差：2 误差与数值计算的误差估计系数 、分别是一阶偏导数在 处的值，称为 对 的绝对误差的增长因子增长因子，分别表示绝对误差 经过传播后增大或缩小的倍数。2 误差与数值计算的误差估计 的相对误差：的相对误差：分别是 对 的相对误差的增长因子增长因子，表示相对误差 经过传播后增大或减小的倍数。由此可以得到两近似数 的和、差、积、商的误差估计为2 误差与数值计算的误差估计2 误差与数值计算的误差估计例例1.4 测得某电阻两端的电压和流

4、过的电流分别为 伏、安，求电阻的阻值 ，并求 及 。例例1.5 经过四舍五入得到 ，问他们分别具有几位有效数字？，的绝对误差限分别是多少？2 误差与数值计算的误差估计例例1.6 设 ，都精确到2位小数，估计 的相对误差。2 误差与数值计算的误差估计 在由误差估计式得出绝对误差限和相对误差限的估计时，由于取了绝对值并用三角不等式放大，是按照最坏情形最坏情形得出的，所以结果是保守保守的。一般来说，为了保证计算结果的精确度，在计算过程中，比结果中所要求的有效数字位数多取多取1位位或或2位位就可以了。2 误差与数值计算的误差估计 计算机只能对有限位数进行计算，从而在运算中产生误差是不可避免的。许多实际

5、问题的求解往往需要进行成千上万次的数值计算，为了保证计算结果的可靠性，必须防止误差的产生、传播与扩大防止误差的产生、传播与扩大。3 选用和设计算法时应遵循的原则3 选用和设计算法时应遵循的原则选择算法应遵循的原则：选择算法应遵循的原则：l1.算法是否稳定；l2.算法的逻辑结构是否简单；l3.算法的运算次数和算法的存储量是否尽量少。减少运算误差的几项措施：减少运算误差的几项措施：l1.选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播；播；在数值计算中，对于某一问题选用不同的算法，所得到的结果往往不同，有时甚至大不相同。这主要是由于初始数初始数据的误差据的误差或计

6、算时的舍入误差舍入误差在计算过程中的传播传播因算法的不同而异。对某一算法，如果初始数据的误差或舍入误差对计算结果的影响较小，则称该算法是数值稳定数值稳定的；否则，称为数值不稳定数值不稳定算法。3 选用和设计算法时应遵循的原则例例1.7 计算积分解：由 算法一：算法一：将代入递推公式分别计算，由于3 选用和设计算法时应遵循的原则所以 。的近似值所产生的误差每计算一次放大10倍，误差随n的增大迅速递增，因此算法一误差过大。算法二算法二：由后项递推前项，中的误差传递到 时下降为原来的1/10。由于令：3 选用和设计算法时应遵循的原则代入递推公式分别计算，计算结果如表所示。3 选用和设计算法时应遵循的原则n（算法一）n（算法二）00.0953120.0073410.047110.0076020.03100.0083330.033390.009174-0.08380.010251.0370.01156-10.13360.01313 选用和设计算法时应遵循的原则l2.尽量简化计算步骤以便减少运算次数；l3.避免两个相近数相减；l4.绝对值太小的数不宜作除数；l5.合理安排运算数序，防止大数淹没小数；多个数相加时，绝对值小者先加；多个数相乘时，有效位数多者先乘。