第四章矩阵 (2).ppt

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1、一、矩阵乘积的行列式一、矩阵乘积的行列式二、非退化矩阵二、非退化矩阵三、矩阵乘积的秩三、矩阵乘积的秩 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩引入引入行列式乘法规则行列式乘法规则其中其中则则 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩定理定理1 设设 为数域为数域 上的上的 级矩阵，级矩阵，则则推广推广 为数域为数域 上的上的 级方阵，则级方阵，则一、矩阵乘积的行列式一、矩阵乘积的行列式 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩定

2、义定义若若 ，称，称 为为退化的退化的若若 ，则称，则称 为为非退化的非退化的；注注：级方阵级方阵 非退化非退化 ；级方阵级方阵 退化退化设设 为数域为数域 上的上的 级方阵，级方阵，二、非退化矩阵二、非退化矩阵 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩推论推论 设设 为数域为数域 上的上的 级矩阵，级矩阵，则则非退化非退化 都非退化都非退化证：证：退化退化 或或 退化退化非退化非退化且且都非退化都非退化 .4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩三、矩阵乘积的秩三、矩阵乘积的秩定理

3、定理2 设设 为数域为数域 上的矩阵，上的矩阵，则则证：证：令令设设 的行向量组为的行向量组为的行向量组为的行向量组为则向量组合则向量组合 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩即有即有故故 可由可由 线性表示线性表示.所以所以 同理，同理，4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩三、矩阵乘积的秩三、矩阵乘积的秩定理定理2 设设 为数域为数域 上的矩阵，上的矩阵，则则推广推广 如果如果 ，则，则 4.3 4.3 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩证明：证明：例例1设设A为为n级方阵，且级方阵，且证：证：又由有又由有而而于是有于是有所以所以