韦达定理.ppt

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1、韦达定理韦达定理宁三中：陈涛韦达（韦达（15401603）法国法国数学家数学家十六世纪最有影响的十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为数学家之一，被尊称为“代数学之父代数学之父”。他是第一个引进系统的他是第一个引进系统的代数代数符号，并对方程论符号，并对方程论做了改进的数学家。做了改进的数学家。韦达定理一：一：发现，发现，噢，是这样噢，是这样哎！哎！二：二：证明，证明，为什么会是这样呢？能证明吗？为什么会是这样呢？能证明吗？三：三：运用，运用，我学习它有什么用呢？我学习它有什么用呢？1.一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：的求根公式：X=2.解方程的方法有哪些？解

2、方程的方法有哪些？直接开平方法直接开平方法做准做准备备：第一段第一段因式分解因式分解-提公因提公因式式因式分解因式分解-平方差平方差因式分解因式分解-完全平方完全平方因式分解因式分解-十字相乘十字相乘配方法配方法求根公式求根公式（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1-2第一段第一段一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2 ,那么X1+x2=,X1x2=-（韦

3、达定理）提示你：能用韦达定理的条件为0第一段的总结第一段的总结2x2-4x+10=0X1+x2=X1x2=第二段 韦达定理的证明：韦达定理的证明：X1+x2=+=-X1x2=说出下列各方程的两根之和与两根之积：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2 =4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2=-http:/ ,x2 。求：(1)(2)x12+x22解：由题意可知x1+x2=-,x1 x2=-3(1)=(2)(x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x2

4、2(x1x2)2-2x1x2(-)2-2(-3)6例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解法一：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k=-2由韦达定理，得x123k即2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解法二：设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得x1 2=k+1x1 2=3k解这方程组，得x1=3 k=2答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。1、韦达定理及证明2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与

5、系数问题时，要注意隐含条件：0ax2+bx+c=0(a0)X X1 1+x2 2=X X1 1x2 2=-1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16 解：由韦达定理，得x1+x2=-2,x1 x2=(x1+1)(x2+1)=x1 x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得即-8k+40由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+44解得k1=0 ,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。k=0如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2=X1X2=Pq