线性代数 1.6 行列式按行(列)展开.ppt

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1、1.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式引例引例,考察三阶行列式考察三阶行列式 在在 n 阶行列式阶行列式D中中,把元素把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列元素划去后列元素划去后,留下来的留下来的 n1 阶行列式叫做阶行列式叫做(行列式行列式D的关于的关于)元素元素aij 的的余子式余子式,记作记作 Mij.即即例如例如记记 Aij=(1)i+j Mij,称称 Aij 为元素为元素 aij 的的代数余子式代数余子式.引理引理:如果一个阶行列式如果一个阶行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 aij 外外都为零都为零,那么那么

2、,行列式行列式 D 等于等于 aij 与它的代数余子式与它的代数余子式 Aij的乘积的乘积,即即 D=aij Aij.行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式子式和唯一的一个代数余子式.=aij Aij.证证:当当 aij 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,又由于又由于 A11=(1)1+1M11=M11,再证一般情形再证一般情形,此时此时由上节例由上节例3,即教材中的例即教材中的例10得得:D=a11M11.从而从而 D=a11A11,即结论成立即结论成立.把把D的第的第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行,第第 i

3、 2行行,第第1行行交换交换,得得 把把D的第的第 j 列依次与第列依次与第 j 1列列,第第 j 2列列,第第1列列交换交换,得得=(1)i+j aij M 11,显然显然,M 11恰好是恰好是aij在在D中的余子式中的余子式Mij,即即M 11=Mij,因此因此,D=(1)i+j aij Mij=aij Aij,故引理结论成立故引理结论成立.定理定理3:行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其的各元素与其对应的代数余子式乘积之和对应的代数余子式乘积之和,即即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n);D=a1iA1i+a2iA2i+aniAni (

4、i=1,2,n).证证:二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1,2,n).由引理得由引理得:引理的结论常用如下表达式引理的结论常用如下表达式:(i=1,2,n)解解:按第一行展开按第一行展开,得得例例1:计算行列式计算行列式如果按第二行展开如果按第二行展开,得得例例2:计算行列式计算行列式解解:D例例3:证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式证证:用数学归纳法用数学归纳法所以所以,当当 n=2 时时,(1)式成立式成立.假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式,(1)式成立式成立.对对 n

5、 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式,作如下变换作如下变换,ri x1ri-1 (i=n,n1,2,1).得得按第一列展开按第一列展开,并把每列的公因子并把每列的公因子(xi x1)提出提出,就就有有:n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式则根据归纳假设得证则根据归纳假设得证:例例4:计算行列式计算行列式解解:推论推论:行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对的对应元素的代数余子式乘积之和等于零应元素的代数余子式乘积之和等于零,即即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j;a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j.证证:把行列式把行列式D=d

6、et(aij)按第按第 j 行展开行展开,得得把把 ajk 换成换成 aik(k=1,2,n),当当 i j 时时,可得可得第第 j 行行第第 i 行行相同相同同理同理 a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0,i j 所以所以,ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0,i j 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质其中其中 1.行列式按行行列式按行(列列)展开法则是把高阶行列式的计展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结2.思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和:A11+A12+A1n.设设 n 阶行列式阶行列式思考题解答思考题解答解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成A11+A12+A1n