第二章 连续LTI系统微分方程式的建立.ppt

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1、信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第二章 连续时间系统的时域分析2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解2.3 2.3 起始点的跳变起始点的跳变(从从0-0-到到0+)0+)2.4 2.4 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应2.5 2.5 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.6 2.6 卷积卷积2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统元元阶微分方程阶微分方程一、系统数学模型的时域表示法一、系统数学模型的时域表示法输入输出输入输出描述：描述：状态变量状态变量描述：描述：一一一一 N NN N一一一一

2、元元阶微分方程阶微分方程 2.1 2.1 引言引言2信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统二、系统分析过程二、系统分析过程列方程列方程解方程解方程经典法：经典法：双零法双零法零输入零输入：零状态零状态：变换域法：变换域法：全解全解=齐次解齐次解+特解特解可用经典法可用经典法卷积积分法卷积积分法(新方法新方法)FT,LT3信号与系统信号与系统一、微分方程的建立一、微分方程的建立根据根据元件特性约束元件特性约束和和网络拓扑约束。网络拓扑约束。2.2 微分方程的建立与求解4信号与系统信号与系统例例2.2.1：求并联电路的端电压求并联电路的端电压与激励与激励间关系。间关系。解：解：一、微分方程的建立

3、一、微分方程的建立5信号与系统信号与系统解：解：一、微分方程的建立一、微分方程的建立例例2.2.2如下图机械位移系统，质量为如下图机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为f，外加牵引力为，外加牵引力为Fs(t)，求其外加牵引力，求其外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度与刚体运动速度v(t)间的关系。间的关系。msF6信号与系统信号与系统二、二、n 阶阶LTI系统系统微分方程的一般形式微分方程的一般形式一个一个n阶阶LTI系统，系统，e(t)与与r(t)的关系可以用下的关系可以

4、用下面一般形式的面一般形式的n阶线性常微分方程阶线性常微分方程描述。描述。Ci,Ei均为常数。均为常数。7信号与系统信号与系统（一）齐次解（一）齐次解rh(t)三、线性时不变系统经典法求解三、线性时不变系统经典法求解写出齐次解形式写出齐次解形式特征根特征根齐次解的形式齐次解的形式单根单根k重实根重实根由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根8信号与系统信号与系统三、线性时不变系统经典法求解三、线性时不变系统经典法求解9信号与系统信号与系统系统的特征方程为系统的特征方程为特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为三、线性时不变系统经典法求解三、线性时不变系统经典法求解10信号与系统信号与系

5、统三、线性时不变系统经典法求解三、线性时不变系统经典法求解（二）特解（二）特解rp(t)比较系数定出特解。比较系数定出特解。由微分方程右端由微分方程右端e(t)形式形式设具有系数的特解设具有系数的特解r(t)代入原方程代入原方程激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解等于特征单根等于特征单根 不等于特征根不等于特征根11信号与系统信号与系统已知：已知：求两种情况下的特解。求两种情况下的特解。例例2.2.4给定微分方程式给定微分方程式三、线性时不变系统经典法求解三、线性时不变系统经典法求解12信号与系统信号与系统齐次解齐次解+特解，由初始条件定出特解，由初始条件定出齐次解系数

6、齐次解系数例例2.2.5：求如下微分方程的全解。求如下微分方程的全解。三、线性时不变系统经典法求解三、线性时不变系统经典法求解（三）全解（三）全解13信号与系统信号与系统解解:齐次方程为齐次方程为特征方程：特征方程：特征根：特征根：该方程的齐次解为：该方程的齐次解为：激励函数中激励函数中=-1，与微分方程的一个特征根相，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：同，因此特解为：三、线性时不变系统经典法求解三、线性时不变系统经典法求解14信号与系统信号与系统代入原微分方程得代入原微分方程得求得求得所以特解为所以特解为全解为全解为代入初始条件代入初始条件求得求得所以有所以有三、线性时不变系统经典法求

7、解三、线性时不变系统经典法求解15信号与系统信号与系统三、线性时不变系统经典法求解三、线性时不变系统经典法求解16信号与系统信号与系统根据电路形式，列回路方程根据电路形式，列回路方程列结点电压方程列结点电压方程(1)（1）列写电路的微分方程）列写电路的微分方程17信号与系统信号与系统(2)(2)求系统的完全响应求系统的完全响应系统的特征方程系统的特征方程特征根特征根齐次解齐次解方程右端自由项为方程右端自由项为代入代入式式(1)(1)要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为特解特解18信号与系统信号与系统换路前换路前(3)19信号与系统信号与系统因而有因而有由于电容两端电压和电感中的电流不会发生

8、突变由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,20信号与系统信号与系统(4)(4)要求的完全响应为要求的完全响应为21信号与系统信号与系统2.3 起始点的跳变22信号与系统信号与系统一、起始点的跳变一、起始点的跳变状态，状态，起始状态起始状态状态，状态，初始条件初始条件，也称导出的起始状态，也称导出的起始状态O0-0+t23信号与系统信号与系统4.如果微分方程右端包含如果微分方程右端包含及其各阶导数项，则系统从及其各阶导数项，则系统从0_到到0+状态状态有跳变有跳变。2.一般情况下换路期间满足一般情况下换路期间满足换路定则换路定则：1.对于电路，系统对于电路，系统0_状态就是系统中储能元件的

9、储能情况状态就是系统中储能元件的储能情况;3.但是当有但是当有冲激电流冲激电流强迫作用于电容或有强迫作用于电容或有冲激电压冲激电压强迫作强迫作用于电感，用于电感，0_到到0+状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。一、起始点的跳变一、起始点的跳变说明：说明：24信号与系统信号与系统(一一)电容电压的跳变电容电压的跳变由伏安关系由伏安关系当有冲激电流作当有冲激电流作用于电容时用于电容时0-到到0+有跳变。有跳变。25信号与系统信号与系统 例例2.3.1 2.3.1 当有阶跃电压作用当有阶跃电压作用于电容时，于电容时，0-到到0+有跳变。有跳变。26信号与系统信号与系统(二二)电感电流的跳变电感电流的

10、跳变如果为有限值，如果为有限值，当有冲激电压作当有冲激电压作用于电感时，用于电感时，0-到到0+有跳变。有跳变。27信号与系统信号与系统 例例2.3.22.3.2当有阶跃电流作用当有阶跃电流作用于电感时，于电感时，0-到到0+有跳变。有跳变。)(tiL+-LIs(t)VL(t)28信号与系统信号与系统原理：原理：t=0时刻时刻微分方程左右两端微分方程左右两端(t)及各阶及各阶导数应相等导数应相等!例例2.3.3：二、冲激函数匹配法确定初始条件二、冲激函数匹配法确定初始条件数学描述数学描述分析过程分析过程29信号与系统信号与系统分析过程分析过程30信号与系统信号与系统 数学描述数学描述设设则则代

11、入方程代入方程得出得出所以得所以得即即即即方程右端含方程右端含项，它一定属于项，它一定属于31信号与系统信号与系统例例2.3.4：描述描述LTIS的微分方程为的微分方程为输入输入如图，已知如图，已知用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求二、冲激函数匹配法确定初始条件二、冲激函数匹配法确定初始条件解：解：将将代入微分方程，代入微分方程，t0，得得32信号与系统信号与系统方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而有，因而有代入微分方程代入微分方程二、冲激函数匹配法确定初始条件二、冲激函数匹配法确定初始条件33信号与系统信号与系统求得求得因而有因而有所以所以二、冲激函数匹配法确

12、定初始条件二、冲激函数匹配法确定初始条件34信号与系统信号与系统u习题2-5二、冲激函数匹配法确定初始条件二、冲激函数匹配法确定初始条件35信号与系统信号与系统2.4 零输入响应和零状态响应36信号与系统信号与系统一、系统响应的划分一、系统响应的划分自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+Forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)全响应全响应37信号与系统信号与系统外加激励外加激励e(t)=0，只由起始状态，只由起始状态x(0-)产生的响应。产生

13、的响应。将将e(t)代入方程求齐次解加特解，代入方程求齐次解加特解，由冲激函数由冲激函数匹配法匹配法求求r(0+),再求再求全解全解rzs(t)的待定系数。的待定系数。零输入响应零输入响应rzi(t)零状态响应零状态响应rzs(t)零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：是系统方程的齐次解，由于无外加激励，则由是系统方程的齐次解，由于无外加激励，则由r(0+)=r(0-)求出求出齐次解齐次解rzi(t)的待定系数的待定系数。起始状态起始状态r(0-)=0，只由外加激励，只由外加激励e(t)0产生的响应。产生的响应。一、系统响应的划分一、系统响应的划分x(0-)H.38信号与系统信号与系

14、统由系统本身特性决定。对应于由系统本身特性决定。对应于齐次解齐次解。形式形式取决于取决于e(t)。对应于。对应于特解特解。t时时，响应，响应趋于零趋于零的部分。的部分。t时时，响应，响应留下的留下的部分。部分。自由响应：自由响应：暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：强迫响应：强迫响应：一、系统响应的划分一、系统响应的划分39信号与系统信号与系统例例2.4.12.4.1：求系统的零输入响应求系统的零输入响应解：解：特征方程特征方程特征根特征根零输入响应零输入响应由起始条件由起始条件得零输入响应为得零输入响应为二、零输入响应二、零输入响应40信号与系统信号与系统三、零状态响应三、零状态响应例例

15、2.4.22.4.2：求系统的零状态响应求系统的零状态响应零状态响应的齐次解：零状态响应的齐次解：零状态响应的特解：零状态响应的特解：零状态响应：零状态响应：由由冲激函数匹配冲激函数匹配法：法：则：则：解：解：rzsp(t)=B,则则2B=3,B=3/241信号与系统信号与系统四、全响应四、全响应自由响应自由响应暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应强迫响应强迫响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应42信号与系统信号与系统u习题2-6（2）四、全响应四、全响应43信号与系统信号与系统解：解：四、全响应四、全响应44信号与系统信号与系统解得解得四、全响应四、全响应45信号与系统信号与系统2.5

16、冲激响应和阶跃响应46信号与系统信号与系统一冲激响应一冲激响应1 1定义定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号作用下产生的作用下产生的零状态零状态响应响应，称为，称为单位冲激响应单位冲激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，一般用，一般用h(t)表示。表示。47信号与系统信号与系统响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)2.2.冲激响应的数学模型冲激响应的数学模型线性时不变系统可以用一个高阶微分方程表示线性时不变系统可以用一个高阶微分方程表示激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最高最高阶为阶为m次次)令令e(t)=(t)则则r(t)=h(t)一冲激响应一冲激响应48信号与系统信

17、号与系统设特征根为简单根（无重根的单根）设特征根为简单根（无重根的单根）由于由于(t)及其导数在及其导数在t0+时都为零，因而方程式右端的自由时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于项恒等于零零，这样原系统的冲激响应形式与，这样原系统的冲激响应形式与齐次解齐次解的形式相同。的形式相同。与与n,m相对大小有关相对大小有关与特征根有关与特征根有关3 3.h(t)解的形式解的形式一冲激响应一冲激响应 h(n)(0-)=049信号与系统信号与系统解：解：求特征根求特征根冲激响应冲激响应例例2.5.1求如下系统的冲激响应。求如下系统的冲激响应。将将e(t)(t)，r(t)h(t)带带u(t)求待定求待定系

18、数：系数：冲激函数匹配法冲激函数匹配法,奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法一冲激响应一冲激响应50信号与系统信号与系统代入代入h(t),得得（1 1）用用冲激函数匹配法冲激函数匹配法求待定系数求待定系数51信号与系统信号与系统（2 2）用用奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法求待定系数求待定系数根据系数平衡根据系数平衡，得，得52信号与系统信号与系统二阶跃响应二阶跃响应系统方程右端含阶跃函数系统方程右端含阶跃函数u(t)，所以：，所以：齐次解齐次解+特解特解。系统在单位阶跃信号系统在单位阶跃信号u(t)作用下的作用下的零状态响应零状态响应，称，称为为单位阶跃响应单位阶跃响应，简称，简称阶跃响

19、应。阶跃响应。1 1定义定义 53信号与系统信号与系统2 2阶跃响应与冲激响应的关系阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性二阶跃响应二阶跃响应习题习题2-9(1)(3)H(.)54信号与系统信号与系统欧拉欧拉Euler泊松泊松Poisson2.6 卷积Convolution2.6 2.6 卷积卷积55信号与系统信号与系统一一.卷积的定义卷积的定义2.6 卷积Convolution56信号与系统信号与系统二二.卷积的物理意义卷积的物理意义h(t)e(t)r(t)任意信号和冲击响应的任意信号和冲击响应的卷积卷积是系统的是系统的零状态响应。零状态响应。5

20、7信号与系统信号与系统三三.卷积的卷积的计算计算图示法图示法58信号与系统信号与系统步骤：步骤：59信号与系统信号与系统0.50.5步骤：步骤：60信号与系统信号与系统步骤：步骤：61信号与系统信号与系统四四.卷积的卷积的计算计算阶跃函数表示法阶跃函数表示法1列写列写KVL方程方程2 2冲激响应为冲激响应为例例2.6.12.6.162信号与系统信号与系统4.定积分限（定积分限（关键关键）63信号与系统信号与系统波形波形习题习题2-14（1）（）（2）64信号与系统信号与系统 （1 1）交换律）交换律 （2 2）分配律）分配律 （3 3）结合律）结合律 Convolutionand the pr

21、operty2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质一卷积代数一卷积代数65信号与系统信号与系统2.7卷积的性质卷积的性质u(1)(1)交换律交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)证：证：-dxxt-x66信号与系统信号与系统图 2.6-1 交换律的实际意义h(t)e(t)r(t)h(t)e(t)r(t)2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质67信号与系统信号与系统 u (2)(2)分配律分配律f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)证：证：2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质68信号与系统信号与系统图 2.6-2 分配律并联系统h1(t)+h

22、2(t)e(t)e(t)r(t)r(t)h1(t)h2(t)2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质h(t)69信号与系统信号与系统u(3)(3)结合律结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)证：证：t-(+x)xdx2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质70信号与系统信号与系统图 2.6-3 结合律串联系统h2(t)h1(t)e(t)r(t)e(t)r(t)h2(t)h1(t)*2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质h(t)71信号与系统信号与系统二微分积分性质二微分积分性质1、微分性质：、微分性质：推广：推广：两端对两端对t 求导求导 交换律交换律证明：证明：

23、72信号与系统信号与系统r(t)的积分的积分2、积分性质：、积分性质：二微分积分性质二微分积分性质推广：推广：73信号与系统信号与系统二微分积分性质二微分积分性质3、微分性质积分性质联合使用、微分性质积分性质联合使用对于求卷积很方便，特别是下面这个公式：对于求卷积很方便，特别是下面这个公式：微分微分n次，次，积分积分m次次m=n,微分次数积分次数微分次数积分次数74信号与系统信号与系统三三.与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积推广：推广：75信号与系统信号与系统例例2.7.12.7.1注意注意76信号与系统信号与系统注意注意用微积分性质用微积分性质t)()(nsg)1(tt-*

24、O2充要条件是充要条件是77信号与系统信号与系统例例2.7.2图图(a)由三个子系统构成，已知各子系统的由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应冲激响应如图如图(b)所示。求复合系统的冲激所示。求复合系统的冲激响应响应，并画出它的波形。，并画出它的波形。(a)(b)解：解：如图（如图（c）所示所示(c)78信号与系统信号与系统经典法经典法：双零法双零法卷积积分法卷积积分法：第二章第二章复习复习求求解解系系统统响响应应定初始条件定初始条件满足换路定则满足换路定则起始点有跳变：起始点有跳变：求跳变量求跳变量零输入响应：用经典法求解零输入响应：用经典法求解零状态响应：卷积积分法求解零状态响应：卷积积

25、分法求解求零状态响应求零状态响应79信号与系统信号与系统例题例题u例题例题2-12-1：连续时间系统求解（经典法，双零法）连续时间系统求解（经典法，双零法）u例题例题2-22-2：求冲激响应求冲激响应（nm）u例题例题2-32-3：求冲激响应求冲激响应（nm）u例题例题2-42-4：求系统的零状态响应求系统的零状态响应u例题例题2-52-5：卷积卷积80信号与系统信号与系统例例2-181信号与系统信号与系统分别利用分别利用求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。这三个量之间的关系是这三个量之间的关系是分析分析在求解系统的完全响应时，要用到

26、有关的三个量是：在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是：起始状态，它决定零输入响应；：起始状态，它决定零输入响应；：跳变量，它决定零状态响应；：跳变量，它决定零状态响应；：初始条件，它决定完全响应；：初始条件，它决定完全响应；82信号与系统信号与系统解：解：方法二方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量用方法一求零输入响应后，利用跳变量来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。方法一方法一：利用利用响应，响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。零状态响应等于完全响应减去零输入响应。先来求完全响应，再求零输入先来求完全

27、响应，再求零输入本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。83信号与系统信号与系统方法一方法一该完全响应是方程该完全响应是方程（1）方程（方程（1）的特征方程为）的特征方程为特征根为特征根为1.完全响应完全响应84信号与系统信号与系统方程（方程（1）的齐次解为的齐次解为因为方程（因为方程（1）在）在t0时，可写为时，可写为显然，方程（显然，方程（1）的特解可设为常数）的特解可设为常数D，把，把D代入方程代入方程（2）求得）求得所以方程（所以方程（1）的解为）的解为下面由冲激函数匹配法定初始条件。下面由冲激函数匹配法定初始条件。（2）85信号与系统信号与系统

28、由冲激函数匹配法定初始条件由冲激函数匹配法定初始条件据据方程（方程（1 1）可设可设代入方程（代入方程（1 1），得），得匹配方程两端的匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得，及其各阶导数项，得86信号与系统信号与系统所以所以，所以系统的完全响应为，所以系统的完全响应为87信号与系统信号与系统2.求零输入响应求零输入响应（3）（3）式的特征根为）式的特征根为方程（方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为）的齐次解即系统的零输入响应为88信号与系统信号与系统所以，系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为下面求零状态响应。下面求零状态响应。89信号与系统信号与系统3.求零状态响应求零状态响应零状态响

29、应零状态响应=完全响应完全响应零输入响应，即零输入响应，即因为特解为因为特解为3 3，所以，所以强迫响应是强迫响应是3 3，自由响应是，自由响应是90信号与系统信号与系统方法二方法二（5）以上分析可用下面的数学过程描述以上分析可用下面的数学过程描述91信号与系统信号与系统代入代入（5 5）式）式根据在根据在t=0时刻，微分方程两端的及其各阶导数应时刻，微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等，得该平衡相等，得于是于是t0时，方程为时，方程为92信号与系统信号与系统齐次解为齐次解为 ，特解为，特解为3 3，于是有，于是有所以，系统的零状态响应为所以，系统的零状态响应为方法一方法一求出系统的零输入响

30、应为求出系统的零输入响应为完全响应完全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应，即零输入响应，即93信号与系统信号与系统例例2-2冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。94信号与系统信号与系统奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法首先求方程的特征根，得首先求方程的特征根，得因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，冲激响应为冲激响应为对上式求导，得对上式求导，得(1)95信号与系统信号与系统 则得则得解得解得代入（代入（1 1）得）得96信号与系统信号与系统例例2-32-9,(3)方法一：方

31、法一：奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法 方法二：方法二：冲激函数匹配法冲激函数匹配法 (1)97信号与系统信号与系统方法一：方法一：奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法由于微分方程的右端比左端还高一阶，故冲激响应设成由于微分方程的右端比左端还高一阶，故冲激响应设成将（将（2 2）式代入）式代入（1 1）式）式，得，得解得冲激响应解得冲激响应阶跃响应阶跃响应（2）98信号与系统信号与系统方法二方法二：冲激函数匹配法：冲激函数匹配法微分方程的齐次解为微分方程的齐次解为下面用冲激函数匹配法求初始条件，设下面用冲激函数匹配法求初始条件，设上述两等式代入方程（上述两等式代入方程（1 1），经整理得）

32、，经整理得(3)(1)99信号与系统信号与系统根据在根据在t=0时刻，微分方程两端的冲激函数及其时刻，微分方程两端的冲激函数及其各阶导数应该平衡相等，解得各阶导数应该平衡相等，解得于是于是（3）式）式，考虑，考虑n=1,m=2,n m,故冲激响应为故冲激响应为说明：说明：一般说来，一般说来，第二种方法第二种方法比比第一种方法第一种方法简单，简单，特别是对高阶方程。特别是对高阶方程。X100信号与系统信号与系统对激励和响应分别微分一次，得对激励和响应分别微分一次，得例例2-4已知已知线性时不变系统线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，的一对激励和响应波形如下图所示，求该系统对激励求该系统

33、对激励的零状态响应。的零状态响应。101信号与系统信号与系统102信号与系统信号与系统此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，将得出错误的结果。此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，将得出错误的结果。例例2-5103信号与系统信号与系统显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。从原理上看，如果从原理上看，如果则应有则应有很容易证明，上式成立的充要条件是很容易证明，上式成立的充要条件是此题若将此题若将f1(t)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性看成两个信号的叠加，则也可以利用该性质计算：质计算：104信号与系统信号与系统 105信号与系统信号与系统106