一元二次方程gender判别式(1).ppt

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1、1.解一元二次方程有哪些方法解一元二次方程有哪些方法?2.请你在请你在任意填入一个整数，并解此一元二次任意填入一个整数，并解此一元二次方程方程.的括号里，的括号里，探究新知探究新知3.求解一元二次方程：求解一元二次方程：.用公式法解下列方程：x2x1=0 x22x1=0 2x22x1=0由此可以发现一元二次方程ax2bxc=0（a0）的根的情况可由 来判定：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc=0（a0）的根的判别式。b24acb24ac0b24ac=0b24ac 0我们把我们把叫做一元二次方程叫

2、做一元二次方程的的根的判别式根的判别式.用符号用符号“”来表来表示示.定义定义比一比比一比 不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况：例例1 1例1.不解方程,判别下列方程的根的情况 3x2x1=3x 5（x21）=7x x24x=4方程要先化方程要先化为一般形式为一般形式再求判别式再求判别式不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况：练一练练一练不解方程，判别下列关于不解方程，判别下列关于 的方程根的情况：的方程根的情况：例例2 2不解方程，判别下列关于不解方程，判别下列关于

3、 的方程根的情况：的方程根的情况：变一变变一变变式一变式一不解方程，判别下列关于不解方程，判别下列关于 的方程根的情况：的方程根的情况：变一变变一变变式二变式二不解方程，判别下列关于不解方程，判别下列关于 的方程根的情况：的方程根的情况：变一变变一变变式三变式三例例3、求证：关于、求证：关于x的方程：的方程：有两个不相等的实根。有两个不相等的实根。解：解：=无论无论m取任何实数，取任何实数，即，即，0所以，方程有两个不相等的实数根。所以，方程有两个不相等的实数根。返回练习练习：1、不解方程，判别下列方程的根的情况不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）2、已知关于、已知关于x 的方程

4、：的方程：有两个有两个 不相等的实数根，不相等的实数根，k为实数，求为实数，求k 的取值范围。的取值范围。3、设关于、设关于x 的方程：的方程：，证明，不论，证明，不论m为何为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。值时，方程总有两个不相等的实数根。返回课时训练课时训练1.一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况的根的情况是是 ()A.有一个实数根有一个实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D.没有实数根没有实数根D2.方程方程x2-3x+1=0的根的情况是的根的情况是()A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.有两

5、个相等的实数根有两个相等的实数根 C.没有实数根没有实数根 D.只有一个实数根只有一个实数根A3.下列一元一次方程中，有实数根的是下列一元一次方程中，有实数根的是 ()A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 4.关关于于x的的方方程程k2x2+(2k-1)x+1=0有有实实数数根根，则则下下列列结结论论正确的是正确的是 ()A.当当k=1/2时，方程两根互为相反数时，方程两根互为相反数 B.当当k=0时，方程的根是时，方程的根是x=-1 C.当当k=1时，方程两根互为倒数时，方程两根互为倒数 D.当当k1/4时，方程有实数根时，方程有实数根D课时

6、训练课时训练5.若若关关于于x的的一一元元二二次次方方程程mx2-2x+1=0有有实实数数根根，则则m的取值范围是的取值范围是 ()A.m1 B.m1且且m0 C.m1 1 D.m1且且m0D7.若关于若关于x的方程的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则k=.28.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为其根的判别式的值为1，求，求m的值及该方程的根。的值及该方程的根。解：解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 (m-1)2=

7、1,即即 m12，m20(二次项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去)。当当m=2时，原方程变为时，原方程变为2x2-5x+30，x3/2或或x=1.6.已已知知关关于于x的的一一元元二二次次方方程程x2+2x+k=0有有实实数数根根，则则k的取值范围是的取值范围是 ()A.k1 B.k1 C.k 1A例例2：当：当k取什么值时，已知关于取什么值时，已知关于x的方程：的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等）方程有两个相等 的实根；（的实根；（3）方程无实根；）方程无实根；解；解；=(1).当当 0，方程有两个不相等的实根方程有两个不相等的实根,8

8、k+9 0,即即 (2).当当 =0，方程有两个不相等的实根方程有两个不相等的实根,8k+9=0,即即 (3).当当 0，方程有两个不相等的实根方程有两个不相等的实根,8k+9 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；当当=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当当0.拓展拓展1 1已知一元二次方程已知一元二次方程有两个不相等的实数根，字母有两个不相等的实数根，字母k可取哪些可取哪些实数呢？实数呢？思考思考1.判别式：判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)根的判别式为：=b2-4ac 作用:不解方程判断根的情况,解决与根的情况有关的所有问题

9、.主要内容:判别式的值 根的情况 0 有两个不相等的实根 0 有两个相等的实根 0 没 有 实 数 根 2.根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理）（1）方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1 x2=特殊情况：当a=1时，x2+px+q=0,x1+x2=-p,x1 x2=q（2）以x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2(x1+x2)x+x1 x2=0判别式与韦达道理课堂练习判别式与韦达道理课堂练习一、基础练习一、基础练习1、一元二次方程、一元二次方程2x2+3x-4=0的根的判别式的根的判别式=.2、不解方程，判断、不解方程，判断

10、2y2-6y+5=0的根的情况是的根的情况是 .3、设、设x1、x2是是方程方程2x2-4x-7=0的的两个根，两个根，则则x1+x2=，x1 x2 =-.4、已知方程已知方程5x2+mx-6=0的的一个根为一个根为3，则它的另一个根，则它的另一个根是是-，m的值为的值为 .5、以、以-1和和3为两个根的一元二次方程是为两个根的一元二次方程是 .41没有实数根2-13X2-2x-3=06、两个实数根的和是、两个实数根的和是3，积是，积是-4的一元二次方程是的一元二次方程是 .7、方程、方程x2+3x+k=0有两个互为倒数的实数根则有两个互为倒数的实数根则k=.8、方程方程x-(m+1)x-6=

11、0有两个互为相反数的实数根，有两个互为相反数的实数根，则则m=.9、下列方程没有实数根的是（下列方程没有实数根的是（）A.x2+5=x B.3x2-2x+2=0 C.x2-2=3x D.2x=x2-110、若一元二次方程若一元二次方程x2-ax-2a=0的两根之和为的两根之和为4a-3，则则 两根之积是（两根之积是（）A.2 B.-2 C.-6或或2 D.6或或-2X2-3x-4=01-1BB典型问题二：不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值。例三（1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为x1，x2，求 的值。（2）已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1，x2，且 ，求m

12、的值；x12+x12的值。解：x1，x2 为方程的两根 x1+x2=，x1 x2=-又即解的 m=-2 x1+x2=-x2+x2=(x1+x2)2-2 x1 x2=（1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为x1，x2，求 的值。（2）已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1，x2，且 ，求m的值；x12+x12的值。归纳总结：1、求方程两根所组成的代数式的值，关键在于：把所求代数式化成两根的和与两根的积的形式。2、常见的形式：(1)(x1-x2)2=(2)x13+x23=(3)x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)综合应用：综合应用：

13、例四、（2000年四川省中考试题）若关于x的一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是ABC的A、B、C的对边，C=90，且cosB=,b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于RtABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由.（“存在性”问题）解：假设整数假设整数m存在，存在，在在RtABC中，中，C=90.cosB=设设a=3k,c=5k,则由勾股定理有则由勾股定理有b=4k.b-a=3,4k-3k=3 k=3 a=9,b=12,c=15 设一元二次方程设一元二次方程x2-3(m+1)x+m2

14、-9m+20=0的两个实数根为的两个实数根为x1,x2 则有则有 x1+x2=3(m+1),x1x2=m2-9m+20 x12+x22=(x1+x2)-2 x1x2=3(m+1)2-2(m2-9m+20)=7m2+36m-31由由x12+x22=c2,c=15 有有7m2+36m-31=225 解方程得解方程得 m1=4,m2=-m=-不是整数，应舍去不是整数，应舍去当当m=4 时，时，=2250；存在整数存在整数m=4，使，使方程两个实数根的平方和等于方程两个实数根的平方和等于Rt斜边的斜边的平方。平方。4.若若关关于于x的的一一元元二二次次方方程程mx2-2x+1=0有有实实数数根根，则则

15、m的取值范围是的取值范围是 ()A.m1 B.m1且且m0 C.m1 1 D.m1且且m0D3.已已知知关关于于x的的一一元元二二次次方方程程x2+2x+k=0有有实实数数根根，则则k的取值范围是的取值范围是 ()A.k1 B.k1 C.k 1A5.若关于若关于x的方程的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则k=.26.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为其根的判别式的值为1，求，求m的值的值解：解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1m2

16、-2m+1=1即即 m(m-2)=0 m12，m20(二次项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去)。m=2 拓展提高拓展提高例例3 3：已知关于：已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，求求k k的取值的取值范围范围.拓展提高拓展提高例例4 4：试说明：不论：试说明：不论x x取何值，取何值，关于关于x x的方程的方程总有两个不相等的总有两个不相等的实根实根.例例5 求证求证:无论无论a为任何实数为任何实数,关于关于x的方程的方程x2(2a 1)x a 3 0总有两个不相等的实数根总有两个不相等的实数根.证:(2a1)24(a3)4a28a134(

17、a1)29即0无论a为任何实数(a1)20 4(a1)290无论a为任何实数,方程x2(2a1)xa30总有两个不等实根.由例由例5可知可知:要说明要说明0常将它配成完全平方式常将它配成完全平方式 正数正数.试一试：设关于试一试：设关于x的的方程方程,证明证明:不论不论m为何值为何值,这个方程总这个方程总有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根所以所以,不论不论m为何值为何值,这个方程总有两这个方程总有两个不相等的实数根个不相等的实数根拓展练习：试一试：试一试：m取取什什么么值值时时,关关于于x的的方方程程2x2(m 2)x 2m 2 0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根有两个相等的实数根

18、？并求出这时方程的根.解:方程有两个相等的实数根,(m2)28(2m2)m212m20(m2)(m10)0m12 m210当m12时 当m210时所求m2或m10,方程的根为1或3.例例2 关关于于x的的方方程程(m 2)x2 2(m 1)x m 1 0在在下下列条件下列条件下,分别求分别求m的非负整数值的非负整数值.（1 1）方程只有一个实数根；）方程只有一个实数根；（2 2）方程有两个相等的实数根；）方程有两个相等的实数根；（3 3）方程有两个不相等的实数根）方程有两个不相等的实数根.解:（1）当m20即m2时方程为一元一次方程2x30,即m2时,已知方程只有一个实数根.（2）当方程有两个

19、相等的实根时,必须且只需 解出 m3时,方程有两个相等的实数根.（3）当方程有两个不相等实数根时,必须且只需 解出 又m是非负整数 m0或m1 小结:使用时必须在a0的前题下.（2）当方程有两个相等的实根时,必须且只需 解出 m3时,方程有两个相等的实数根.（3）当方程有两个不相等实数根时,必须且只需 解出 又m是非负整数 m0或m1 小结:使用时必须在a0的前题下.4.关于关于x的方程的方程kx24x1=0有实数根，有实数根，则则k范围为范围为()A.k4B.k4且且k0C.k4且且k0D.k0A(2)关于关于x的方程的方程kx24x1=0有两实数根，则有两实数根，则k范围为范围为()A.k

20、4 B.k4且且k0 C.k4且且k0 D.k0B例例5 已已知知方方程程 的的一一个个根根是是 1,求求k及另一根及另一根解法一:设方程的另一根为x1所求 ,解法二 1是方程的根 方程为 x21所求 另一根为引申:若 x21 则对应的方程是什么？即以 ,1为根的方程为 0例题例题2：（1）若关于）若关于x的方程的方程2x25xn0的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及n的值。的值。（2）若关于）若关于x的方程的方程x2kx60的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值。的值。例题例题3：设设x1，x2是方程是方程2x23xm0的两个根，的两个根，且且

21、8x12x27，求，求m的值。的值。例题例题4：已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2（2k1）xk20有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根之积之积7，求，求k的值。的值。例题例题5：已知：关于已知：关于x的一元二次方程的一元二次方程x23x1m0（1）请选取一个你喜爱的）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性。个不相等的实数根，并说明它的正确性。（2）设）设x1，x2是（是（1）中所得方程的两个根，求）中所得方程的两个根，求x1x2x1x2的值。的值。例例6 方方程程x2(m 1)

22、x 2m 1 0求求m满满足足什什么么条条件件时时,方方程程的的两两根根互互为为相相反反数数？方方程程的的两两根根互互为为倒倒数？方程的一根为零？数？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5两根互为相反数 两根之和m10,m1,且0 m1时,方程的两根互为相反数.两根互为倒数 m26m5,两根之积2m11 m1且0,m1时,方程的两根互为倒数.方程一根为0,两根之积2m10 且0,时,方程有一根为零.引申:1、若ax2bxc0(a0 0)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0

23、;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.引申2 若a、b是方程x22x70的两个实数根,求:a2b2 a23b24b a35b2b76的值.解:由根系关系ab2,ab7,a272a b272b,a2b2(ab)22ab41418.a23b24b(72a)3(72b)4b2(ab)282(2)2832.a35b2b76aa25b2b76a(72a)5(72b)b76 7a2a23511b76 7a2(72a)3511b76 11(ab)497611(2)49765.一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程根与系数的关系：若若的两个根为的两个根为若若的两个根为的两个根为则则则则归纳总结归纳总结

24、:拓展练习：、已知方程、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反的两根互为相反数，则数，则m=。2、已知方程已知方程x2+4x2m=0的一个根的一个根比比另一个根另一个根小小4，则，则=；=；m=.3、已知方程、已知方程5x2+mx10=0的一根是的一根是5，求方程的另一根及，求方程的另一根及m的值。的值。4、关于、关于x的方程的方程2x23x+m=0，当，当 时，方程有两个正数根；当时，方程有两个正数根；当m 时，方时，方程有一个正根，一个负根；当程有一个正根，一个负根；当m 时，时，方程有一个根为方程有一个根为0。7.用配方法说明：不论用配方法说明：不论k取何实数，多项式取何实数，多项式k23k5的值必定大于零的值必定大于零.8.关于关于x的方程的方程2x2-(m+4)x+m+4=0有两个实数根有两个实数根.求求m的取值范围的取值范围.10.已知已知x2-7xy+12y2=0,求证：求证：X=3y或或=4y9.你会解方程：你会解方程：x2-2|x|-1=0|x|-1=0吗？吗？