第四章方程求根的迭代法(21-22).ppt

《第四章方程求根的迭代法(21-22).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章方程求根的迭代法(21-22).ppt（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、重庆大学数理学院数数 值值 分分 析析第第十讲十讲主讲教师主讲教师：谭谭 宏宏4444、3 3 3 3 牛顿法牛顿法牛顿法牛顿法1、公式的导出 利用同解变换将f(x)=0化为同解方程 从而得出的迭代格式 ，往往只是线性收敛。为得出超线性收敛的迭代格式，通常采用近似替代法。设 xk是根 的近似值，则按泰勒公式 取前两项来近似代替 (称为f(x)的线性化)，得近似线性方程设 ，令所得根的近似值为xk+1，得（12）这就是牛顿公式牛顿公式相应的迭代函数为：（13）牛顿法是一种逐步线性化方法，其基本思想是：将非线性方程 的求根问题归结为计算一系列线性方程牛顿法的几何意义如下图x*x0 x1x2xyf(

2、x)故牛顿法也称为切线法例：用牛顿法求解方程解：设则迭代函数故牛顿公式为取迭代结果如下：可见，牛顿法比迭代法收敛速度快得多。定理定理4 4：牛顿法在f(x)=0的单根 附近为平方收敛。证：证：将在根 处泰勒展开有：则因为所以即：所以牛顿法在f(x)=0的单根 附近为平方收敛。牛顿法牛顿法的收敛性的收敛性定理定理3 3：设设f(x)在在a,b上满足下列条件上满足下列条件：（1）f(a)f(b)0则由则由（2.3）确定的牛顿迭代序列确定的牛顿迭代序列xk收敛于收敛于f(x)在在a,b上的唯一根上的唯一根x*。证：证：由条件（1）知：方程在（a，b）内有根由条件（2）知：f(x)在a，b上单调，故根唯一由条件（1）-（3）知：f(x)只可能是下列情况之一讨论第一种情况，其余的类似由于f(x)单调增，且f(a)0，由条件（4）知所以：且对任意比有于是：而：所以：即：只要则迭代序列总满足：又：所以迭代序列为一个单调增且有上界 的序列，它比有极限。设极限为则：即：所以：牛顿法对初始值 的依赖性很强，开方公式3、牛顿下山法为防止迭代发散，可以对迭代过程再附加一个要求满足这项要求的算法称下山法。将牛顿法和下山法结合起来使用称为牛顿下山法。其中称为下山因子中