相似三角形性质应用.ppt

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1、22.相似三角形性质的应用相似三角形性质的应用 当涂县大陇初中当涂县大陇初中 姚昌寿姚昌寿三角形内接矩形及其拓展应用三角形内接矩形及其拓展应用 例题（课本P88例1）一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高线AD=60cm，要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形长的一边位于BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长.高线高线AD与与PQ相交于点相交于点E.PQ/BC=APQABC 解得：解得：x=24，2x=48.答：这个矩形零件长为答：这个矩形零件长为48cm和和24cm.=解：设加工成的矩形解：设加工成的矩形PSRQ较短边为较短边为PS=xcm

2、,则边则边SR的长为的长为2xcm,点点P、Q分在分在AB、AC上，上，则则分析：本题可根据三角形平行相似，然后再利用相似三角形性质得出比例关系，从而列出方程来求解拓展拓展1：当当AE为多少时？矩形为多少时？矩形PSRQ的面积最大，最大面积的面积最大，最大面积为多少？为多少？解：设解：设A AE为为xcm，矩形矩形PSRQ的面积为的面积为S cm2 PQ/BC=APQABC=即即 PQ=x S=PQED=x（60-x）=-x2+80 x S=-（x-30）2+1200-0 S有最大值有最大值,当当 x=30(在在0 x60范围内）时，范围内）时，S最大值最大值=1200 即即 当当AE为为30

3、cm时，矩形时，矩形PSRQ的面积最大，最大面积为的面积最大，最大面积为1200cm2(0 x80)x:60=PQ:80 分析：本题仍可利用例题解答方法分析：本题仍可利用例题解答方法,根据相似三角形形根据相似三角形形性质得出对应的比例方程，从而将矩形的长和宽用性质得出对应的比例方程，从而将矩形的长和宽用 x x的的代数式表示，然后再根据矩形的面积公式把该矩形的面代数式表示，然后再根据矩形的面积公式把该矩形的面积用积用 关于关于 x x的二次函数关系式表示的二次函数关系式表示 ，最后再用二次函，最后再用二次函数的最值求解数的最值求解拓拓展展2：如如图图，有有一一块块三三角角形形余余料料ABC，它

4、它的的边边BC=120mm，高高线线AD=80mm，要要把把它它加加工工成成矩矩形形零零件件，使使矩矩形形的的一一边边在在BC上上，其其余余两两个个顶顶点点分分别别在在AB、AC上上，当当矩矩形形PQMN与与ABC的的面面积积之之比比为为3 8时时，求求矩矩形形PQMN的周长的周长.解：由拓展解：由拓展1可知可知:矩形面积矩形面积 S=-x2+120 x（其中（其中x是是AE的长），的长），SABC=BCAD=12080=4800 得：得：x2-80 x+120=0（x-20）（）（x-60）=0 x1=20，x2=60当当x1=20时，时，即即AE=20，ED=PQ=80-20=60,又由相

5、似三角形性质可知又由相似三角形性质可知PN=1.5x=30 矩形矩形PQMN周长为周长为=2（PQ+PN）=180（mm）分析：可利用上述解法，仍设分析：可利用上述解法，仍设AEAE为为 xmm xmm而得出矩形面积为而得出矩形面积为 S=-x S=-x2 2+120 x.+120 x.然然后再利用已知条件进行求解后再利用已知条件进行求解拓展拓展3：若设此题图中：若设此题图中BC=a,高高AD=b,正方形正方形PSRQ边为边为 ,求证：求证：分析：本题结论可演变为分析：本题结论可演变为根据这种形式容易联想到面积公式，因此我们不妨用等面积法试证根据这种形式容易联想到面积公式，因此我们不妨用等面积法试证 .证明：连接证明：连接 DP DP、DQ DQ SABC=SBPDSDQCS四边形四边形正方形正方形PSRQPSQR，答：答：矩形矩形PQMN的周长为的周长为180 mm或或220 mm。矩形矩形PQMN的周长为的周长为2（PQ+PN）=220（mm）当当x=60时，即时，即AE=60，ED=PQ=80-60=20,同理可知同理可知PN=1.5x=90 课堂小堂小结：同学同学们：本：本节课你收你收获了什么？了什么？