A2(第六章第1、2、3节).ppt

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1、一点说明：一点说明：对于无穷限的广义积分或无界函数对于无穷限的广义积分或无界函数的广义积分的广义积分(无穷间断点必须在区间的无穷间断点必须在区间的端点处端点处),以像定积分一样进行换元处理以像定积分一样进行换元处理。只要换元函数是单调的只要换元函数是单调的,可可12/19/20221高等数学A（二）例例例例4 4：为一常义积分为一常义积分为一常义积分为一常义积分0012/19/20222高等数学A（二）例例5：无穷限无穷限无穷限无穷限,且且且且 x x=0 =0 为无穷间断点为无穷间断点为无穷间断点为无穷间断点,称为混合型广义积分称为混合型广义积分称为混合型广义积分称为混合型广义积分.=2.1

2、2/19/20223高等数学A（二）例例例例6 6：且且且且 x x=1 =1 为无穷间断点为无穷间断点为无穷间断点为无穷间断点,混合型广义积分混合型广义积分混合型广义积分混合型广义积分.无穷限无穷限无穷限无穷限,12/19/20224高等数学A（二）12/19/20225高等数学A（二）第六章第六章第六章第六章 定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用12/19/20226高等数学A（二）在引出定积分的引例中，我们介绍了在引出定积分的引例中，我们介绍了计算曲边梯形的面积，变速直线运动的路计算曲边梯形的面积，变速直线运动的路程等问题。它们所涉及的思想方法是相同程等问题。它们所涉及的思想

3、方法是相同的。现在我们把这一思路用更简洁的形式的。现在我们把这一思路用更简洁的形式表示出来，以期能用它来解决更多的此类表示出来，以期能用它来解决更多的此类问题。如求旋转体的体积、平面曲线的弧问题。如求旋转体的体积、平面曲线的弧长、变力所作的功及水压力等。长、变力所作的功及水压力等。12/19/20227高等数学A（二）1.1.定积分的元素法定积分的元素法定积分的元素法定积分的元素法回顾求曲边梯形面积的步骤：回顾求曲边梯形面积的步骤：设设 y=f(x)0,且在且在 a,b 上连续。上连续。(1)分割分割分割分割：得小曲边梯形的面积：得小曲边梯形的面积 (i=1,2,n)(2)近似近似近似近似：(

4、3)求和求和求和求和：(4)逼近逼近：y=f(x)0 xyab12/19/20228高等数学A（二）其中其中,极限固然重要极限固然重要,但定积分形式的形成关键但定积分形式的形成关键在于在于(2)部分量部分量 形成了被积表达式形成了被积表达式(1)所求量具有区间可加性是形成定积分的前提。所求量具有区间可加性是形成定积分的前提。为简便起见为简便起见,现省去下标。现省去下标。(1),(2).的雏形。的雏形。12/19/20229高等数学A（二）0 xyy=f(x)ab上的小曲边梯形面积上的小曲边梯形面积,xx+dx又称为又称为面面面面则小区间长为则小区间长为 dx,记作记作 d Ad A,或或面积微

5、元面积微元面积微元面积微元。dx积元素积元素积元素积元素,12/19/202210高等数学A（二）只要求出一小块的面积只要求出一小块的面积,其无限的累加其无限的累加即为所求整个曲边梯形的面积。即为所求整个曲边梯形的面积。把把面积面积 A 改为一般的所求量改为一般的所求量 I,则有则有这一小段的质量这一小段的质量则整段细棒的质量为这一小段质量的无限累加。则整段细棒的质量为这一小段质量的无限累加。这就是这就是定积分的元素法定积分的元素法定积分的元素法定积分的元素法。的质量：的质量：l0如长如长为为 l 的细棒上的的细棒上的线密度线密度 连续连续，则细棒则细棒12/19/202211高等数学A（二）

6、2.2.定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用现在利用元素法讨论：现在利用元素法讨论：(1)平面图形的面积平面图形的面积(2)旋转体的体积旋转体的体积(3)平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积(4)平面曲线的弧长平面曲线的弧长(5)旋转曲面的面积等几何问题。旋转曲面的面积等几何问题。12/19/202212高等数学A（二）1 1、直角坐标情形、直角坐标情形、直角坐标情形、直角坐标情形 (1)图形由连续曲线图形由连续曲线(a)取任一小区间取任一小区间以直边近似代替曲边以直边近似代替曲边,一、一、一、一、平面图形的面积平面图形的

7、面积平面图形的面积平面图形的面积0 xyy=f(x)abx x+dx12/19/202213高等数学A（二）xx0 xyy=f(x)ab.12/19/202214高等数学A（二）(2)图形由两条连续曲线图形由两条连续曲线 0 y x.x12/19/202215高等数学A（二）xy012/19/202216高等数学A（二）此时取此时取 y 为积分变量为积分变量 y xy.12/19/202217高等数学A（二）求平面图形面积的求平面图形面积的步骤步骤:1、作图、作图,求出交点求出交点;2、选择积分变量、选择积分变量,写出面积元素写出面积元素;3、作定积分、作定积分,并计算并计算.12/19/20

8、2218高等数学A（二）(1)选选 x 为积分变量为积分变量求交点求交点(2)选选 y 为积分变量为积分变量12/19/202219高等数学A（二）解方程组：解方程组：得交点：得交点：(8,4),(2,2)选选选选 y y 为积分变量为积分变量为积分变量为积分变量,2yx444如选如选如选如选 x x 为积分变量为积分变量为积分变量为积分变量,请同学们写出计算过程请同学们写出计算过程请同学们写出计算过程请同学们写出计算过程.12/19/202220高等数学A（二）xyo33得两切线的斜率为得两切线的斜率为故两切线为故两切线为其交点的横坐标为其交点的横坐标为A =l1l212/19/202221

9、高等数学A（二）例例4.求抛物线求抛物线在在(0,1)内的一条切线内的一条切线,使使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.设抛物线上切点为设抛物线上切点为则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为它它与与 x,y 轴的交点分别为轴的交点分别为所指所指面积面积12/19/202222高等数学A（二）且为且为最小点最小点.故所求故所求切线为切线为得得 0,1 上的唯一驻点上的唯一驻点12/19/202223高等数学A（二）2、参数方程情形参数方程情形若曲边梯形的曲边由参数方程若曲边梯形的曲边由参数方程：12/19/202224高等数学A（二）图形的面积。图形的

10、面积。(星形线星形线星形线星形线,又称内摆线又称内摆线又称内摆线又称内摆线)由图形的对称性由图形的对称性,0yx012/19/202225高等数学A（二）3、极坐标情形极坐标情形的图形面积。的图形面积。A(即求曲边扇形的面积即求曲边扇形的面积即求曲边扇形的面积即求曲边扇形的面积)由由元素法：元素法：任取任取即有即有面积元素：面积元素：面积元素：面积元素：r012/19/202226高等数学A（二）Ar012/19/202227高等数学A（二）分析：分析：分析：分析：由由直角坐标与极坐标的变换关系：直角坐标与极坐标的变换关系：为为圆心在圆心在(a,0),半径为半径为a 的圆的圆2aa同理同理2a

11、a0012/19/202228高等数学A（二）解：解：解：解：2aa012/19/202229高等数学A（二）xyoaa 一圆沿另一等圆一圆沿另一等圆外缘外缘无滑动地滚动，无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所动圆圆周上任一点所画出的曲线。画出的曲线。心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)观察动点的运动观察动点的运动12/19/202230高等数学A（二）xyoaa2a观察动点的运动观察动点的运动 心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)12/19/202231高等数学A（二）xyo2a0 2 0 r 2aP r 心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)12/19/202232高等数学A（二）2a0 2

12、 0 r 2aP rxyoa 心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)12/19/202233高等数学A（二）xyo例例例例2.2.2A=r =1+cos 3r =3cos 由由得得A A212/19/202234高等数学A（二）由对称性由对称性双纽线化成极坐标双纽线化成极坐标令令 r=0,A=4+0 xya12/19/202235高等数学A（二）课课课课 外外外外 作作作作 业业业业习题习题习题习题 6 2(A)6 2(A)3(3,5,7),8习题习题习题习题 6 2(B)6 2(B)1(1,3),212/19/202236高等数学A（二）旋转体：旋转体：旋转体：旋转体：由一由一平面图形绕这平

13、面内的一条直线平面图形绕这平面内的一条直线旋转一周而成的立体。此直线称为对旋转一周而成的立体。此直线称为对称轴。称轴。如：如：圆柱、圆柱、圆锥、圆锥、圆台、圆台、圆球、圆球、现在利用元素法推导旋转体的体积公式。现在利用元素法推导旋转体的体积公式。二、二、二、二、立立立立 体体体体 体体体体 积积积积1 1 1 1、旋转体的体积、旋转体的体积、旋转体的体积、旋转体的体积12/19/202237高等数学A（二）xf(x)ab求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积12/19/202238高等数学A（二）xf(x)abx111111111V=x+dx12/19/202239高等数学A（二）x

14、=g(y)yx0cd12/19/202240高等数学A（二）x=g(y)yx0cd12/19/202241高等数学A（二）x=g(y)yx0cdyy+dy12/19/202242高等数学A（二）abf(x)yx0 求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法xdx在在a,b上上,12/19/202243高等数学A（二）xabyx0内表面积内表面积内表面积内表面积dx 求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法dV=2 x f(x)dxf(x)12/19/202244高等数学A（二）byx0adV=2 x f(x)dxf(x)求旋转体

15、体积求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法12/19/202245高等数学A（二）byx0af(x)求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法dV=2 x f(x)dx12/19/202246高等数学A（二）0y0 xbxadxf(x)求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法dV=2 x f(x)dx12/19/202247高等数学A（二）f(x)Yx0bdx0yza.求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法dV=2 x f(x)dx12/19/202248高等数学A（二

16、）例例1：绕绕 x 轴与轴与 y 轴旋转所得立体的体积轴旋转所得立体的体积。解：解：解：解：2(1)绕绕 x 轴轴：(2)绕绕 y 轴轴：为为中空立体，中空立体，法法1：曲边三角形绕曲边三角形绕 y 轴旋转所得立体体积轴旋转所得立体体积12/19/202249高等数学A（二）2dx法法2：柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法12/19/202250高等数学A（二）例例2.设设在在 x0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数,且且 形绕直线形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积旋转一周所成旋转体体积,证明证明:证证:利用柱壳法利用柱壳法则则故故12/19/202251高等数学A（二）例例例例3 3：设设平面

17、图形平面图形 D 由由确定确定,求求 D 绕直线绕直线 x=2 旋转一周所得立体的体积。旋转一周所得立体的体积。2解：解：解：解：19393年考研题年考研题年考研题年考研题xyD.y12/19/202252高等数学A（二）12/19/202253高等数学A（二）例例例例4 4：解：解：解：解：0，设设 b 0,bV(b)12/19/202254高等数学A（二）xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A A(x x)的立体的立体的立体的立体aV2 2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积b12/19/202

18、255高等数学A（二）同理同理:若立体由曲面及若立体由曲面及垂直于垂直于y 轴的两个平面轴的两个平面 y=c,y=d 所围所围，且垂直于且垂直于 y 轴的任一截面轴的任一截面面积为一已知连续函数面积为一已知连续函数 A(y)，则立体的体积：则立体的体积：12/19/202256高等数学A（二）半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 (是是锐角锐角)角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔得一圆柱楔。求其体积求其体积。oxy例例例例1 1 1 112/19/202257高等数学A（二）oyRxRR例例例例1 1 1 1 半径为半径为R的正圆柱体被通过

19、其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 (是是锐角锐角)角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔得一圆柱楔。求其体积求其体积。12/19/202258高等数学A（二）oyRxxyRRy tan (x,y)截面积截面积A(x)例例例例1 1 1 1 半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 (是是锐角锐角)角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔得一圆柱楔。求其体积求其体积。12/19/202259高等数学A（二）oyRxRR 方法方法方法方法2 2例例例例1 1 1 1 半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通

20、过其底的直径并与底面成 (是是锐角锐角)角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔得一圆柱楔。求其体积求其体积。12/19/202260高等数学A（二）oyRxRR 方法方法方法方法2 2ABCD BCDC截面积截面积 S(y)(x,y)=2x=ytan S(y)例例例例1 1 1 1 半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 (是是锐角锐角)角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔得一圆柱楔。求其体积求其体积。12/19/202261高等数学A（二）课课课课 外外外外 作作作作 业业业业习题习题习题习题 6 2(A)6 2(A)13(2,5),14,1

21、7习题习题习题习题 6 2(B)6 2(B)4,712/19/202262高等数学A（二）定义：定义：若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线,当折线段的当折线段的最大边长最大边长 0 时时,折线的长度趋向于一个确定的折线的长度趋向于一个确定的极限极限,则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧 AB即即并称此并称此曲线弧为可求长的曲线弧为可求长的。定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的。任意光滑曲线弧都是可求长的。三、三、三、三、平面曲线的弧长平面曲线的弧长平面曲线的弧长平面曲线的弧长的弧长的弧长,12/19/202263高等数学A（二）1 1、弧微分、弧微分（既弧长元素）既弧长元素）设

22、设 y=f(x)在在 a,b 上有连续导数上有连续导数，在在曲线上取基点曲线上取基点 M0(x0,y0),设设 M(x,y)为曲线上任一点为曲线上任一点，xy0M0.x0M.x规定：规定：规定：规定：依依 x 增大的方向作为曲增大的方向作为曲线的正向线的正向。ab规定：规定：规定：规定：有向弧段有向弧段 M0M 的的值值 s 为为：s 的绝对值等于这弧段的长度的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向当有向弧段的方向与曲线的正向一致时与曲线的正向一致时，s 0;否则否则 s 0。12/19/202264高等数学A（二）s 随随 x 的增大而增大的增大而增大,s=s(x)是是 x 的单调的单调增

23、加函数。增加函数。弧弧弧弧微分（既弧长元素）微分（既弧长元素）微分（既弧长元素）微分（既弧长元素）显然显然 s 是是 x 的的函数函数，即即 s=s(x)。任取任取在在第一学期中已有相对应的一小段弧长的计算第一学期中已有相对应的一小段弧长的计算公式为：公式为：12/19/202265高等数学A（二）当曲线是用参数方程当曲线是用参数方程当曲线方程为当曲线方程为 y y=f f(x x)，当当曲线用极坐标方程曲线用极坐标方程y 有连续导数有连续导数,12/19/202266高等数学A（二）2 2、曲线的弧长、曲线的弧长设设光滑光滑曲线曲线 y=f(x),计算曲线上相应于计算曲线上相应于x 从从 a

24、 到到 b 的一段弧长的一段弧长。y=f(x)具有一阶连续导数具有一阶连续导数，弧长元素弧长元素弧长元素弧长元素a a.直角坐标情形直角坐标情形直角坐标情形直角坐标情形12/19/202267高等数学A（二）b b.参数方程情形参数方程情形参数方程情形参数方程情形c c.极坐标情形极坐标情形极坐标情形极坐标情形12/19/202268高等数学A（二）例例例例1 1：(半立方抛物线半立方抛物线半立方抛物线半立方抛物线)解：解：解：解：AB 15012/19/202269高等数学A（二）例例例例2 2：试在试在星形线上求一点星形线上求一点 M，使使解：解：解：解：AB.M12/19/202270高

25、等数学A（二）因为因为12/19/202271高等数学A（二）例例例例3 3：解：解：解：解：曲线方程为积分上限函数曲线方程为积分上限函数 y=f(x),12/19/202272高等数学A（二）四、旋转曲面的面积四、旋转曲面的面积 设平面光滑曲线设平面光滑曲线积分后得旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积求它绕求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积.取面积元素取面积元素:12/19/202273高等数学A（二）面积元素面积元素的线性主部。的线性主部。若光滑曲线由参数方程若光滑曲线由参数方程给出，给出，则它绕则它绕 x 轴旋转一周所得轴旋转一周所得不是薄片面积

26、不是薄片面积S 的的 注意注意:旋转面的旋转面的面积为面积为12/19/202274高等数学A（二）例例1.计算圆计算圆段绕段绕 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.解解:应用公式得应用公式得当球台高当球台高 h2R 时时,得得 对曲线弧对曲线弧球的表面积公式球的表面积公式h12/19/202275高等数学A（二）例例2.求由星形线求由星形线一周所得的旋转体的表面积一周所得的旋转体的表面积 S.解解:绕绕 x 轴轴旋转旋转 利用对称性利用对称性0yx12/19/202276高等数学A（二）课课课课 外外外外 作作作作 业业业业习题习题习题习题 6 2(B)6 2(

27、B)9,1112/19/202277高等数学A（二）3.3.3.3.定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用12/19/202278高等数学A（二）一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功已知物体沿直线运动时，已知物体沿直线运动时，若有一若有一不变的力不变的力 F作用在这物体上，且力的方向与运动方向一作用在这物体上，且力的方向与运动方向一致致，则当物体移动了距离则当物体移动了距离 s 时时，力力 F 对这物对这物体所作的功是：体所作的功是：若力为变力若力为变力F(x),但方向不变但方向不变,则由定积分则由定积分现用现用现用现用元素法来解释这一

28、积分方法元素法来解释这一积分方法元素法来解释这一积分方法元素法来解释这一积分方法。W=F s定义引例知，定义引例知，12/19/202279高等数学A（二）求变求变力力 F(x)将物体从将物体从 x=a 移动到移动到 x=b 所作的功所作的功(F(x)为连续函数为连续函数)。x.分割分割 a,b,dx 很小很小,则在这小区间上作用的力则在这小区间上作用的力 F(x)可近似看可近似看成常力，成常力，以左以左端点端点 x 处的力处的力 F(x)近似代替，又知近似代替，又知则变则变力力 F(x)将物体从将物体从 x 移动到移动到 功元素功元素功元素功元素x+dx.移动距离为移动距离为 dx，abx+

29、dx 所作的功为：所作的功为：x.12/19/202280高等数学A（二）已知把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比已知把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比，又又 1 牛顿的力能使弹簧伸长牛顿的力能使弹簧伸长 1 cm，求把弹簧伸长求把弹簧伸长 10 cm 所作的功所作的功。例例例例1 1：解：解：解：解：x0取取弹簧平衡位弹簧平衡位置为原点，置为原点，伸长方向为伸长方向为 x 轴轴,由题意，由题意，(牛顿牛顿米米)如图建立坐标系。如图建立坐标系。功元素功元素功元素功元素12/19/202281高等数学A（二）一等腰三角形水槽（如图）内装满了水，若要一等腰三角形水槽（如图）内装满了水，若要将水完

30、全吸尽，需作多少功？将水完全吸尽，需作多少功？例例例例2 2：3 m20 m2 m解：解：解：解：如图建立坐标系如图建立坐标系,x则则可选可选 x 为积分变量为积分变量。3x把这薄层水吸出水槽需作把这薄层水吸出水槽需作把这薄层水吸出水槽需作把这薄层水吸出水槽需作多少功？多少功？多少功？多少功？功功=液体重量液体重量 移动距离移动距离=液体比重液体比重 体积体积 移动距移动距离离 功元素功元素功元素功元素y112/19/202282高等数学A（二）3 m20 m2 mx3xAB求求 y!y1y12/19/202283高等数学A（二）半径为半径为 r 的球的球(如图如图)沉入水中，球的比重与沉入水

31、中，球的比重与水相同。现将球从水中取出，需要作多少功？水相同。现将球从水中取出，需要作多少功？例例例例3 3：如图建立坐标系如图建立坐标系,解：解：解：解：xy则则截面圆方程：截面圆方程：2r求将球取出水面对此薄片所作功求将球取出水面对此薄片所作功求将球取出水面对此薄片所作功求将球取出水面对此薄片所作功x此此薄片在水中运动时作功为零，薄片在水中运动时作功为零，在在水面上移动距离为水面上移动距离为 2r x,则其克服重力所作功为：则其克服重力所作功为：(又问又问:若球的比重是水的若球的比重是水的2倍，则功又为多少倍，则功又为多少)ydV 2r12/19/202284高等数学A（二）二、水压力二、

32、水压力压力压力压力压力 P P=压强压强压强压强 面积面积面积面积 =水比重水比重水比重水比重 水深水深水深水深 面积面积面积面积例例1：设有一竖直的闸门设有一竖直的闸门,宽宽 a 米米,高高 b 米米，当水面齐当水面齐闸门顶时闸门顶时，求闸门一侧所受的压力求闸门一侧所受的压力 P。解：解：解：解：xy如图建立坐标系如图建立坐标系,x求求高为高为 dx 的这一小片所受压力的这一小片所受压力x+dxa压力元素压力元素压力元素压力元素b12/19/202285高等数学A（二）三角形薄板铅直地沉没在水中三角形薄板铅直地沉没在水中，它的底它的底与水面相齐与水面相齐，薄板的底为薄板的底为 a,高为高为

33、h,例例2：(1)计算薄板上一侧所受的水压力计算薄板上一侧所受的水压力。(2)若倒转薄板使顶点与水面齐若倒转薄板使顶点与水面齐，底平行于水面底平行于水面，则则水对薄板的压力有否变化水对薄板的压力有否变化？解：解：解：解：(1)如图建立坐标系如图建立坐标系,xyxx+dxAB12/19/202286高等数学A（二）(2)xyxx+dxAB如图建立坐标系如图建立坐标系,压力增大一倍压力增大一倍压力增大一倍压力增大一倍12/19/202287高等数学A（二）课课课课 外外外外 作作作作 业业业业习题习题习题习题 6 3(A)6 3(A)4,6,9习题习题习题习题 6 3(B)6 3(B)2习题习题习题习题 6 46 4512/19/202288高等数学A（二）