3-4 定轴转动刚体的角动量定理.ppt

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1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出一、一、刚体的角动量刚体的角动量对于定点转动而言：对于定点转动而言：3-4 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 对于绕固定轴对于绕固定轴oz 转转动的整个刚体而言动的整个刚体而言:对于绕固定轴对于绕固定轴oz的的转动的质元转动的质元 而言而言:角动量的方向沿轴的正向或负向角动量的方向沿轴的正向或负向,所以所以可用代数量来描述可用代数量来描述上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页

2、返回返回 退出退出 而这个分量而这个分量 实际上就是各质点的角动量沿实际上就是各质点的角动量沿 轴的分量轴的分量 之和。之和。对于对于定轴转动定轴转动，我们感兴趣的只是，我们感兴趣的只是 沿沿 轴的轴的分量分量 ，叫做，叫做刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量。刚体对刚体对 点的角动量，点的角动量，等于各个质点角动量的等于各个质点角动量的矢量矢量和和。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出二、二、定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出定轴转动刚体的角动量定理定轴转

3、动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理由刚体定轴转动定理：由刚体定轴转动定理：上式表示上式表示：刚体所受到的对某给定轴的总外力刚体所受到的对某给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率。这。这是用角动量描述的定轴转动定律。是用角动量描述的定轴转动定律。注意：对于刚体来说，它对给定轴的转动惯量注意：对于刚体来说，它对给定轴的转动惯量 是保持不变的。是保持不变的。上式和牛顿第二定律的微分形式相似，所以上上式和牛顿第二定律的微分形式相似，所以上式有时也叫做角动量定理的微分形式。式有时也叫做角动量定理的微分形式。上页上页 下页下页

4、 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出则该系统对该轴的角动量为：则该系统对该轴的角动量为：由几个物体组成的系统，如果它们对同一给由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为定轴的角动量分别为 、，对于该系统还有对于该系统还有如果在如果在外力矩外力矩作用下，从作用下，从角动量角动量变为变为，上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上式标明：定轴转动物体对轴的角动量的增上式标明：定轴转动物体对轴的角动量的增量，等于外力对该轴的力矩的冲量之和。量，等于外力对该轴的力矩的冲量之和。角动量定理的积分形式：角动量定理的积分形式：则由则由得

5、得 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理冲量和冲量和，或，或冲量矩之和冲量矩之和。为为时间内对轴的时间内对轴的力矩的力矩的上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出当当 M=0 时时 刚体在定轴转动中，当对转轴的刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为合外力矩为零零时，刚体对转轴的角动量保持不变，时，刚体对转轴的角动量保持不变，这一规律这一规律就是就是定轴转动的定轴转动的角动量守恒定律角动量守恒定律。由定轴由定轴转动定理：转动定理：即即三、三、定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页

6、下页 返回返回 退出退出a.对于绕固定转轴转动的刚体，因对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。当合外力矩为零时，其角速度恒定。=恒量恒量=恒量恒量b.若系统由若干个刚体构成若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时当合外力矩为零时,系系 统的角动量依然守恒。统的角动量依然守恒。J J 大大 小小,J J 小小 大。大。讨论：讨论：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出再如：跳水运动员的再如：跳水运动员的“团团身身-展体展体”动作动作例如：花样滑冰运动员例如：花样滑冰运动员的的“旋旋”动作动作上页上页 下页下页 返

7、回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出LABABCC常平架上的回转仪常平架上的回转仪如：如：c.c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。则系统对该轴的角动量守恒。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式刚体的平动刚体的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例题题3-73-7 一一匀匀质质细细

8、棒棒长长为为l ，质质量量为为m，可可绕绕通通过过其其端端点点O的的水水平平轴轴转转动动，如如图图所所示示。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，它它在在竖竖直直位位置置上上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞。该该物物体体的的质质量量也也为为m，它它与与地地面面的的摩摩擦擦系系数数为为 。相相撞撞后后物物体体沿沿地地面面滑滑行行一一距距离离s而而停停止止。求求相相撞撞后后棒棒的的质质心心C 离离地地面面的的最最大大高高度度h，并并说说明明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解：解：这个问题可分为三个阶段这个问题可分为三个阶段进行分析。进行分

9、析。第一阶段第一阶段是是棒自由棒自由摆落摆落的过程。这时的过程。这时除重力外，除重力外，其余内力与外力都不作功其余内力与外力都不作功，所，所以以机械能守恒机械能守恒。我们把。我们把棒在竖棒在竖直位置时质心所在处取为势能直位置时质心所在处取为势能CO上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出零点零点，用，用 表示棒这时的角速度表示棒这时的角速度,则则（1 1）第第二二阶阶段段是是碰碰撞撞过过程程。因因碰碰撞撞时时间间极极短短，自自由由的的冲冲力力极极大大，物物体体虽虽然然受受到到地地面面的的摩摩擦擦力力，但但可可以以忽忽略略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时

10、时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受的的对对转转轴轴O的的外外力力矩矩为为零零，所所以以，这这个个系系统统的的对对O轴轴的的角角动动量守恒量守恒。我们用。我们用v表示物体碰撞后的速度，则表示物体碰撞后的速度，则（2 2）式式中中 为为棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度，它它可可正正可可负负。取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出第第三三阶阶段段是是物物体体在在碰碰撞撞后后的的滑滑行行过过程程。物物体体作作匀匀减减速直线运动速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为，加

11、速度由牛顿第二定律求得为（3 3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得（5）上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出亦亦即即l 66 s；当当 取取负负值值，则则棒棒向向右右摆摆，其其条条件件为为亦即亦即l 6 s 棒棒的的质质心心C上上升升的的最最大大高高度度，与与第第一一阶阶段段情情况相似况相似，也可由，也可由机械能守恒定律机械能守恒定律求得：求得：把式（把式（5 5）代入上式，所求结果为）代入上式，所求结果为当当 取正值，则棒向左摆，其条件为

12、取正值，则棒向左摆，其条件为(6)(6)上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例题题3-83-8 工工程程上上，常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使两两飞飞轮轮以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A和和B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在同同一一中中心心线线上上，A轮轮的的转转动动惯惯量量为为JA=10kg m2，B的的转转动动惯惯量量为为JB=20kg m2 。开开始始时时A轮轮的的转转速速为为600r/min，B轮轮静静止止。C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？啮合过程

13、中，两轮的机械能有何变化？A ACBACB上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出解：解：以飞轮以飞轮A、B和啮合器和啮合器C作为一系统来考虑，在作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到啮合过程中，系统受到轴向的正压力轴向的正压力和和啮合器间的啮合器间的切向摩擦力切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩有力矩，但为系统的内力矩。，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律。按角动量守恒定律可得可得 为两轮啮合后共同转动的角速度为两轮啮合

14、后共同转动的角速度，于是，于是以各量的数值代入得以各量的数值代入得上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出或共同转速为或共同转速为 在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部部分分机机械械能能将将转转化化为为热热量量，损损失的机械能为失的机械能为上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例1 一长为一长为l、质量为质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴的匀质细杆，可绕光滑轴O 在在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水的子弹水平射入与轴

15、相距为平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到转到q q=300，求子弹的初速求子弹的初速v0。解：分两个阶段进行考虑解：分两个阶段进行考虑其中其中(1)子子弹弹射射入入细细杆杆,使使细细杆杆获获得得初初速速度度。因因这这一一过过程程进进行行得得很很快快,细细杆杆发发生生偏偏转转极极小小,可可认认为为杆杆仍仍处处于于竖竖直直状状态态。子子弹弹和和细细杆杆组组成成待待分分析析的的系系统统,无无外外力力矩矩,满满足足角角动动量量守守恒恒条条件件。子子弹弹射射入入细细杆杆前前、后后的一瞬间的一瞬间,系统角动量分别为系统角动量分别为定轴转动刚体的角动量守恒定

16、律定轴转动刚体的角动量守恒定律上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(2)(2)子弹随杆一起绕轴子弹随杆一起绕轴O O 转转动动。以子弹、细杆及地球构。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有成一系统，只有保守内力作保守内力作功，机械能守恒功，机械能守恒。选取细杆选取细杆处于竖直位置时子弹的位置处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点为重力势能零点，系统在始，系统在始末状态的机械能为：末状态的机械能为：由由角动量守恒，得：角动量守恒，得：(1)势能零点势能零点定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下

17、页下页 返回返回 退出退出由机械能守恒，由机械能守恒，E=E0,代入代入q q=300，得：得：将上式与将上式与 联立，并代入联立，并代入J 值，得值，得定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例2 2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：为：A=50=50rad.s-1-1,B=200=200rad.s-1-1。已知已知A A 圆盘半径圆盘半径R RA A=0.2m,=0.2m,质量质量m mA A=2kg,=2kg,B B 圆盘的半径圆盘的半径R RB B=0.1m,=0.1m,质量质量m mB B=4kg.=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度试求两圆盘对心衔接后的角速度 .解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到动量守恒，得到定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律