大学物理第20章量子力学.ppt

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1、12/19/20221作者 余 虹12/19/20222作者 余 虹经典理论经典理论：沿沿x方向传播的单色平面波方向传播的单色平面波波波强度强度 I A2量子理论量子理论：沿沿x方向运动的自由粒子的德布罗意波方向运动的自由粒子的德布罗意波是单色平面波是单色平面波（=E/h =h/P ）一维波函数一维波函数 一、波函数一、波函数20.1 定态薛定谔方程定态薛定谔方程一维定态波函数一维定态波函数1、什么是波函数、什么是波函数12/19/20223作者 余 虹量子概念下的粒子与确切的轨道无关，量子概念下的粒子与确切的轨道无关，但有质量、但有质量、电量电量；波与物理量的空间周期性无关，但具波与物理量的

2、空间周期性无关，但具有可叠加性。有可叠加性。（r）不代表实在物理量的波动，不代表实在物理量的波动，而是而是刻划粒子在空间概率分布的概率波。刻划粒子在空间概率分布的概率波。开始毫无规则，时间开始毫无规则，时间 延长显示衍射图样，波动性延长显示衍射图样，波动性许许多次相同实验的统计结果多次相同实验的统计结果亮亮波强波强电电子到达多。子到达多。暗暗波弱波弱电电子到达少。子到达少。（r r）不可直接测量！不可直接测量！12/19/20224作者 余 虹可可测量测量在空间在空间 处处 可观测到粒子的概率密度。可观测到粒子的概率密度。在在 附近，附近，dv=dxdydz 区区域域 内发现粒子的概率。内发现

3、粒子的概率。量子力学指出，我们只能判断在一定空间范围发现粒量子力学指出，我们只能判断在一定空间范围发现粒子的子的概率概率，不能确定一个粒子一定在什么地方；只能作，不能确定一个粒子一定在什么地方；只能作某种某种可能性的判断可能性的判断，不能做绝对确定性的断言。，不能做绝对确定性的断言。例如：例如：中子的平均半衰期中子的平均半衰期 616秒秒,即即N个中子在个中子在 616 秒内有秒内有50%衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前，衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前，我们不能断定哪几个中子会衰变，只能说，每个中子我们不能断定哪几个中子会衰变，只能说，每个中子在在616 秒内都有秒内都有 50%的衰

4、变机会。的衰变机会。意义？意义？12/19/20225作者 余 虹2、波函数的条件、波函数的条件1、（r）必须是时空的必须是时空的单值单值函数函数。确定的时间，地点，粒子出现的概确定的时间，地点，粒子出现的概率是确定的。率是确定的。2、（r）必须是必须是有限有限的。的。因为因为概概率率W（x，y，z）1。3、两个区域的边界处波函数、两个区域的边界处波函数 1=2 、1=2 连续。连续。粒子出现粒子出现在边界处确定点的概率是定值。在边界处确定点的概率是定值。4、粒子在全空间出现的概率、粒子在全空间出现的概率=1标标准准条条件件归一化归一化条件条件12/19/20226作者 余 虹如果如果 1、2

5、、3 n 是粒子是粒子 或系统的波函数，或系统的波函数，3、态叠加原理、态叠加原理电子双缝实验电子双缝实验开开S1，电子出现在电子出现在P点点的波函数的波函数 1则则 =C1 1+C2 2+C3 3+Cn n 也是粒子或系统的波函也是粒子或系统的波函数。数。s1s2PS1s2 同时开，电子出现在同时开，电子出现在P点的点的波函数波函数 =C1 1+C2 2开开S1，电子出现在电子出现在P点点的波函数的波函数 212/19/20227作者 余 虹二、薛定谔方程二、薛定谔方程1、一维、一维自由粒子自由粒子的波函数的波函数一维自由粒子一维自由粒子的的薛定谔方程薛定谔方程12/19/20228作者 余

6、 虹2、一维势场、一维势场U（x，t）中运动粒子中运动粒子令令薛定谔方程薛定谔方程三维：三维：12/19/20229作者 余 虹三、定态薛定谔方程三、定态薛定谔方程若若U 与与 t 无关，整个方程与无关，整个方程与 t 无关无关定态薛定谔方程定态薛定谔方程一维：一维：三维：三维：12/19/202210作者 余 虹四、算符与本征值四、算符与本征值一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程非非相对论近似下，粒子的能量相对论近似下，粒子的能量动量算符动量算符新的波新的波函函 数数则则（x）是是 的的本征本征函数函数 E是是 的本征值。的本征值。如果如果哈密顿算符哈密顿算符能量算符能量算符12/19/20

7、2211作者 余 虹测量测量能量本征值能量本征值能量本征态能量本征态五、本征值与本征态五、本征值与本征态对粒子进行某力学量（如：能量）测量，不一定总测对粒子进行某力学量（如：能量）测量，不一定总测得相同的值，每次测得一系列可能值中的一个（以一得相同的值，每次测得一系列可能值中的一个（以一定的概率出现定的概率出现）。）。若有若有N个本征态对应一个本征值个本征态对应一个本征值，则称该本征值则称该本征值N度度简并简并。这一系列可能值即力学量的这一系列可能值即力学量的本征值本征值。对应一确定本征值对应一确定本征值 的粒子状态，称为的粒子状态，称为本征态本征态。测量测量E3度度简并简并12/19/202

8、212作者 余 虹量子力学处理问题的方法量子力学处理问题的方法1、分析、找到粒子在势场中的、分析、找到粒子在势场中的势能函数势能函数U，写出薛定谔方程。写出薛定谔方程。2、求解、求解 ，并根据初始条件、边界条，并根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数。件和归一化条件确定常数。3、由、由 2 得出粒子在不同时刻、不同得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。能量的概率。12/19/202213作者 余 虹U=0（0 xa）U=U0（其他）其他）势阱势阱无限深无限深势势能能量子力学预言：量子力学预言：势阱里的粒子的能量势阱里的粒子的

9、能量只可能是一系列分立的本征值只可能是一系列分立的本征值,对应的对应的波函数只能是能量本征态波函数。波函数只能是能量本征态波函数。（1）U 与与t 无关，写出定态定谔方程无关，写出定态定谔方程（2）解方程）解方程 1=0 3=00 xTo151 2 3一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱 20.3 一维定态问题一维定态问题令令:12/19/202214作者 余 虹（3）确定常数）确定常数A、势阱无限深势阱无限深阱外无粒子阱外无粒子 =0 （x 0 x a）由由波函数波函数连续性，连续性，边界条件边界条件 （0）=0 （a）=0 Acos =0 =2A sinka=0n=1.2.3ka=n To

10、1412/19/202215作者 余 虹（0 x U0的粒子，的粒子，越过势垒。越过势垒。2.E U0 的粒子，也存在被弹回的概率的粒子，也存在被弹回的概率 反射波。反射波。2.E n 都是正整数，都是正整数，氢原子氢原子光光 谱谱R=1.096776 107 m 1 里德堡常数里德堡常数根据不同根据不同的的 m 值把值把氢原子的氢原子的光谱分成光谱分成不同的线不同的线系。系。n=1L.S.n=3P.S.n=2B.S.紫外线紫外线紫外线、可见光紫外线、可见光红外线红外线12/19/202221作者 余 虹二、氢原子二、氢原子r+势能势能定态薛定谔方程定态薛定谔方程用球用球坐标坐标x yz Or

11、 通过分离变量将方程分解为通过分离变量将方程分解为分别与变量分别与变量r、有关的有关的3个方程。个方程。方程有解的条件直接引出了方程有解的条件直接引出了微观领域里的量子化条件。微观领域里的量子化条件。To 4112/19/202222作者 余 虹量子理论量子理论：具有确定能量的原具有确定能量的原子不辐射电磁波；仅当电子在子不辐射电磁波；仅当电子在不同的不同的“轨道轨道”跃迁或者说在跃迁或者说在不同的不同的能级能级间间跃迁跃迁时才辐射。时才辐射。频频率满足率满足n 主量子数主量子数1、2、3、4K、L、M、Nn=1 基态基态6 5 4 3 2 第一第一激发态激发态L.S.B.S.P.S.1、能量

12、量子化、能量量子化-13.6 eV 13.6电离电离一个一个基态基态氢原子需要氢原子需要 13.6 eV 能量；能量；电离电离一个一个第一激发态第一激发态氢原子需要氢原子需要 3.4 eV 能量。能量。氢原子氢原子12/19/202223作者 余 虹例题例题：氢原子光谱的：氢原子光谱的巴耳末巴耳末系中波长最大的谱线系中波长最大的谱线 1，其次为，其次为 2，求比值，求比值 1/2 .解：解：n=2 n=3 n=4 1 212/19/202224作者 余 虹例题例题：处于处于第三激发态第三激发态的氢原子，可能发的氢原子，可能发出的光谱线有多少条？其中可见光出的光谱线有多少条？其中可见光谱线几条？

13、谱线几条？解解：第三激发态第三激发态 n=4六条谱线六条谱线喇曼系喇曼系3条条紫外线紫外线巴耳末系巴耳末系2条条可见光可见光帕邢系帕邢系1条条红外线红外线n=4n=3n=2 n=112/19/202225作者 余 虹2、角动量量子化、角动量量子化具有确定能量的电子角动量可有若干，角动量具有确定能量的电子角动量可有若干，角动量大小大小s p d角量子数角量子数 l=0、1、2n-1l 决定角动量大小。决定角动量大小。Enn个个 例例：第二激发态的电子第二激发态的电子 n=3 对应角量子数对应角量子数 l=012 3s L=03p L3dL12/19/202226作者 余 虹3、角动量取向量子化、

14、角动量取向量子化Z具有确定角动量的电子，角动量方向可有若干，具有确定角动量的电子，角动量方向可有若干，L 在任意一轴上（如：沿磁场方向）投影在任意一轴上（如：沿磁场方向）投影LZ 磁量子数磁量子数 m=0、1、2 l 决决定角动量方向。对应定角动量方向。对应 l 可可有有 2 l+1 个不同取向。个不同取向。m=0例例：m=1m=-1m=2m=-212/19/202227作者 余 虹电子的状态可用电子的状态可用 n、l、m 三个量子数表示，三个量子数表示，相应的波函数相应的波函数 nlm 。对确定能级对确定能级En电子有电子有 n2 种可能状态种可能状态 2 0 0基态基态 n=1 n2=1

15、1 0 0第一激发态第一激发态 n=2 n2=4 2 l m？l=0 m=0 m=0、1 2 1 0 2 1-1 2 1 1能级能级简并简并l =112/19/202228作者 余 虹1 2 3 4 5 6 7 8r/app21p10p20a氢原子玻尔半径氢原子玻尔半径1、半径为、半径为a的的球面附近发现球面附近发现1s 电子的可能性最大。电子的可能性最大。2、2s电子在半径为电子在半径为5 a的球面附近出现的概率最大；的球面附近出现的概率最大；不可能在不可能在2 a处处出现。出现。3、寻找、寻找2p电子最好在半径为电子最好在半径为4 a的的球面处。球面处。电子径向概率分布图电子径向概率分布图

16、图图中信中信息息12/19/202229作者 余 虹已知氢原子基态波函数已知氢原子基态波函数例题例题求：电子处于半径为求：电子处于半径为 a0 的球面内的概率的球面内的概率P0解：概率密度解：概率密度p100=|100|2，电子处于半径为电子处于半径为r、厚度厚度为为dr 的的壳层内的概率为壳层内的概率为 dP=p100 4 r2dr在半径为在半径为 a0 的球面内的概率的球面内的概率12/19/202230作者 余 虹一、斯特恩盖拉赫实验（一、斯特恩盖拉赫实验（19211921）SNAg电子在核周围运动电子在核周围运动 电流圈电流圈有磁矩有磁矩PZ用用 s 态（态（l=0）银原子无银原子无论

17、有无磁场都只有一条！论有无磁场都只有一条！实验结果实验结果：有磁场时，底板有磁场时，底板上是呈对称分布的两条纹。上是呈对称分布的两条纹。？z有有2l+1种不同值。种不同值。4、第第4 4个量子数个量子数自旋自旋12/19/202231作者 余 虹电子的状态要用电子的状态要用 n、l、m ，ms四个量子数表示，四个量子数表示，相应的波函数相应的波函数 n l m m s 对确定能级对确定能级En电子有电子有2 n2 种可能状态种可能状态能量能量2 n2 度度简并。简并。基态基态 n=1 2n 2=2 100 100能量能量2 度简并度简并第一激发态第一激发态 n=2 2n2=8 2l m？12/

18、19/202232作者 余 虹二、电子自旋理论二、电子自旋理论（19241924年）年）电子除了绕核运动外，还绕自身轴旋转自转磁矩电子除了绕核运动外，还绕自身轴旋转自转磁矩 s，角动量角动量Ls、Lsz 根据量子理论根据量子理论ms=-s，ss=？对称，说明银原子对称，说明银原子可分为两类，受力可分为两类，受力大小相等方向相反。大小相等方向相反。s且且 -s+1=s z也有两个也有两个大大小相等方向相反。小相等方向相反。12/19/202233作者 余 虹原子核外电子的排布原子核外电子的排布原子是由多个电子与原子核组成系统，系统的状原子是由多个电子与原子核组成系统，系统的状态用电子状态分布来描

19、写态用电子状态分布来描写。用。用n、l 标记一个电子标记一个电子再指明该态中的电子数再指明该态中的电子数原子组态原子组态，若有，若有x个电个电子处于子处于n l 态，记态，记n l x例：例：氦的基态，氦的基态，2个电子都处于个电子都处于 n=1 l=0 态态 记：记：1s2第一激发态第一激发态n=1 l=0n=2 l=0记：记：1s 1 2s 112/19/202234作者 余 虹分配原则分配原则1、泡利不相容原理：、泡利不相容原理：一个多电子原子系统中，一个多电子原子系统中，不可能有两个电子具有相同的状态不可能有两个电子具有相同的状态4对量对量子数子数 n、l、m、m s 至少有一对不同。

20、至少有一对不同。2、能量最小原理：、能量最小原理：基态基态原子中电子先填满能原子中电子先填满能量小的壳层。量小的壳层。例题例题：氯原子有氯原子有17个电子，写出个电子，写出基态原子组态。基态原子组态。n l2（2l+1）1 0 21s22 0 22s2 1 62p63 0 23s2 1 53p51s22s22p63s23p512/19/202235作者 余 虹作者作者 余余 虹虹12/19/202236作者 余 虹氢原子的氢原子的定态薛定谔方程定态薛定谔方程分离变量，令分离变量，令代入方程代入方程由由得得只能只能分得三个独立变量的方程，再根据波函数的条件，分得三个独立变量的方程，再根据波函数的条件，自然得到三个量子数。自然得到三个量子数。Back 2512/19/202237作者 余 虹