2第二章轴向拉压2-2.ppt

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1、4 轴向拉（压）杆横截面上的应力轴向拉（压）杆横截面上的应力 由于只根据轴力并不能判断杆件是否由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的有足够的强度强度，因此必须用横截面上的应，因此必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。力来度量杆件的受力程度。思路：通过研究杆件的变形，提出合思路：通过研究杆件的变形，提出合理假设理假设，推导应力公式。方法如下：，推导应力公式。方法如下：实验观察实验观察杆件受力时的杆件受力时的表面变形表面变形特点特点 提出合理假设（平面假设）提出合理假设（平面假设）几何关系：推断杆件内部变形几何关系：推断杆件内部变形 (变形协调关系变形协调关系)由物理关系：由物理关系：推断应

2、力推断应力（截开）由静力平衡条件推导公式（截开）由静力平衡条件推导公式静力关系静力关系FF受力前受力前 受力后受力后 xba1a1aabb1b1平行轴线的纵线段平行轴线的纵线段垂直轴线的横线段垂直轴线的横线段直角直角表面纵向线段变形一样，表面纵向线段变形一样，横向还横向还是横向（横截面保持为平面）。是横向（横截面保持为平面）。变形后变形后 变形前变形前 baaba1a1b1b1平面假设（平截面假设）：平面假设（平截面假设）：变形前为平面的横截面变形后保持变形前为平面的横截面变形后保持为平面，且仍垂直于杆轴线为平面，且仍垂直于杆轴线。推断推断（变形）：（变形）：横截面的相对平移，横截面内的每横截

3、面的相对平移，横截面内的每一点（纵向线段）的伸长相同，即伸长一点（纵向线段）的伸长相同，即伸长量量a1a1-aa=b1b1-bb，也也即即任意两横截面任意两横截面间纵向线的伸长变形是均匀的，所以每间纵向线的伸长变形是均匀的，所以每一点一点(x)相同。相同。推断（推断（应力应力）：）：相同，相同，正正应力应力 亦相等。亦相等。FNF静力平衡条件静力平衡条件:因因 =dFN/dA 所以所以 dFN=dA FN=A dFN=A dA 正应力在横截面上各点均相等正应力在横截面上各点均相等 FN=A dA=A 拉拉(压压)杆横截面上的正应力计算公式杆横截面上的正应力计算公式:=FN/A 公式公式=FN/

4、A 的的应应用用:(1)A为为横截面受力前的面积横截面受力前的面积，FN为为当前工作当前工作的的轴力轴力，所以所以是是工作工作应力应力，称称名义应力名义应力,工程应力。如果工程应力。如果A是当前是当前面积，面积，是是真实应真实应力力。(2)做题时，先画轴力图。做题时，先画轴力图。(3)习惯上习惯上 FN 都取正都取正值值，由，由轴力图判断拉、压轴力图判断拉、压而写而写=100MPa(拉拉)，或，或=100MPa(压压)。注意：注意：杆件上最大正应力杆件上最大正应力max所处的点称为杆所处的点称为杆件的危险点件的危险点(重点重点)。从轴力图判断截面位置，公式判断点的从轴力图判断截面位置，公式判断

5、点的位置。位置。正应力正应力是定义在点上，说明横截面上是定义在点上，说明横截面上的每点应力相等。的每点应力相等。在加力点附近在加力点附近=FN/A不成立，在截不成立，在截面突变处附近面突变处附近=FN/A理解为左截面理解为左截面或右截面。或右截面。圣维南原理圣维南原理(SaintVenant)圣维南原理指出：圣维南原理指出：“力作用于杆端力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响杆的横向尺寸的范围内受到影响”。F影响区影响区F例例2-2:已知正方形砖柱已知正方形砖柱,各段尺寸如图各段尺寸如图,F=50kN,试求杆的最大试求杆的最

6、大工作应力工作应力。ACFB4000370240FF3000解：解：ACFB4000370240FF300050 kN150 kNFN1=FN1/A1=50 103/0.242 =50 103/0.0576 =50 103/57.6 10-3 =0.87 106 =0.87MPa(压压)2=FN2/A2=150 103/0.372 =1.1MPa (压压)所以所以max=1.1MPa (压压)作业要求：作业要求：(1)抄题（或写已知：抄题（或写已知：.，求：，求：.。），。），画原图（简图）。画原图（简图）。(2)作轴力图。作轴力图。(3)写公式，带入数据，求计算结果。写公式，带入数据，求计算

7、结果。轴向拉（压）杆斜截面上的应力轴向拉（压）杆斜截面上的应力 如何确定斜截面如何确定斜截面kk上的应力？上的应力？FFkkkk截面上的内力为截面上的内力为FFNx变形前的一对平行线，变形变形前的一对平行线，变形后仍为一对平行线。后仍为一对平行线。变形后变形后 变形前变形前 所以斜截面上的总应力所以斜截面上的总应力p是是均匀的均匀的。横截面面积：横截面面积：A斜截面面积：斜截面面积：A=A/cos由由=0 ，p A F=0FFNxpp斜截面上的斜截面上的a点的总应力点的总应力：p=/A=/A cos=cos斜截面上的正应力斜截面上的正应力：=p cos=cos2 =/2(1+cos2)Fxp

8、a斜截面上的正应力：斜截面上的正应力：=p cos=cos2 =/2(1+cos2)斜截面上的切应力：斜截面上的切应力：=p sin=cossin =/2sin2 公式说明斜截面上的应力可由横截面公式说明斜截面上的应力可由横截面上的正应力求得。上的正应力求得。讨论：讨论：应力应力0o45o90o45omax(重点重点)/20/2 max=/2 (重点重点)00max=-/2 (重点重点)结论：结论：对对于于轴轴向向拉拉（压压）杆杆，max发发生生在在横横截截面面上上；max 发发生生在在沿沿顺顺（逆逆）时时针针转转45角角的的斜斜截面上。截面上。apa思考：思考：为什么不仅要了解横截面上的应为

9、什么不仅要了解横截面上的应力，而且也要了解斜截面上的应力？力，而且也要了解斜截面上的应力？思考：思考：为什么不仅要了解横截面上的应为什么不仅要了解横截面上的应力，而且也要了解斜截面上的应力？力，而且也要了解斜截面上的应力？分析拉压杆受力破坏的原因。分析拉压杆受力破坏的原因。5 拉（压）杆的变形，胡克定律拉（压）杆的变形，胡克定律 轴向拉伸杆件的主要变形是纵向伸轴向拉伸杆件的主要变形是纵向伸长。由实验得知，在杆沿纵向长。由实验得知，在杆沿纵向 l 伸长的同伸长的同时，其横向尺寸时，其横向尺寸 d 将略有缩小。将略有缩小。压缩杆件则为纵向缩短，横向尺寸压缩杆件则为纵向缩短，横向尺寸将略有增大。将略

10、有增大。FFdd1ll1 纵向绝对线变形：纵向绝对线变形：l=l1-l 纵向线应变纵向线应变 =l/l 正负号：线应变的正负号与正负号：线应变的正负号与 l 一致，一致，拉应变为正，压应变为负，为无量纲数。拉应变为正，压应变为负，为无量纲数。横向线变形：横向线变形：d=d1-d 横向线应变：横向线应变：=(d1-d)/d=d/d 实验实验表明表明：材料在线弹性范围内材料在线弹性范围内 =-/或：或：=|/|式中式中是一常数是一常数，称称为为横向变形系数（或泊横向变形系数（或泊松比）松比），其数其数值值因因材料而异。材料而异。参见参见 P19(21)表表21。胡克定律胡克定律:如前图均质材料，且

11、材料在弹性范围内，如前图均质材料，且材料在弹性范围内，等直等直轴向拉（压）杆件的伸长（缩短）轴向拉（压）杆件的伸长（缩短）l 与轴力与轴力FN 和杆长和杆长l 成正比，与横截面面积成正比，与横截面面积 A 成反比，即：成反比，即：l FN l /A。引入比例常数引入比例常数E，则则：E 弹性模量，单位：弹性模量，单位：Pa，通过实验测定。通过实验测定。EA 杆件的抗拉（压）刚度。杆件的抗拉（压）刚度。注意：注意：l 是杆件的纵向绝对线是杆件的纵向绝对线变形变形，杆件的，杆件的伸长（缩短）量。伸长（缩短）量。杆件是杆件是简单的均匀变形的杆件简单的均匀变形的杆件。补充：补充：对于多个集中力作用的杆

12、件（对于多个集中力作用的杆件（简单非简单非均匀变形杆件均匀变形杆件），如每段杆长），如每段杆长l i，轴力轴力FNi,横截面面积横截面面积 Ai，杆件杆件l 的总伸长（缩短）的总伸长（缩短）l总总量：量：补例补例1(教材例题略教材例题略)：已知：杆件已知：杆件AE各段长各段长，荷载如图，荷载如图，AAB=ABC=ADE=400mm2,ACD=200mm2求：杆件求：杆件AE的伸长量。的伸长量。ACDEB40kN55kN25kN20kN1.2m1m1m1m补例补例2：同一材料组成的变截面杆件如图，下同一材料组成的变截面杆件如图，下列结论哪个是正确的？列结论哪个是正确的？(a)D截面位移为截面位移

13、为 0。(b)D截面位移为截面位移为 Pl/(2EA)。(c)C截面位移为截面位移为 Pl/(2EA)。(d)D截面位移为截面位移为 Pl/(EA)。CDBPl2Pl2AA已知：同一材料组成的变截面杆件如图，下已知：同一材料组成的变截面杆件如图，下列结论哪个是正确的？列结论哪个是正确的？(a)D截面位移为截面位移为 0。(b)D截面位移为截面位移为 Pl/(2EA)。(c)C截面位移为截面位移为 Pl/(2EA)。(d)D截面位移为截面位移为 Pl/(EA)。CDBPl2Pl2AA(b)补例补例3：已知：杆件已知：杆件AB长长l，均布荷载均布荷载q。求：杆件的伸长量。求：杆件的伸长量。ABq(

14、kN/m)改写：改写：l/l=1/E(FN/A)则：则：=/E 或：或：=E (2-6)式式(2-6)所表达的关系称为所表达的关系称为点的单轴（或单向）点的单轴（或单向）胡克定律。胡克定律。胡克定律是力学中的一个重要定律，它揭胡克定律是力学中的一个重要定律，它揭示了结构（或构件）中力与变形或应力与应变示了结构（或构件）中力与变形或应力与应变之间的物理关系。之间的物理关系。钢的钢的E 200GPa，10-3 10-4(小变形小变形范围内范围内)。小结小结本节重点：本节重点：1、轴向拉（压）杆横截面（斜截面）上的应力；、轴向拉（压）杆横截面（斜截面）上的应力；2、拉（压）杆的变形求解，胡克定律；、拉（压）杆的变形求解，胡克定律；作业：作业：P44（老教材）老教材）2-5 2-82-5 2-8 P52（新教材）新教材）2-3 2-62-3 2-6预习：材料的拉压力学性能预习：材料的拉压力学性能 2.横截面B,C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？练习：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个杆纵向变形的表达式。FFFN 图F+-+位移：变形：