ch6弯曲变形3-7-2003.ppt

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1、材 料 力 学第六章第六章 弯曲变形弯曲变形Deformations in Bending研究梁的变形有二个主要目的:对梁进行刚度计算和校核对梁进行刚度计算和校核;用于求解超静定梁。用于求解超静定梁。6-3 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角Method of Superposition例题例题6-46-4 一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图a所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度fC和支座处横截面的转角A、B。解解:此梁上的荷载可以分为两项简单的荷载，如图b、c 所示:在反对称荷载作用下,梁的挠曲线对于跨中截面应是反对称的,因而跨中截面的挠度fC2 应等于零。由于C截面的挠度为零,但转角不等于

2、零,且该截面上的弯矩又等于零。故可将AC段和CB段分别视为受均布荷载作用且长度为l/2的简支梁,因此,由附录IV表中查得:例题例题6-5 试利用叠加法,求图a 所示抗弯刚度为EI的简支梁的跨中截面挠度fC和两端截面的转角A、B。解解:为了利用附录IV表中的结果,可将图a所示荷载视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加(图b)。6-3 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角Method of Superposition 将相应的位移值进行叠加，即得:在正对称荷载作用下,梁跨中截面的挠度以及两端截面的转角,由附录IV表中查得分别为:6-3 6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角Method of Su

3、perposition 例题例题66 一抗弯刚度为EI的外伸粱受荷载如图a所示,试按叠加原理并利用附录IV的表,求截面B的转角B以及A端和BC段中点D的挠度fA 和fD。6-4(1)6-4(1)梁的刚度校核Rigidity Condition of Beam工程上一般要求:式中:土建工程中通常只限制 且故梁的刚度条件又可表达为:在土建工程方面,f/l的值常限制在:1/2501/1000范围内;在机械制造工程方面,对主要的轴,f/l的值则限制在1/5000 1/10000范围内;对传动轴在支座处的许可转角一般限制在0.0050.001rad范围内。对于一般土建工程中的构件土建工程中的构件,强度要

4、求如能满足,刚度条件一般也能满足。因此,在设计工作中,刚度要求比起强度要求来刚度要求比起强度要求来,常处于从属常处于从属地位地位。但是,当正常工作条件对构件的位移限当正常工作条件对构件的位移限制很严制很严,或按强度条件所选用的构件截面过于或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时单薄时,刚度条件有时也可能起控制作用刚度条件有时也可能起控制作用。例题例题6-76-7 简支梁如图,已知按强度条件所选择的梁为两根20a号槽钢,每根槽钢的惯性矩I=1780cm4,钢的弹性模量为E=210GPa。此梁许可的挠度与梁跨长的比值为f/l=1/400。试核核此梁的刚度。解解:由于简支梁上的横向力指向相同,其挠曲线

5、上将无拐点。因此,可将梁跨中点C处的挠度fC作为梁的最大挠度fmax。根据附录 IV的第11种情况,按叠加原理可求得最大挠度的数值为:6-4(1)6-4(1)梁的刚度校核Rigidity Condition of Beam注意到:a,abl b l2故将:E=210GPa,I=1780cm4;P1=120kN,b1=0.4m;P2=30kN,b2=0.8m;P3=40kN,b3=0.9m;P4=12kN,b4=0.6m代入上式,得:6-4(2)6-4(2)提高梁的刚度的措施式中 为广义荷载q,P,M等;1.增大梁的抗弯刚度 E I 可增大 同类材料(如软钢与高强度钢)变化不大。由当前的结果知梁

6、的挠度挠度f和转角转角与与梁的支承情况支承情况、荷载情况荷载情况、材料选取材料选取、截面形状截面形状与尺寸尺寸、跨长跨长等因素有关有关。一般可表为:k为由支承和荷载决定的系数。故当梁的支承和荷载确定后,可采取下列措施来提高梁的刚度:2.调整跨长(l,a)和改变结构6-5 梁内的弯曲应变能例题自学例题自学 对纯弯曲梁,如图,梁轴线弯曲后成为曲率k=1/r=M/EI的园弧,l弧长内的圆心角为:故其弯曲应变能为:在横力弯曲时,梁内应变能包括两部分:与弯曲变形相应的弯曲应变能。与剪切变形相应的剪切应变能。如左图,在小变形、线弹性的条件下,其弯曲应变能为:当梁的lh时,梁的剪切应变能要比弯曲应变能小得多

7、,通常忽略不计。6-6 简单超静定梁的解法Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam 我们前面讨论的均为仅用平衡方程就能确定所有的支座反力和内力的梁静定梁静定梁(SDB)。若对静定梁增加支座,则变为未知反力数未知反力数 独立的平衡方程数独立的平衡方程数的超静定梁超静定梁(SIB)。未知反力数-独立的平衡方程数=n:超静定次超静定次(阶阶)数数(Degree of SI)n 阶超静定梁有 n 个多余约束多余约束(Redundant Constraint)对应有n个多余约束反力多余约束反力(Redundant Reaction)值得指出的

8、是:超静定梁的多余约束仅是从平衡的观点来看是“多余”的。但是从减少内力(强度)和变形(刚度)的观点来看,在工程实际中,所谓“多余”的约束却是必不可少的。从超静定梁上除去多余的约束(以相应的未知反力代之)后所得静定梁通常叫原超静定梁的基本静定系基本静定系(简称:静定基静定基)。一般而言,静定梁的选择不是唯一的。如:A B C DRB RC RB RD R”C R”D MB MC(a)(b)(c)(d)(e)(b),(c),(d),(e)四种静定梁均可被选为超静定梁(a)的基本静定梁。对中间支座很多的这类超静定梁(工程上叫连续梁连续梁Continuous Beam),以(e)形式的基本梁来求解最方

9、便。6-6 简单超静定梁的解法Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam 用变形比较法变形比较法(Method of Deformation Contrast)解简单的超静定梁的要点是:基本梁在未知外载和未知反力作用下基本梁在未知外载和未知反力作用下,对应点的变对应点的变形应与超静定梁相同形应与超静定梁相同。例如:在求解图示一次超静定梁问题时。可选取右中图所示的静定基,或者右下图所示的静定基。下面按右中图所示来求解此问题:几何关系:本构关系:故得补充方程:解此方程,得:在此多余反力作用下,静定基与原超静定梁静定基与原超静定梁等价等价。

10、(指两者的反力、内力、变形、位移等等均相同)故此超静定梁的剪力和弯矩如上图示。6-6 简单超静定梁的解法Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam例题例题6-9(P296)6-6 简单超静定梁的解法Calculation of Simple Statically Indeterminate Beam例题例题6-10-10(P298):q=20kN/m,l1=4m,P=30kN,l2=5m,a=3m,b=2m。6-7(1)支座沉陷对超静定梁的影响6-7(2)不均匀变温对超静定梁的影响 如图示结构,当梁的上表面温度由T0上升到T1,下表面温度由T0上升到T2时(不妨设T2 T1)。若温度沿梁高均匀变化,则在小变形时:平均变温将只引起此超静定梁的变温轴力。变温差将只引起此超静定梁的变温剪力和变温弯矩。故:其中的fBdT和BdT可按下图推导如下:6-7(2)不均匀变温对超静定梁的影响作业:6-31,6-32,6-34 求解结果参见(P305)