高中数学课件 圆的标准方程.ppt

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1、第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程1.1.回回顾顾确定确定圆圆的几何要素的几何要素,在平面直角坐在平面直角坐标标系中系中,探索并掌握探索并掌握圆圆的的标标准方程准方程.2.2.会用待定系数法求会用待定系数法求圆圆的的标标准方程准方程,并能根据所并能根据所给圆给圆心与半径心与半径写出写出圆圆的的标标准方程准方程.3.3.会判断点与会判断点与圆圆的位置关系的位置关系.1.1.圆圆的定的定义义(1)(1)条件：平面内到定点的距离等于定条件：平面内到定点的距离等于定长长的点的的点的_._.(2)(2)结论结论：定点是：定点是_,_,定定长长是是_._.2.2.圆圆的的标标准方程准方程(

2、1)(1)圆圆心心为为A(a,b),A(a,b),半径半径长为长为r r的的圆圆的的标标准方程准方程为为_._.(2)(2)圆圆心在原点心在原点,半径半径长为长为r r的的圆圆的的标标准方程准方程为为_._.集合集合圆圆心心半径半径(x-a)(x-a)2 2+(y-b)(y-b)2 2=r=r2 2x x2 2+y+y2 2=r=r2 21.“1.“判一判判一判”理清知理清知识识的疑惑点的疑惑点(正确的打正确的打“”“”,错误错误的打的打“”).”).(1)(1)圆圆心在原点心在原点,半径半径为为r r的的圆圆的的标标准方程准方程为为 ()(2)(2)若若圆圆的的标标准方程准方程为为(x-1)

3、(x-1)2 2+y+y2 2=2,=2,则则r=2.(r=2.()(3)(3)若点若点M(xM(x0 0,y,y0 0)在在圆圆C C：(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的外部的外部,则则(x(x0 0-a)-a)2 2+(y(y0 0-b)-b)2 2rr2 2.(.()提示：提示：(1)(1)错误错误.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r r的圆的标准方程为的圆的标准方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 2.(2)(2)错误错误.因为因为r r2 2=2,=2,所以所以r=.r=.(3)(3)正确正确.由于点由于点M M在圆的外部在圆的外部,因此

4、因此|MC|r,|MC|r,即即(x(x0 0-a)-a)2 2+(y(y0 0-b)-b)2 2rr2 2.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.“2.“练练一一练练”尝试尝试知知识识的的应应用点用点(请请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线线上上).).(1)(1)圆圆心心为为A(1,1),A(1,1),半径半径为为1 1的的圆圆的的标标准方程准方程为为.(2)(2)若若圆圆的的标标准方程准方程为为(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,则圆则圆心心为为,半半径径r=r=.(3)(3)点点P(1,2)P(1,2)与与圆圆x x2 2+y+y2 2

5、=1=1的位置关系是的位置关系是.【解析解析】(1)(1)由圆的标准方程特点知由圆的标准方程特点知,该圆的标准方程为该圆的标准方程为(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1.=1.答案：答案：(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1(2)(2)由圆的标准方程知由圆的标准方程知,圆心为圆心为(3,2),(3,2),半径半径r=2.r=2.答案：答案：(3,2)(3,2)2 2(3)(3)因为因为1 12 2+2+22 2=51,=51,所以点所以点P P在圆在圆x x2 2+y+y2 2=1=1外外.答案：答案：点点P P在圆外在圆外一、一、圆圆的的标

6、标准方程准方程探究探究1 1：(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,其中其中C(a,b)C(a,b)是是圆圆心心,半径半径为为r.r.观观察下面察下面图图象象,并并结结合合圆圆的的标标准方程回答准方程回答问题问题：(1)(1)图图形中形中,圆圆心心C C的坐的坐标为标为,半径半径r=r=.提示：提示：圆心圆心C C为为(a,b),(a,b),半径半径r=|CM|.r=|CM|.(2)(2)圆圆的的标标准方程准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2中有几个待确定的量中有几个待确定的量?要求要求它它们们需几个独立的条件需几个独立

7、的条件?提示：提示：三个待确定的量三个待确定的量a,b,r;a,b,r;要求它们需三个独立的条件要求它们需三个独立的条件.探究探究2 2：观观察察圆圆的的标标准方程准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,思考下列思考下列问题问题：(1)(1)圆圆的的标标准方程的推准方程的推导导依据是什么依据是什么?提示：提示：根据圆的定义根据圆的定义,圆上的点到定点的距离等于定长圆上的点到定点的距离等于定长,利用利用两点间的距离公式推导两点间的距离公式推导.(2)(2)圆圆的的标标准方程具有怎准方程具有怎样样的的结结构特点构特点?提示：提示：方程的左端是两个完全平方式的和

8、方程的左端是两个完全平方式的和,右端是一个正数的右端是一个正数的平方平方.【探究提升探究提升】1.1.对圆的标准方程的理解对圆的标准方程的理解(1)(1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆它是圆的定义的直观反映的定义的直观反映,是代数与几何结合的完美体现是代数与几何结合的完美体现.(2)(2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之反之,已知圆已知圆的圆心和半径可以写出圆的标准方程的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准这一点体现了圆的标准方程的优越性方程的优越性.2.2.圆的标准

9、方程中参数圆的标准方程中参数a,b,ra,b,r的作用的作用圆的标准方程圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2中中,有三个参数有三个参数a,b,r,a,b,r,其中其中(a,b)(a,b)为圆心为圆心,r,r为半径为半径.结合圆的定义可知结合圆的定义可知,圆心圆心(a,b)(a,b)在确在确定圆时起到定位作用定圆时起到定位作用,即影响圆的位置即影响圆的位置;而半径而半径r r在确定圆时起在确定圆时起到定形作用到定形作用,即影响圆的大小即影响圆的大小.3.3.几种常见特殊位置的圆的标准方程几种常见特殊位置的圆的标准方程(1)(1)以原点为圆心以原点为圆

10、心,r,r为半径的圆的标准方程：为半径的圆的标准方程：x x2 2+y+y2 2=r=r2 2.(2)(2)圆心在圆心在x x轴上轴上,半径为半径为r r的圆的标准方程：的圆的标准方程：(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=r=r2 2.(3)(3)圆心在圆心在y y轴上轴上,半径为半径为r r的圆的标准方程：的圆的标准方程：x x2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.(4)(4)圆心在圆心在x x轴上且过原点的圆的标准方程：轴上且过原点的圆的标准方程：(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=a=a2 2(a0).(a0).(5)(5)圆心在圆心在y y轴上且过原点的圆的标

11、准方程：轴上且过原点的圆的标准方程：x x2 2+(y-b)+(y-b)2 2=b=b2 2(b0).(b0).二、点与二、点与圆圆的位置关系的位置关系请观请观察如察如图图所示的所示的圆圆O O及及该该平面上的三个点平面上的三个点A,B,C,A,B,C,思考下列思考下列问问题题：探究探究1 1：在平面几何中：在平面几何中,点与点与圆圆有哪几种位置关系有哪几种位置关系?提示：提示：在圆内在圆内,在圆上在圆上,在圆外在圆外.探究探究2 2：在平面几何中：在平面几何中,如何确定点与如何确定点与圆圆的位置关系的位置关系?提示：提示：利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断利用点和圆心之间的距离与半

12、径的大小关系来判断.探究探究3 3：在直角坐：在直角坐标标系中系中,已知点已知点M(xM(x0 0,y,y0 0)和和圆圆C C：(x-a)(x-a)2 2+(y-+(y-b)b)2 2=r=r2 2,如何判断点如何判断点M M在在圆圆外、外、圆圆上、上、圆圆内内?提示：提示：当当(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r=r2 2时时,点点M M在圆在圆C C上上;当当(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rrr2 2时时,点点M M在圆在圆C C外外.探究提示：探究提示：结合结合两点间的距离公两点间的距离公式式【探究提升探究提升】

13、关于点与圆位置的两点应用关于点与圆位置的两点应用(1)(1)给出点的坐标与圆的方程给出点的坐标与圆的方程,可以判断它们的位置关系可以判断它们的位置关系.(2)(2)已知点与圆的位置关系已知点与圆的位置关系,可以解决点的坐标或圆的方程中可以解决点的坐标或圆的方程中所含字母的取值或范围的问题所含字母的取值或范围的问题.类型类型 一一 圆圆的的标标准方程的求法准方程的求法通通过过解答下列与解答下列与圆圆的的标标准方程相关的准方程相关的题题目目,试归纳总结试归纳总结求求标标准方程的方法及用待定系数法求准方程的方法及用待定系数法求圆圆的的标标准方程的三个基本准方程的三个基本步步骤骤.1.(20131.(

14、2013长长沙高一沙高一检测检测)圆圆心心为为(1,-1),(1,-1),半径半径为为2 2的的圆圆的方程的方程是是()A.(x-1)A.(x-1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=2 B.(x+1)=2 B.(x+1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4C.(x+1)C.(x+1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2 D.(x-1)=2 D.(x-1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=42.(20132.(2013烟台高一烟台高一检测检测)求求过过点点A(1,-1),B(-1,1),A(1,-1),B(-1,1),且且圆圆心心C C在在直直线线x+y-2=0 x+y-

15、2=0上的上的圆圆的的标标准方程准方程.【解题指南解题指南】1.1.先分清楚圆心坐标、半径长先分清楚圆心坐标、半径长,再代入圆的标准再代入圆的标准方程方程.2.2.利用圆的有关性质先分析出圆心的位置利用圆的有关性质先分析出圆心的位置,再设法求出圆心坐再设法求出圆心坐标和半径标和半径,进而写出圆的标准方程进而写出圆的标准方程;也可采用待定系数法求圆也可采用待定系数法求圆的标准方程的标准方程,即先设圆的标准方程为即先设圆的标准方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,然后列然后列出关于出关于a,b,ra,b,r的方程组的方程组,解出解出a,b,ra,b,r即可即

16、可.【解析解析】1.1.选选D.D.因为圆心为因为圆心为(1,-1),(1,-1),半径为半径为2,2,所以圆的标准方程为所以圆的标准方程为(x-1)(x-1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4.=4.2.2.方法一：因为方法一：因为A(1,-1),B(-1,1),A(1,-1),B(-1,1),所以所以ABAB的垂直平分线方程的垂直平分线方程是是x-y=0 x-y=0，解方程组，解方程组 即圆心即圆心C(1C(1，1)1)，则，则半径半径r=|AC|=2,r=|AC|=2,所以圆的标准方程是所以圆的标准方程是(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.方法二：设

17、所求圆的标准方程为方法二：设所求圆的标准方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,由题意得由题意得因此，圆的标准方程为因此，圆的标准方程为(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.【互动探究互动探究】题题1 1中若将条件中若将条件“半径为半径为2”2”改为改为“直径的两个直径的两个端点分别在端点分别在x x轴、轴、y y轴上轴上”，其他条件不变，求此时圆的标准，其他条件不变，求此时圆的标准方程方程.【解析解析】由题意知，直径的两个端点分别为由题意知，直径的两个端点分别为(2,0)(2,0)和和(0,-2)(0,-2)，故圆的半径故圆

18、的半径r=,r=,故圆的标准方程为故圆的标准方程为(x-1)(x-1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=2.=2.【技法点拨技法点拨】求圆的标准方程的两种方法求圆的标准方程的两种方法(1)(1)几何法：根据题意直接求出圆心和半径几何法：根据题意直接求出圆心和半径,然后再写出圆的然后再写出圆的标准方程标准方程.(2)(2)待定系数法：待定系数法：设：根据题意设：根据题意,设所求圆的标准方程设所求圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2;列：根据已知条件列：根据已知条件,建立关于建立关于a,b,ra,b,r的方程组的方程组;解：解方程组解：解方程组,求

19、出求出a,b,ra,b,r的值的值,并把它们代入所设的圆的标并把它们代入所设的圆的标准方程中准方程中,就得到所求的圆的标准方程就得到所求的圆的标准方程.【变变式式训练训练】求求圆圆心心C C在直在直线线y=2xy=2x上上,且且经过经过原点及点原点及点M(3,1)M(3,1)的的圆圆C C的的标标准方程准方程.【解题指南解题指南】设出圆的标准方程设出圆的标准方程,利用待定系数法求解利用待定系数法求解.【解析解析】设圆的标准方程为设圆的标准方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,则则b=2a,b=2a,由题意由题意a a2 2+(2a)+(2a)2 2=(a

20、-3)=(a-3)2 2+(2a-1)+(2a-1)2 2,解得解得a=1,a=1,故圆心坐标为故圆心坐标为(1,2),(1,2),半径半径 故圆的标故圆的标准方程为准方程为(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=5.=5.类型类型 二二 点与点与圆圆的位置关系的位置关系尝试尝试完成下列完成下列题题目目,归纳归纳判断点与判断点与圆圆的位置关系的两种方的位置关系的两种方法法.1.1.点点(1,1)(1,1)在在圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y+a)+(y+a)2 2=4=4的内部的内部,则则a a的取的取值值范范围围是是 ()A.a-1A.a1 B.-1a1 B.-1a1C

21、.0a1 D.a=1C.0a1 D.a=12.2.已知已知A(-1,1),B(-2,-6),C(6,0)A(-1,1),B(-2,-6),C(6,0)(1)(1)求求ABCABC的外接的外接圆圆方程方程.(2)(2)试试判断判断M(-3,-3),N(5,2),Q(4,-7)M(-3,-3),N(5,2),Q(4,-7)是在是在(1)(1)所求所求圆圆的的圆圆上上,圆圆内内还还是是圆圆外外.【解题指南解题指南】1.1.若点在圆的内部若点在圆的内部,则点到圆心的距离小于半径则点到圆心的距离小于半径,由此可列不等关系求解由此可列不等关系求解.2.(1)2.(1)先设出先设出ABCABC外接圆的标准方

22、程外接圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2,然后然后利用待定系数法求出利用待定系数法求出a,b,ra,b,r即可即可.(2)(2)分别计算点分别计算点M,N,QM,N,Q到圆心的距离到圆心的距离,再与半径比较再与半径比较.【解析解析】1.1.选选B.B.由题意可知由题意可知,(1-a),(1-a)2 2+(1+a)+(1+a)2 24,4,解得解得a a2 21,1,解得解得-1a1.-1a4,4,解得解得a a2 21,1,即即a-1a1 a1【技法点拨技法点拨】判断点与圆的位置关系的两种方法判断点与圆的位置关系的两种方法(1)(1)几何法：只需

23、计算该点与圆的圆心距离与半径作比较即可几何法：只需计算该点与圆的圆心距离与半径作比较即可.(2)(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程代数法：把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的判断式子两边的大小大小,并得出结论并得出结论.【变变式式训练训练】圆圆C C：(x-1)(x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4,=4,点点P(xP(x0 0,y,y0 0)在在圆圆C C外部外部,且且d=(xd=(x0 0-1)-1)2 2+(y+(y0 0+2)+2)2 2,则则有有()A.d2A.d2 B.d2B.d4C.d4 D.d4D.d4,4,即即d4.d4.【拓展类型拓展类型】圆圆的的标

24、标准方程的准方程的综综合合应应用用尝试尝试解答下列与解答下列与圆圆的的标标准方程有关的最准方程有关的最值问题值问题,总结总结利用利用数形数形结结合将代数合将代数问题转问题转化化为为几何几何问题问题的方法的方法.1.1.设设P(x,y)P(x,y)是是圆圆C C：(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1上任意一点上任意一点,则则(x-5)(x-5)2 2+(y+4)+(y+4)2 2的最大的最大值为值为()A.6A.6 B.25B.25 C.26C.26 D.36D.362.2.已知点已知点P(x,y)P(x,y)在在圆圆x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1上运上运动动.(

25、1)(1)求求 的最大的最大值值与最小与最小值值.(2)(2)求求x x2 2+y+y2 2的最大的最大值值与最小与最小值值.【解题指南解题指南】1.1.考虑利用两点间的距离公式的几何意义探求考虑利用两点间的距离公式的几何意义探求(x-5)(x-5)2 2+(y+4)+(y+4)2 2的最大值的最大值.2.2.方程方程x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1表示的曲线是以表示的曲线是以(0,1)(0,1)为圆心为圆心,以以1 1为半径为半径的圆的圆.(1).(1)的几何意义是圆上一点的几何意义是圆上一点P(x,y)P(x,y)与点与点(2,1)(2,1)连线连线的斜率的斜率.(2)x

26、.(2)x2 2+y+y2 2的几何意义是圆上一点到原点距离的平方的几何意义是圆上一点到原点距离的平方.【解析解析】1.1.选选D.(x-5)D.(x-5)2 2+(y+4)+(y+4)2 2的几何意义是点的几何意义是点P(x,y)P(x,y)到点到点Q(5,-4)Q(5,-4)的距离的平方的距离的平方,由于点由于点P P在圆在圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1上上,C(2,0),C(2,0),所所以这个最大值是以这个最大值是(|QC|+1)(|QC|+1)2 2=36.=36.2.(1)2.(1)设设 =k=k，则，则k k表示点表示点P(x,y)P(x,y)与点与点(2(2

27、，1)1)连线的斜率连线的斜率.当直线当直线y-1=k(x-2)y-1=k(x-2)与圆相切时，与圆相切时，k k取得最大值与最小值取得最大值与最小值.如图如图所示，由所示，由 解得解得 所以所以 的最大值为的最大值为 ,最小值为最小值为-.-.(2)(2)表示圆上一点到原点的距离，由平面几何知识表示圆上一点到原点的距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2 2与与0 0，从而，从而x x2 2+y+y2 2的最大值和最小值分别为的最大

28、值和最小值分别为4 4与与0.0.【技法点拨技法点拨】利用数形结合将代数问题转化为几何问题的方利用数形结合将代数问题转化为几何问题的方法法(1)(1)形如形如 型的型的,可转化为直线的斜率的最值问题求解可转化为直线的斜率的最值问题求解.(2)(2)形如形如t=ax+byt=ax+by型的型的,可转化为动直线截距的最值问题求解可转化为动直线截距的最值问题求解.(3)(3)形如形如m=(x-a)m=(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2型的型的,可转化为两点间的距离的平方可转化为两点间的距离的平方求解求解.提醒：提醒：若若A(xA(x0 0,y,y0 0)是圆是圆C C外一定点外一定点,则

29、该点与圆上的点的最大距则该点与圆上的点的最大距离离d dmaxmax=|AC|+r,=|AC|+r,最小距离最小距离d dminmin=|AC|-r.=|AC|-r.1.1.圆圆(x-3)(x-3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2的的圆圆心、半径分心、半径分别别是是()A.(3,1),2 B.(3,1),A.(3,1),2 B.(3,1),C.(1,3),2 D.(1,3),C.(1,3),2 D.(1,3),【解析解析】选选B.B.由圆的标准方程可知答案由圆的标准方程可知答案.2.2.圆圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4的周的周长长、面、面积积分分

30、别别是是()A.4,2 B.2,4A.4,2 B.2,4C.4,4 D.2,2C.4,4 D.2,2【解析解析】选选C.C.由圆的标准方程知由圆的标准方程知,圆的半径圆的半径r=2,r=2,因此圆的周长因此圆的周长l=2r=4,=2r=4,面积面积S=rS=r2 2=4.=4.3.3.点点P(m,5)P(m,5)与与圆圆x x2 2+y+y2 2=24=24的位置关系是的位置关系是()A.A.在在圆圆上上 B.B.在在圆圆内内C.C.在在圆圆外外 D.D.不确定不确定【解析解析】选选C.C.因为因为m m2 2+5+52 224,24,所以点所以点P P在圆在圆x x2 2+y+y2 2=24

31、=24外外.4.4.与与圆圆(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=16=16同心且同心且过过点点P(-1,1)P(-1,1)的的圆圆的的标标准方程准方程是是.【解析解析】所求圆的圆心为所求圆的圆心为(2,-3),(2,-3),半径半径故所求圆的标准方程是故所求圆的标准方程是(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=25.=25.答案：答案：(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=25=255.5.经过经过原点原点,圆圆心在心在x x轴轴的正半的正半轴轴上上,半径等于半径等于5 5的的圆圆的方程的方程是是.【解析解析】由题意知圆心坐标是由题意

32、知圆心坐标是(5,0),(5,0),故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x-5)(x-5)2 2+y+y2 2=25.=25.答案：答案：(x-5)(x-5)2 2+y+y2 2=25=256.6.求求满满足下列条件的足下列条件的圆圆的方程：的方程：(1)(1)圆圆心在原点心在原点,半径半径长为长为3.3.(2)(2)圆圆心坐心坐标为标为(3,4),(3,4),半径半径长为长为 .(3)(3)经过经过点点(5,1),(5,1),圆圆心坐心坐标为标为(8,-3).(8,-3).【解析解析】根据圆的标准方程根据圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2得得(1)x(1)x2 2+y+y2 2=9.=9.(2)(x-3)(2)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=5.=5.(3)(3)因为圆的半径长因为圆的半径长 圆心坐标为圆心坐标为(8,-3),(8,-3),所以圆的方程为所以圆的方程为(x-8)(x-8)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=25.=25.