最佳平方逼近12.ppt

《最佳平方逼近12.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最佳平方逼近12.ppt（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、函函 数数 逼逼 近近 在数值计算中经常遇到求函数值的问题，手算时常在数值计算中经常遇到求函数值的问题，手算时常常通过函数表求得，用计算机计算时若把函数表存入内常通过函数表求得，用计算机计算时若把函数表存入内存进行查表，则占用单元太多，不如直接用公式计算方存进行查表，则占用单元太多，不如直接用公式计算方便。因此，我们希望求出便于计算且计算量省的公式近便。因此，我们希望求出便于计算且计算量省的公式近似已知函数似已知函数 f(x)，例如，泰勒展开式的部分和，例如，泰勒展开式的部分和就是就是f(x)的一种近似公式，用它求的一种近似公式，用它求x0附近的函数值附近的函数值f(x)，误差较小，当误差较小

2、，当|x-x0|较大时，误差就很大。例如较大时，误差就很大。例如f(x)=ex 在在-1,1上用：上用：近似近似ex，其误差：其误差：于是于是误差分布如图：误差分布如图：xy-11 它在整个区间上误差较大，若在计算机上它在整个区间上误差较大，若在计算机上用这种方法计算用这种方法计算ex，如精度要求较高，则需取，如精度要求较高，则需取很多项，这样即费时又多占存储单元。因此，很多项，这样即费时又多占存储单元。因此，我们要求在给定精度下计算次数最少的近似公我们要求在给定精度下计算次数最少的近似公式，这就是函数逼近要解决的问题。式，这就是函数逼近要解决的问题。定义定义定义定义 近似代替又称为逼近，函数

3、近似代替又称为逼近，函数近似代替又称为逼近，函数近似代替又称为逼近，函数 f f(x x)称为被逼近函数；称为被逼近函数；称为被逼近函数；称为被逼近函数；P P(x x)称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。函数逼近问题可叙述为：函数逼近问题可叙述为：函数逼近问题可叙述为：函数逼近问题可叙述为：对函数类对函数类对函数类对函数类 A A 中给定的函数中给定的函数中给定的函数中给定的函数 f f(x x)，需要在另一类较简单的便于计算的函数类，需要在另一类较简单的便于计算的函数类，需要

4、在另一类较简单的便于计算的函数类，需要在另一类较简单的便于计算的函数类 B B （B BA A）中，找一个函数）中，找一个函数）中，找一个函数）中，找一个函数P P(x x)，使，使，使，使P P(x x)与与与与 f f(x x)之差之差之差之差在某种度量意义下达到最小。在某种度量意义下达到最小。在某种度量意义下达到最小。在某种度量意义下达到最小。函数类函数类函数类函数类 A A通常是区间通常是区间通常是区间通常是区间 a,ba,b 上的连续函数，记作上的连续函数，记作上的连续函数，记作上的连续函数，记作C C a,ba,b ；函数类；函数类；函数类；函数类 B B 通常是代数多项式，有理多

5、项式，三角通常是代数多项式，有理多项式，三角通常是代数多项式，有理多项式，三角通常是代数多项式，有理多项式，三角多项式，分段多项式等容易计算的函数。多项式，分段多项式等容易计算的函数。多项式，分段多项式等容易计算的函数。多项式，分段多项式等容易计算的函数。最常用的度量标准有两种：最常用的度量标准有两种：最常用的度量标准有两种：最常用的度量标准有两种：1 1、一致逼近（均匀逼近）、一致逼近（均匀逼近）、一致逼近（均匀逼近）、一致逼近（均匀逼近）以以以以 作为度量误差作为度量误差作为度量误差作为度量误差f f(x x)-)-P P(x x)的的的的“大小大小大小大小”标准。标准。标准。标准。2 2

6、、平方逼近（均方逼近）、平方逼近（均方逼近）、平方逼近（均方逼近）、平方逼近（均方逼近）以以以以 作为度量误差作为度量误差作为度量误差作为度量误差f f(x x)-)-P P(x x)的的的的“大小大小大小大小”标准。标准。标准。标准。5.6 函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近5.6.1 5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法最佳平方逼近的概念与解法最佳平方逼近的概念与解法最佳平方逼近的概念与解法 一、最佳逼近的意义一、最佳逼近的意义一、最佳逼近的意义一、最佳逼近的意义n设设 0 x,1 x,n x Ca,b,它们线性无关它们线性无关.又又给定给定 f(x)Ca,b,求求 p*(x)Hn Sp

7、an 0 x,1 x,n x,使得使得 f(x)p*(x)在某种意义下最小在某种意义下最小.二、最佳平方逼近的概念二、最佳平方逼近的概念二、最佳平方逼近的概念二、最佳平方逼近的概念n定义定义 对于给定的对于给定的 f(x)Ca,b,若有若有 p*(x)Hn,使得使得(f p*,f p*)min(f p,f p)|p Hn.则称则称 p*(x)是是(在子空间在子空间Hn中中)对对 f(x)的的最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数.下面用到的内积为下面用到的内积为定理定理5.7 设设 f(x)Ca,b，p*(x)Hn,在在 Hn 中中,p*(x)是对是对 f(x)最佳平

8、方逼近的函数最佳平方逼近的函数 (f p*,j)=0,j=0,1,n.其中其中,0 x,1 x,n x 为子空间为子空间 Hn 的一组基的一组基.证证:()反证法反证法,设有函数设有函数 k x,使得使得 (f p*,k)k 0,令令 q(x)p*(x)k x k/(k,k),显然显然,q(x)Hn.利用内利用内积的性质积的性质,可得可得k这说明这说明,p*(x)不不是对是对 f(x)最佳平方逼近的函数最佳平方逼近的函数,矛盾矛盾.n()若若(f p*,j)=0,j=0,1,n 成立成立,对任意的对任意的 p(x)Hn,有有p*在在 Hn 中是对中是对 f 的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近函数

9、.证毕证毕.即即 设设 f(x)Ca,b,p*(x)Hn,在在 Hn 中中,p*(x)是对是对 f(x)最佳最佳平方逼近的函数平方逼近的函数 对任意的对任意的 p(x)Hn,均有均有(f p*,p)=0.由于由于及及定理定理5.8 设设 f(x)Ca,b,在子空间在子空间 Hn 中中,对对 f(x)最佳平方最佳平方逼近的函数是唯一的逼近的函数是唯一的.证明证明 假定假定,在在Hn 中中,p(x)和和 q(x)都是都是对对 f(x)最佳平方逼近最佳平方逼近的函数的函数,由定理由定理5.7的系的系,知知这说明这说明,p(x)q(x)于于 a,b.三、最佳平方逼近函数的求解三、最佳平方逼近函数的求解

10、三、最佳平方逼近函数的求解三、最佳平方逼近函数的求解利用利用(f p*,j)=0,可求出可求出最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数 p*.设设故故这是一个以这是一个以 c*0,c*1,c*n 为未知数的线性方程组为未知数的线性方程组.称称(5.82)为为法方程法方程 或或 正规方程正规方程.法方程的矩阵形式是法方程的矩阵形式是 由于由于 0 x,1 x,n x 线性无关线性无关,可以推得上系数阵是可以推得上系数阵是非奇异的非奇异的.故故(5.82)有唯一解有唯一解 c*j.四、最佳平方逼近的误差四、最佳平方逼近的误差四、最佳平方逼近的误差四、最佳平方逼近的误差记记 (f p*,f p*),称其为称

11、其为最佳平方逼近误差最佳平方逼近误差,利用利用(f p*,p*)=0,可有可有例例6 定义内积定义内积试在试在H1=Span1,x中寻求对于中寻求对于f(x)=的最佳平方逼近的最佳平方逼近元素元素p(x).解解 法方程为法方程为当当当当 0 x,1 x,n x,是正交系时是正交系时是正交系时是正交系时,求解最佳平方逼求解最佳平方逼求解最佳平方逼求解最佳平方逼近式近式近式近式(5.82)(5.82)中的系数非常容易中的系数非常容易中的系数非常容易中的系数非常容易.目标:求下面的最佳平方逼近式中的系数求下面的最佳平方逼近式中的系数变为变为5.6.2 正交系在最佳平方逼近中的应用正交系在最佳平方逼近

12、中的应用一、一、Legendre 多项式的应用多项式的应用n给定函数给定函数 f(x)Ca,b,求求 f(x)的的Legendre最佳平方逼近最佳平方逼近.Legendre 多项式的权函为多项式的权函为(x)1,故内积故内积nL-正交多项式为正交多项式为 L0 x,L1 x,Ln x,用用(5.83),有有函数函数 f 的的 L-最佳平方逼近函数为最佳平方逼近函数为（5.85）n遇到区间遇到区间a,b,通过下面的变换把问题转化到通过下面的变换把问题转化到-1,1上处理上处理.n函数函数 f(x)的的 Legendre 无穷级数无穷级数例例7 求函数求函数 f(x)ex 在在-1,1 上的上的

13、Legendre 三次最三次最 佳平方逼近多项式佳平方逼近多项式.解解:前前4个个Legendre 多项式为多项式为使用使用求系数求系数2.3504,所求三次最佳平方逼近多项式为所求三次最佳平方逼近多项式为例例8 求求 f(x)=在区间在区间 0,1 上的上的一次一次最佳平方逼近多最佳平方逼近多项式项式.解解先求先求g(t)在区间在区间-1,1 的一次最佳平方逼近多项式的一次最佳平方逼近多项式.把把 t=2x-1 代入代入 q1(x)，就得，就得 在区间在区间0,1的一次最佳平方的一次最佳平方逼近多项式逼近多项式:二、二、Chebyshev多项式的应用多项式的应用n给定函数给定函数 f(x)C

14、-1,1,求求 f(x)的的Chebyshev Chebyshev 最佳平方逼最佳平方逼近近.ChebyshevChebyshev多项式的内积多项式的内积nC-正交多项式为正交多项式为 T0 x,T1 x,Tn x,函数自己的内积函数自己的内积nHn SpanT0,T1,Tn 中任意函数为中任意函数为函数函数 f 的的 C-最佳平方逼近函数为最佳平方逼近函数为akn函数函数 f(x)的的 Chebyshev 无穷级数无穷级数（5.86）例例9 求求 f(x)=arcsinx 按按 Chebyshev 多项式展开的多项式展开的 n=7 的的部分和部分和.解解n数学符号 x0,x1,xm,0 x,1x,nx,nk=0,1,n x0 n 0 a x b k 1,nm,n n k 0 f(x)Ca,b (xj,yj),j=0,1,m,a x0 x1 xm b,n (f p*,f p*),n n n n (x)1,nL0 x,L1x,Lnx,