17.1.2勾股定理应用—利用勾股定理解决平面几何问题.pptx

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1、17.1.2勾股定理应用利用勾股定理解决平面几何问题南昌三中 成效一复习提问勾股定理的内容是什么?ACB勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方abc在ABC中，a2+b2=c2两点之间两点之间,线段最短线段最短二、新课导入二、新课导入 从二教楼到综合楼怎样走最近？从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由说明理由 B BA A 例例1 1在在一个圆柱石一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在下了一点食物在B B处，恰好处，恰好一只在一只在A A处的蚂蚁捕捉到这处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从一信息，于是它想从A A处爬处爬向向B B处，你们想一想，蚂蚁处

2、，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？怎么走最近？问题情境问题情境利用勾股定理解决平面几何问题1最短路径问题最短路径问题BA 以小组为单位以小组为单位,研究蚂研究蚂蚁爬行的最短路线蚁爬行的最短路线 合作探究合作探究 蚂蚁蚂蚁AB的路线的路线BAAdABAABBAOABABAArOh怎样计算怎样计算ABAB？在在RtAABRtAAB中，利用勾股定理可得中，利用勾股定理可得:侧面展开图侧面展开图其中其中AAAA是圆柱体的高是圆柱体的高,AB,AB是是底面圆周长的一半底面圆周长的一半(r)(r)若已知圆柱体高为若已知圆柱体高为12 cm12 cm，底面半径为，底面半径为3 cm3 cm，取取3 3，则，则:

3、BAA3 3O1212侧面展开图侧面展开图123AAB用所学数学知识去解决实际问题用所学数学知识去解决实际问题的的关键关键：根据实际问题建立数学模型；具体步骤具体步骤：1.审题分析实际问题；2.建模建立相应的数学模型；3.求解运用勾股定理计算；4.检验是否符合实际问题的真实性方法提炼方法提炼 练习练习1.如图如图:在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋友在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋友吃东西时留下一点食物在吃东西时留下一点食物在G处，恰好有两只蚂蚁路处，恰好有两只蚂蚁路过过A处（处（A在在G的对面），它们的触角同时准确的捕的对面），它们的触角同时准确的捕捉到了这个信息，并迅速的传给它的小脑袋，于是

4、捉到了这个信息，并迅速的传给它的小脑袋，于是它们迫不急待的想从它们迫不急待的想从A处爬向处爬向G处。处。ABCDEFGH324蛋糕求蚂蚁爬行的最短路径的长度？下右正右正上分组计算分组计算ABFEGH342正面上面 解：当蚂蚁经过正面和上面时，如图，最短路径为 回5正面右侧面ABEFCG324解：当蚂蚁经过正面和右侧面时，如图，最短路径为下底面右侧面ABDCFG342解：当蚂蚁经过下底面和右侧面时，如图，最短路径为回5最短路径的长度为 利用勾股定理解决平面几何问题2图形面积问题图形面积问题（1）分别以直角三角形）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个三边为直径向外作三个半圆半圆，其面积分，其

5、面积分别用别用S1，S2，S3表示那么表示那么S1，S2，S3之间有什么关系；之间有什么关系；（2）如图）如图，分别以直角三角形，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个三边为边向外作三个正方形正方形，其面积分别用其面积分别用S1，S2，S3表示，那么表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；之间有什么关系；（3）如图）如图，分别以直角三角形，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个三边为边向外作三个正三角形正三角形，其面积分别用其面积分别用S1、S2、S3表示，那么表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；之间有什么关系；（4）若分别以直角三角形）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三边为

6、边向外作等腰直角三角形等腰直角三角形，其面积，其面积分别用分别用S1、S2、S3表示，那么表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系？之间有什么关系？探究探究探究探究如图，以如图，以RtRt 的三边为边向外作正方形，的三边为边向外作正方形，其面积分别为其面积分别为 、，请同学们想一想请同学们想一想 、之间有何关系呢？之间有何关系呢？ABCabc +=a2+b2 =c2a2+b2=c2+=ABCABCABCabc探究S1、S2、S3之间的关系由勾股定理得 a2+b2=c2S2+S3=S1 动手操动手操作：作：例例2 2如如图，图，RtABC中，中，AC=8，BC=6，C=90C=90，分别以，分别

7、以AB、BC、AC为直径作三个半圆，为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为那么阴影部分的面积为_ _.S阴影=S半圆AC+S半圆BC+SABC-S半圆AB241、下图中的三角形是直角三角形、下图中的三角形是直角三角形,其余是其余是正方形正方形,求下列图中字母所表示的正方形的求下列图中字母所表示的正方形的面积面积.=625225400A22581B=144快速抢答快速抢答2 2、如图所示的图形中，所、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是其中最大的正方形的边长是8 8厘米，则正方形厘米，则正

8、方形A A，B B，C C，D D的面积之和是的面积之和是_平平方厘米方厘米64例例3、折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD,点点D落在落在BC边上的点边上的点F处处,已知已知AB=8cmcm,BC=10cmcm,求求:(1)CF (2)EC.ABCDEF810106X8-X48-X利用勾股定理解决平面几何问题33折叠中的计算问题折叠中的计算问题在在RtABFRtABF中中 BF=BF=FC=4cm FC=4cm 设设EC=xcm EC=xcm 则则DE=EF=DE=EF=（8-x8-x）cmcm EFEF2 2=EC=EC2 2+FC+FC2 2 （8-x8-x）2 2=x=x2 2+4

9、+42 2 解得解得x=3x=3CF=4cmcm，EC=3cmcm能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）小试牛刀练习1、（泰安市中考）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）解：设CE=x，由题意可得AE=CE=xBC=OC=OA=3能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）利用勾股定理解决平面几何问题33折叠中的计算问题折叠中的计算问题例题4、如图在三角形ABC中，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，M是BC边上的动点（点M不与点B、C重合），MD垂

10、直AB，ME垂直AC，垂足分别是D、E。线段DE的最小值是_cm利用勾股定理解决平面几何问题44直角三角形问题直角三角形问题解题技巧：巧用勾股定理、面积相等法解题技巧：巧用勾股定理、面积相等法利用勾股定理解决平面几何问题44直角三直角三角形问题角形问题温馨提示：有题无图，莫犯糊涂温馨提示：有题无图，莫犯糊涂三、当堂检测：小试牛刀三、当堂检测：小试牛刀练习练习1练习练习2练习练习3甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨日早晨8 8：0000甲先出发，他以甲先出发，他以6 km/h6 km/h的速的速度向正东行走，度向正东行走，1 1小时后乙出发，他以小时后乙出

11、发，他以5 5 km/hkm/h的速度向正北行走的速度向正北行走上午上午1010：0000，甲、，甲、乙两人相距多远？乙两人相距多远？小试牛刀小试牛刀练习练习1练习练习2练习练习3解解:如图如图:已知已知A A是甲、乙的出发点，是甲、乙的出发点，10:0010:00甲到达甲到达B B点点,乙到达乙到达C C点点则：则：ABAB=26=12(km)=26=12(km)ACAC=15=5(km)=15=5(km)在在RtRtABCABC中中BCBC=13(km)=13(km)即甲乙两人相距即甲乙两人相距13 km.13 km.2 2如图，台阶如图，台阶A A处的蚂蚁要爬到处的蚂蚁要爬到B B处处搬

12、运食物，它怎么走最近？并求出最搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离近距离小试牛刀小试牛刀练习练习1练习练习2练习练习3解解:答：沿答：沿ABAB走最近，最近距离为走最近，最近距离为2525 3 3有一个高为有一个高为1.5 m1.5 m，半径是，半径是1 m 1 m 的圆的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为的部分为0.5 m0.5 m，问这根铁棒有多长？，问这根铁棒有多长？小试牛刀小试牛刀练习练习1练习练习2练习练习3你能画出示意你能画出示意图吗图吗?解解:设伸入油桶中的长度为设伸

13、入油桶中的长度为x x m,m,则最则最长时长时:最短时最短时:最长是最长是2.5+0.5=3(m)2.5+0.5=3(m)答答:这根铁棒的长应在这根铁棒的长应在2 23m3m之间之间最短是最短是1.5+0.5=2(m)1.5+0.5=2(m)小试牛刀小试牛刀练习练习1练习练习2练习练习31 1如图，在棱长为如图，在棱长为10 cm 10 cm 的正方体的的正方体的一个顶点一个顶点A A处有一只蚂蚁，现要向顶点处有一只蚂蚁，现要向顶点B B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否，且速度保持不变，问蚂蚁能否在在20 s20 s内从

14、内从A A爬到爬到B B？B食物A四、举一反三四、举一反三BAB两条线路两条线路,看明白了吗看明白了吗?举一反三举一反三1 1如图，在棱长为如图，在棱长为10 cm 10 cm 的正方体的一的正方体的一个顶点个顶点A A处有一只蚂蚁，现要向顶点处有一只蚂蚁，现要向顶点B B处处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s1cm/s，且，且速度保持不变，问蚂蚁能否在速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s20 s内从内从A A爬到爬到B B？中国古代人民中国古代人民的聪明才智真的聪明才智真是令人赞叹是令人赞叹!2 2在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算九章算术术中记载了一道有趣

15、的问题，这中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为面是一个边长为1010尺的正方形，在尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面高出水面1 1尺，如果把这根芦苇垂尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？这根芦苇的长度各是多少？举一反三举一反三设水池的水深设水池的水深ACAC为为x x尺，则这根芦苇尺，则这根芦苇长为长为AD=AB=AD=AB=（x+1x+1）尺，）尺，在直角

16、三角形在直角三角形ABCABC中，中，BC=5BC=5尺尺由勾股定理得由勾股定理得:BC:BC2 2+AC+AC2 2=AB=AB2 2即即 5 52 2+x+x2 2=(x+1)=(x+1)2 225+x25+x2 2=x=x2 2+2x+1+2x+1，2x=242x=24，x=12 x=12，x+1=13x+1=13 答：水池的水深答：水池的水深1212尺，这根芦苇长尺，这根芦苇长1313尺尺举一反三举一反三解：解：能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）2.2.右图是学校的旗杆右图是学校的旗杆,旗旗杆上的绳子垂到了地面杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段并多出了一段,现在老师现在老师想知道旗杆的高度想知道旗杆的高度,你能你能帮老师想个办法吗帮老师想个办法吗?请你请你与同伴交流设计方案与同伴交流设计方案?1 1课本习题课本习题17.117.1第第1 1，2 2，3 3题题五、课后作业五、课后作业3.3.已知，如图，长方形已知，如图，长方形ABCDABCD中，中，AB=3cmAB=3cm，AD=9cmAD=9cm，将此长方形折叠，使点将此长方形折叠，使点B B与与点点D D重合，折痕为重合，折痕为EFEF，则，则ABEABE的面积为多少？的面积为多少？ABEFDCA