D1-1映射与函数.ppt

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1、第一章数学分析基础数学分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数与极限二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数1一、一、集合集合1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体称为集合总体称为集合.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集2.区间：区间：是特殊的是特殊的实数集实数集.有限区间：有限区间：无限区间：无限区间：注：注：以后在不需要指明所说区间是否包含端点，以后在不需要指明所说区间是否包含端点，有限区间还是无限区间的场合，有限区间还

2、是无限区间的场合，为为“区间区间”，且常用，且常用 I 表示表示.以及是以及是我们就简单的称它我们就简单的称它2则则数集数集记记为：为：(2)几何意义几何意义:3.邻域邻域:34.常量与变量常量与变量:在某在某过程过程中数值保持不变的量称为中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意:常量与变量是常量与变量是相对相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.5.绝对值绝对值:绝对值不等式绝对值不等式:4定义域定义域1.函数的定义函

3、数的定义:为定义为定义在在 D 上的函数上的函数,记为记为2.函数图形函数图形:自变量自变量因变量因变量二、函数的概念二、函数的概念5定义域定义域与与对应法则对应法则.3.说明：说明：(1)函数的两要素函数的两要素:当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这两当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这两个函数相同，否则就是不同的个函数相同，否则就是不同的.与变量用什么字母无关与变量用什么字母无关.不同不同不同不同相同相同6 表示函数的记号除常用的表示函数的记号除常用的 f 外外,还可用其它的英文字还可用其它的英文字母或希腊字母母或希腊字母.如如:为区别不同的函数为区别不同的函数,需用不同的记号

4、来表示它们需用不同的记号来表示它们.(3)单值与多值：单值与多值：如果自变量在定义域内任取一个数值时如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值总是只有一个对应的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数这种函数叫做单值函数,否否则叫做多值函数则叫做多值函数.一般把多值函数附加条件后化为单值函数进行研究一般把多值函数附加条件后化为单值函数进行研究.7(4)定义域及其求法：定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义有实际背景的函数要考虑实际意义；对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数；对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数的定义域是的定义域是使函数解析式有使函数解析式有意义的意义的

5、自变量的取值范围自变量的取值范围.(自然定义域自然定义域)在这个约定下在这个约定下,表示函数时表示函数时,不必写出不必写出D，1)分式函数：分式函数：分母不等于零的自变量的值分母不等于零的自变量的值.2)开偶次方：开偶次方：3)对数函数：对数函数：4)反三角函数：反三角函数：5)多个函数的代数和的定义域：多个函数的代数和的定义域：是其各自定义域的交集是其各自定义域的交集.(5)表示法：表示法：定义：定义：自变量在不同的范围内用不同的式子来表示自变量在不同的范围内用不同的式子来表示的函数的函数,称为称为分段函数分段函数.8三三、几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例 1.常数函数常数函数 2.绝对

6、值函数绝对值函数图形是平行于图形是平行于x轴的一条直线轴的一条直线.2xyoy=2yxo o图形如图图形如图.9为为符号函数符号函数.它的定义域它的定义域值域值域图形如上图形如上.由于对于一切由于对于一切x,关系式关系式成立成立.3.符号函数符号函数注意：注意：(1)分段函数指的是分段函数指的是一个函数一个函数,而而非非几个函数几个函数.(2)分段函数的分段函数的定义域定义域是是将将x的值并起来的值并起来,值域值域也也并起来并起来.104.取整函数取整函数高斯函数高斯函数x表示不超过表示不超过x 的最大整数的最大整数如：如：一般地：一般地：-4 3 -2 -1 1 2 3 41234-1-2-

7、3-4oxy图形称为图形称为阶梯曲线，阶梯曲线，而且在而且在x的整数值处的整数值处,图形发生图形发生跳跃跳跃,跳度为跳度为1.11有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo5.狄利克雷函数狄利克雷函数德国数学家狄利克雷对函数作了德国数学家狄利克雷对函数作了广义的论述：广义的论述：不管是否可用一个数学公式来表示对应关系，不管是否可用一个数学公式来表示对应关系，能作出图像，能作出图像，两个变量之间两个变量之间,只要有只要有数值上的确定法则对应关系数值上的确定法则对应关系,也不管是否也不管是否均可认为是函数关系均可认为是函数关系.12例例1.已知函数已知函数解解:写出写出 f(x)的定义域及值域的定义

8、域及值域,并求并求f(x)的定义域的定义域 值域值域 13容易证明：容易证明：有界的有界的充分必要条件充分必要条件是既有上界又有下界是既有上界又有下界四、函数的四种特性四、函数的四种特性1.函数的有界性函数的有界性:说明：说明：(1)界不唯一界不唯一,不要求找最小的界不要求找最小的界.(2)还可定义有上界、有下界和无界还可定义有上界、有下界和无界.(3)函数的有界性是局部概念函数的有界性是局部概念.使使称称 为为有界函数有界函数.一般的一般的14M-Myxoy=f(x)I有界有界无界无界M-MyxoI(4)有界函数的图像特征有界函数的图像特征:有界函数图像在两平行线之间有界函数图像在两平行线之

9、间.(5)曾学过的有界函数：曾学过的有界函数：152.单调性单调性称称 为为 I 上的上的单调单调增增函数函数;称称 为为 I 上的上的单调单调减减函数函数;说明：说明：(1)单调性与定义区间单调性与定义区间I 有关，也是局部概念有关，也是局部概念.(2)单调函数图像特点：单调函数图像特点：(3)判断方法判断方法:定义法定义法;图像法图像法;导数法导数法.(4)这里是严格单调这里是严格单调.增：上升；减：下降增：上升；减：下降.163.函数的奇偶性函数的奇偶性:设设D关于原点对称关于原点对称.则称则称f(x)为为偶函数偶函数.则称则称f(x)为为奇函数奇函数.说明：说明：(1)定义域关于定义域

10、关于原点原点对称，奇偶性对称，奇偶性是整体概念；是整体概念；不是不是不是不是是是(2)奇偶函数的定义域不一定是奇偶函数的定义域不一定是R.(3)若若在在 x=0 有定义有定义,为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有17(4)(4)偶函数偶函数的图形的图形的图形的图形关于关于y 轴对称轴对称,奇函数的图形关于奇函数的图形关于奇函数的图形关于奇函数的图形关于原点原点原点原点对称对称对称对称;偶函数偶函数偶函数偶函数yxo ox-xyxox-x奇函数奇函数奇函数奇函数(5)(5)函数函数函数函数按奇偶可分为四类按奇偶可分为四类:(6)(6)判断奇偶性的方法有：定义法判断奇偶性的方法有：定义法;图像法

11、图像法;性质法性质法.奇函数奇函数;偶函数偶函数;非奇非偶函数非奇非偶函数;既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数.18解：解：例例2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性说明说明:给定给定 则则 偶函数偶函数 奇奇函数函数 194.周期性周期性则称则称为为周期函数周期函数,称称T为为周期周期.说明：说明：(1)周期函数的定义域是无限的点集周期函数的定义域是无限的点集.周期性周期性是整体概念是整体概念,设函数设函数(2)若有周期若有周期,则周期不唯一则周期不唯一,以后说周期函数的周期以后说周期函数的周期指指最小正周期最小正周期.并非每个周期函数都有最小正周期并非每个周期函数都有最小正周期

12、.是对整个定义域而言的是对整个定义域而言的.例如例如,常量函数常量函数任何一个实数都是它的周期，任何一个实数都是它的周期，但没有最小正周期但没有最小正周期.20(3)图像特点：周期性地重复出现图像特点：周期性地重复出现.又如又如,狄里克雷函数狄里克雷函数是周期函数是周期函数(无最小正周期无最小正周期)结论：结论：(4)常见的周期函数：三角函数常见的周期函数：三角函数.(5)判断周期函数的方法：定义法判断周期函数的方法：定义法,性质法性质法.211.定义：定义：五、反函数五、反函数说明：说明：(2)单值函数的反函数不一定单值单值函数的反函数不一定单值.定理：定理：其反函数其反函数(减减)(减减)

13、.y=f(x)单调递单调递增增且也单值单调递且也单值单调递增增 22(3)但但它们是不同的函数它们是不同的函数,函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称.直接函数直接函数反函数反函数(4)求反函数的求反函数的步骤：步骤：分离分离交换交换x,y23例例3.求求的反函数及其定义域的反函数及其定义域.解解:则则则则故故 所求反函数为：所求反函数为：定义域为定义域为:24则则定义：定义：设有函数链设有函数链称为由称为由,确定的确定的复合函数复合函数.1)构成复合函数的条件构成复合函数的条件 不可少不可少.六、复合函数六、复合函数x:自变量；自变量；u:中间变量；中间变量；y:因

14、变量因变量.所以所以不是任何不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的两个函数都可以复合成一个复合函数的;如：如：注意注意:25复合函数可以由复合函数可以由两个以上两个以上的函数经过复合构成的函数经过复合构成.2)3)分解复合函数分解复合函数时，时，必须分解为必须分解为简单函数简单函数才算完成才算完成.如：如：如：如：分解方法分解方法:从外到里从外到里.4)复合函数的定义域如何求？复合函数的定义域如何求？例如例如,26例例4.设函数设函数求求解解:x 换为换为 f(x)oxy11427七、七、初等函数初等函数(1)基本初等函数基本初等函数幂函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、

15、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数(2)初等函数初等函数由由常数及基本初等函数常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数.例如例如,并并可用一个式子表示可用一个式子表示的函数的函数,经过经过有限次四则运算有限次四则运算和和复合复合步步骤所构成骤所构成,称为称为初等函数初等函数.可表为可表为故为故为初等函数初等函数.均为初等函数均为初等函数.28函数的分类函数的分类:初初等等函函数数非初等函数非初等函数(大部分分段函数大部分分段函数,有无穷多项的函数有无穷多项的函数,用级数用级数,积分积分,表格表格,方程方程,语言等表达的函数语言等表达的函数)代代数数函函数数超越函数超越函数(

16、解析式中含反解析式中含反,对对,指指,三的函数三的函数)有有理理函函数数无理函数无理函数(解析式中含有根式的函数解析式中含有根式的函数)有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分有理分式式函数函数(分式函数分式函数)函函数数29内容小结内容小结1.邻域：邻域：2.特殊函数：特殊函数：常数函数常数函数;绝对值函数绝对值函数;最值函数最值函数;符号函符号函数数;高斯函数高斯函数;狄里克雷函数等狄里克雷函数等.3.函数的特性函数的特性:有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.4.初等函数的概念初等函数的概念.练习：练习：P21:4(2)(4)(6)(8)(10);5 写在书上写在书上.作业作业:P21 6;15(2)(4);16;18.预习预习:P23-P303031