概率论习题课4.ppt

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1、一、协方差概念一、协方差概念二二、协方差性质协方差性质四、相关系数性质四、相关系数性质第三节第三节 协方差及相关系数协方差及相关系数五、小结五、小结三、相关系数定义三、相关系数定义问题的提出问题的提出 对于二维随机变量对于二维随机变量(X，Y)来说，数学期望来说，数学期望EX，EY仅仅反映了仅仅反映了X与与Y各自的平均值，而方差各自的平均值，而方差DX，DY也仅反映了也仅反映了X与与Y各自离开均值的偏离程度，它们没各自离开均值的偏离程度，它们没有提供有提供X与与Y之间相互联系的任何信息。之间相互联系的任何信息。而事实上，从前面的二维随机变量而事实上，从前面的二维随机变量(X，Y)联合联合分布律

2、或联合概率密度的讨论，我们知道分布律或联合概率密度的讨论，我们知道X与与Y之间之间是存在着密切联系，因此，我们也希望有一个数字是存在着密切联系，因此，我们也希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系。特征能够在一定程度上反映这种联系。这便是本节要讨论的问题。这便是本节要讨论的问题。在方差性质在方差性质4的证明中，我们已经发现当的证明中，我们已经发现当X与与Y独独立时，必有立时，必有 也就是说，当也就是说，当 时，时，X与与Y肯肯定不独立，由此说明式定不独立，由此说明式 在一在一定程度上反映了定程度上反映了X、Y间的某种联系。间的某种联系。一一、协方差概念协方差概念 由定义可知，在离散型场合

3、下的协方差是通过和由定义可知，在离散型场合下的协方差是通过和式来表示的，即式来表示的，即 在连续型场合下的协方差是通过积分来表示的，即在连续型场合下的协方差是通过积分来表示的，即 特别，当特别，当X=Y 时，有时，有 二、二、协方差的性质协方差的性质注：注：X与与Y 独立是式独立是式D(X+Y)=DX+DY，E(XY)=EX EY 成立的充分条件，上两式成立的充要条件是成立的充分条件，上两式成立的充要条件是 Cov(X，Y)=0。(2)Cov(X，Y)=E(XY)EXEY；注：我们常利用这一式子计算协方差。注：我们常利用这一式子计算协方差。(3)Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；(4)Cov

4、(aX，bY)=abCov(X，Y)；a，b R(5)Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。协方差的数值虽然在一定程度上反映了协方差的数值虽然在一定程度上反映了X与与Y相互相互间的联系，但它还受间的联系，但它还受X与与Y本身数值大小的影响。本身数值大小的影响。例如，当例如，当X，Y各自增大各自增大k倍，即倍，即X1=kX，Y1=kY，这时这时X1与与Y1间的相互联系和间的相互联系和X与与Y间的相互联系应间的相互联系应该是一样的，但事实上由性质该是一样的，但事实上由性质4知：知：即表明协方差增大了即表明协方差增大了k2倍。为克服这一个缺点，倍。为克服这一个缺点，引入下

5、面的所谓相关系数的定义。引入下面的所谓相关系数的定义。三、相关系数的定义三、相关系数的定义 顾名思义，相关系数反映了随机变量顾名思义，相关系数反映了随机变量 与与 之间之间的相互关系的相互关系也就是它们相互之间的一种联系。也就是它们相互之间的一种联系。但到底是哪一种联系呢？这是需要进一步弄清但到底是哪一种联系呢？这是需要进一步弄清的问题。的问题。四、相关系数的性质四、相关系数的性质引理引理 设设(X，Y)是一个二维随机变量，若是一个二维随机变量，若EX2，EY2存在，则有存在，则有 证证 考虑一个关于实变量考虑一个关于实变量t 的二次函数的二次函数 因此，二次方程因此，二次方程g(t)=0的判

6、别式非正，即有的判别式非正，即有 上述不等式通常称为柯西上述不等式通常称为柯西许瓦兹许瓦兹(CauchySchwarx)不等式。不等式。由这个不等式立即可得：由这个不等式立即可得：所以，当二维随机变量所以，当二维随机变量(X，Y)的两个分量具有方的两个分量具有方差时，它们间的协方差必定存在，当然相关系数也一差时，它们间的协方差必定存在，当然相关系数也一定存在。定存在。现在来证明现在来证明 XY的两个重要性质。的两个重要性质。定理定理2 设设(X，Y)是二维随机变量，它们的相关系数是二维随机变量，它们的相关系数 XY存在，且存在，且(2)|XY|=1的充分必要条件是的充分必要条件是X与与Y以概率

7、以概率1线性相关。线性相关。即存在常数即存在常数a、b，使得使得 证证(1)令令 则对则对X1，Y1运用上式有运用上式有 即有即有|XY|1。(2)由上式知由上式知|X Y|=1等价于等价于 这相当于在引理证明中，二次方程这相当于在引理证明中，二次方程g(t)=0有一个重根有一个重根t0。即有：即有：再由方差的性质再由方差的性质5即知上式成立的充分必要条件是即知上式成立的充分必要条件是 其中其中a=t0，b=EYt0EX 均为常数。均为常数。注：注：（1）由定理的证明可以看出，相关系数）由定理的证明可以看出，相关系数 XY是衡量是衡量随机变量间线性关系的一个度量。更确切地说，随机变量间线性关系

8、的一个度量。更确切地说，应该称它为线性相关系数，只是因为大家习惯了，应该称它为线性相关系数，只是因为大家习惯了，所以一直称作相关系数。当所以一直称作相关系数。当|XY|=1时，时，X与与Y之之间依概率间依概率1存在线性关系。存在线性关系。（2）特别，当）特别，当 XY=1时称为正线性相关，当时时称为正线性相关，当时 XY=1称为负线性相关。当称为负线性相关。当|XY|1时，这种线性相关时，这种线性相关程度将随着程度将随着|XY|的减小而减弱。当的减小而减弱。当 XY=0时，就称时，就称X与与Y是不相关的。是不相关的。（3）前面曾经指出，当）前面曾经指出，当X与与Y独立时，若独立时，若Cov(X

9、，Y)存在，则必有存在，则必有Cov(X，Y)=0，因而此时因而此时 XY=0，此即此即表示表示X与与Y一定不相关。反之是否成立呢？回答是否一定不相关。反之是否成立呢？回答是否定的，这可从下面的例子看出，即定的，这可从下面的例子看出，即X与与Y不相关并不不相关并不能保证能保证X与与Y的相互独立。的相互独立。例例1 已知随机变量已知随机变量X的分布律为的分布律为 而而Y=X2。试证随机变量试证随机变量X与与Y不相关但并不相互独立。不相关但并不相互独立。证证 X与与Y不相互独立是显然的，因为不相互独立是显然的，因为Y的值完全由的值完全由X的值决定。的值决定。故故X与与Y线性不相关。线性不相关。从上

10、述例子可以看出，不相关性和独立性是从上述例子可以看出，不相关性和独立性是两个不同的概念。在一般情况下并不能从不相关两个不同的概念。在一般情况下并不能从不相关性推出独立性。不过从下述例子可以看出，当性推出独立性。不过从下述例子可以看出，当(X，Y)服从二维正态分布时，服从二维正态分布时，X与与Y的不相关性与独的不相关性与独立性是一致的。立性是一致的。解解例例2结论结论解解例例3解解 先求先求X、Y的边缘概率密度的边缘概率密度注：注：也可利用随机也可利用随机变量函数直接求变量函数直接求!例例5 解解单击图形播放单击图形播放/暂停暂停 ESCESC键退出键退出(1)不相关与相互独立的关系不相关与相互

11、独立的关系 注意注意相互独立相互独立不相关不相关(2)不相关的充要条件不相关的充要条件单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESCESC键退出键退出五、小结五、小结相关系数的意义相关系数的意义一、基本概念一、基本概念二、二、n 维正态维正态变量的性质变量的性质三、小结三、小结第四节矩、协方差矩阵第四节矩、协方差矩阵一、基本概念一、基本概念定义定义由定义知：由定义知：数学期望数学期望EX是是X的一阶原点矩；的一阶原点矩；方差方差DX是是X的二阶中心矩；的二阶中心矩；协方差协方差Cov(X，Y)是是X，Y的二阶混和中心矩。的二阶混和中心矩。例例1 设随机变量设随机变量X在在(a，b)上服从均匀分布。试

12、求随上服从均匀分布。试求随机变量机变量X的的k阶原点矩和三阶中心矩。阶原点矩和三阶中心矩。解：解：3、协方差矩阵、协方差矩阵协方差矩阵的应用协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究变量的研究由于由于引入矩阵引入矩阵由此可得由此可得由于由于推广推广二、二、n 维正态变量的性质维正态变量的性质线性变换不变性线性变换不变性三、小结三、小结2.正态变量是最重要的随机变量，其性质一定正态变量是最重要的随机变量，其性质一定要熟练掌握要熟练掌握.一、重点与难点一、重点

13、与难点二、主要内容二、主要内容 三、典型例题三、典型例题 第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点数学期望的性质和计算数学期望的性质和计算2.难点难点数字特征的计算数字特征的计算方差的性质和计算方差的性质和计算相关系数的性质和计算相关系数的性质和计算二、主要内容二、主要内容数学期望数学期望方方 差差离离散散型型连连续续型型性性 质质协协方方差差与与相相关关系系数数二二维维随随机机变变量量的的数数学学期期望望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望定定 义义协方差的协方差的性质性质相关系数相关系数定

14、理定理离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望为离散型随机变量函数的数学期望为则有则有则有则有数学期望的性质数学期望的性质1.设设C是常数是常数,则有则有2.设设X是一个随机变量是一个随机变量,C是常数是常数,则有则有3.设设X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有4.设设X,Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有二维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望同理可得同理可得则则则则方差的定义方差的定义方差的计算方差的计算离散型随机变量的方差离散型

15、随机变量的方差 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差方差的性质方差的性质1.设设 C 是常数是常数,则有则有2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有协方差与相关系数的定义协方差与相关系数的定义协方差的性质协方差的性质相关系数定理相关系数定理三、典型例题三、典型例题 解解例例1解解 从数字从数字0,1,2,n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望.一般的一般的例例2解解例例3 某银行开展定期定额有奖储蓄某银行开展定期定额有奖储蓄,定期一年定期一年,定额定额60元元,按规定按规定10000个户头中个户头中,头等奖一个头等奖一个,奖金奖金500元元;二等奖二等奖10个个,各奖各奖100元元;三等奖三等奖100个个,各奖各奖10元元;四等奖四等奖1000个个,各奖各奖2元元.某人买某人买了五个户头了五个户头,他期望得奖多少元他期望得奖多少元?解解因为任何一个户头获奖都是等可能的因为任何一个户头获奖都是等可能的,分布列为分布列为例例4买五个户头的期望得奖金额为买五个户头的期望得奖金额为 解解例例5解解例例6解解例例7解解例例8