24振动习题课.ppt

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1、同学们好！同学们好！13.3 摆动摆动 混沌现象混沌现象研究摆动的理想模型研究摆动的理想模型 单摆和复摆单摆和复摆切向运动方程切向运动方程一、单摆：一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动lm建立如图自然坐标建立如图自然坐标受力分析如图受力分析如图 n Nmg单摆运动的微分方程单摆运动的微分方程非线性微分方程非线性微分方程无解析解无解析解令令得：得：角谐振动角谐振动运动运动方程：方程：周期：周期：二、复摆：二、复摆：绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律令令 复摆运动的微分方程也是非线性微分

2、方程复摆运动的微分方程也是非线性微分方程角谐振动角谐振动由小角度摆动都是谐振动，可推广到由小角度摆动都是谐振动，可推广到一切微振动均可用谐振动模型处理。一切微振动均可用谐振动模型处理。例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动。例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动。运动运动方程：方程：周期：周期：大角度摆动不是谐振动，可用相图分析其运动。大角度摆动不是谐振动，可用相图分析其运动。以状态参量为坐标变量以状态参量为坐标变量相平面上的点与运动状态对应相平面上的点与运动状态对应相点在相平面上的运动轨迹相点在相平面上的运动轨迹相平面（相空间）相平面（相空间）相点相点相图相图例例.(1)匀速

3、直线运动匀速直线运动xO(2)匀速率圆周运动匀速率圆周运动 O(3)匀加速直线运动匀加速直线运动xO(4)简谐振动简谐振动xO三、单摆和复摆的相图三、单摆和复摆的相图微分方程：微分方程：对对 t 积分积分作作 曲线，曲线，即相图即相图讨论：讨论：讨论：讨论：1.,对应对应0点点系统的稳定平衡点系统的稳定平衡点2.小角度摆动小角度摆动对对 t 积分积分角谐振动角谐振动椭圆椭圆初始条件初始条件C(能量）能量）不同椭圆不同椭圆3.封闭曲线封闭曲线 往复周期性运动往复周期性运动4.相图出现分相图出现分支点：支点：鞍点鞍点物理意义物理意义:单摆倒立（轻绳单摆倒立（轻绳 轻杆）轻杆）最高点（不稳定平衡点）

4、无初速释放最高点（不稳定平衡点）无初速释放(1)：向原方向旋转向原方向旋转(2)：向回摆动向回摆动5.初始能量再增大。相图不再闭合：旋转运动初始能量再增大。相图不再闭合：旋转运动行为不完全确定行为不完全确定四、混沌四、混沌.混沌混沌:决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。运动方程是完全确定的（非线性微分方程）运动方程是完全确定的（非线性微分方程）由方程自身演化出来，在一定条件下行为不完全由方程自身演化出来，在一定条件下行为不完全确定（内在随机性）确定（内在随机性）例例1：任意摆角的无阻尼单摆任意摆角的无阻尼单摆系统运动的描述系统运动的描述(微分方程微分

5、方程)完全确定完全确定系统运行中一定条件下系统运行中一定条件下()出现随机性状态：鞍点出现随机性状态：鞍点G,G 介于往复摆动和单向旋转间临界状态究竟介于往复摆动和单向旋转间临界状态究竟如何运动？如何运动？取决于初始条件的细微差别取决于初始条件的细微差别轻杆上联结质点组成单摆，给一个初值，轻杆上联结质点组成单摆，给一个初值，让它恰好摆到最高点静止，能否实现？让它恰好摆到最高点静止，能否实现？问题问题例例2：湍流湍流雷诺实验雷诺实验流速达一定值流速达一定值层流层流湍流湍流例例2：湍流湍流多节摆（演示）多节摆（演示）例例5：水流速较高时，水流速较高时，滴水间隔时间出现混沌。滴水间隔时间出现混沌。例

6、例4：滴水龙头滴水龙头例例3：洛仑兹水桶洛仑兹水桶水流速度达到一定值，水轮的运动不可预测，出现混沌。水流速度达到一定值，水轮的运动不可预测，出现混沌。2.混沌的特征和意义混沌的特征和意义世界本质上是非线性的，线性系统只是理想世界本质上是非线性的，线性系统只是理想模型。混沌是自然界的普遍现象。模型。混沌是自然界的普遍现象。物理、化学、生物、气象、农业、工程、经济物理、化学、生物、气象、农业、工程、经济.无所不在无所不在（稳定与突变）（稳定与突变）(1)普遍性普遍性(2)对初始条件的极端敏感对初始条件的极端敏感混沌的发现混沌的发现1963年：美国气象学家洛仑兹研究天气预报年：美国气象学家洛仑兹研究

7、天气预报 构建大气动力学模型构建大气动力学模型用计算机模拟求解。偶然发现初值的微小差异带来结用计算机模拟求解。偶然发现初值的微小差异带来结果的巨大偏差果的巨大偏差相图：洛仑兹奇异吸引子相轨迹在两相轨迹在两“翅翅”上跳跃，自身不相交，不构成任上跳跃，自身不相交，不构成任何周期运动，系统状态变化具有不可预测的随机性。何周期运动，系统状态变化具有不可预测的随机性。系统状态演变对初值极端敏感，相图中两个任意靠系统状态演变对初值极端敏感，相图中两个任意靠近的点经过足够长时间，在吸引子上宏观的分离开，对近的点经过足够长时间，在吸引子上宏观的分离开，对应截然不同的状态应截然不同的状态由于实际上对初值的测量不

8、可能由于实际上对初值的测量不可能绝对精确，这种不确定性在一定条件下被放大，导致不绝对精确，这种不确定性在一定条件下被放大，导致不可预测的结果可预测的结果 蝴蝶效应。蝴蝶效应。台球问题台球问题理论计算的完全对称的结理论计算的完全对称的结果实际操作如何？果实际操作如何？不能保证与、同时接不能保证与、同时接触，初值无限小的偏离造成触，初值无限小的偏离造成截然不同的结果。截然不同的结果。光滑水平面上有三个完全相同的台球，光滑水平面上有三个完全相同的台球，A沿沿B、C 中心联线的垂直平分线射去，完全弹性碰撞，碰后如中心联线的垂直平分线射去，完全弹性碰撞，碰后如何运动？何运动？ABC数学问题数学问题叠代叠

9、代取取混沌：不稳定性，混沌：不稳定性，“差之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里”(3)强调整体论思维方式，开创复杂性研究的新方向。强调整体论思维方式，开创复杂性研究的新方向。物理学中的物理学中的两类描述两类描述确定性描述确定性描述牛顿力学牛顿力学.概率性描述概率性描述分子物理分子物理 量子力学量子力学.确定性实例：确定性实例：“我们必须把目前的宇宙状态看成它以前状态的结我们必须把目前的宇宙状态看成它以前状态的结果，以及以后发展的原因。如果有一种智慧能了解果，以及以后发展的原因。如果有一种智慧能了解在每一时刻支配着自然界的所有力，了解宇宙中所在每一时刻支配着自然界的所有力，了解宇宙中所有物体的相互

10、位置，如果这种智慧伟大到能对这样有物体的相互位置，如果这种智慧伟大到能对这样众多的数据进行分析，把宇宙中最庞大的天体到最众多的数据进行分析，把宇宙中最庞大的天体到最轻微的原子的运动归结到一个公式之中，那么对他轻微的原子的运动归结到一个公式之中，那么对他来说没有什么事情是不确定的，将来就象过去的那来说没有什么事情是不确定的，将来就象过去的那样展现在他的眼前。样展现在他的眼前。”拉普拉斯拉普拉斯一定条件下必然发生某一结果：一定条件下必然发生某一结果：物理实验中采用多次重物理实验中采用多次重复求平均值方法来减小复求平均值方法来减小误差，日食、月食、哈误差，日食、月食、哈雷慧星回归雷慧星回归 .概率性

11、描述实例概率性描述实例：分子运动与气体压强分子运动与气体压强,投骰子、硬币，打靶投骰子、硬币，打靶.共同特征：共同特征：物理量在随机因素影响下可取不同数值，物理量在随机因素影响下可取不同数值，无法预知。但存在总体规律，物理量取无法预知。但存在总体规律，物理量取某值的概率是确定的。伴随涨落。某值的概率是确定的。伴随涨落。短期（少量）无法预侧。短期（少量）无法预侧。长期（大量）呈现规律。长期（大量）呈现规律。混沌混沌 确定性系统的内在随机性确定性系统的内在随机性 伪随机性（貌似随机）伪随机性（貌似随机）方程是确定的，物理量短期值可以预测，但由于方程是确定的，物理量短期值可以预测，但由于初值不可能绝

12、对准确，长期预测是不可能的。初值不可能绝对准确，长期预测是不可能的。确定性描述确定性描述概率性描述概率性描述非线性系统非线性系统内在随机性内在随机性人类认识的人类认识的一次飞跃一次飞跃开创物理学的新篇章开创物理学的新篇章物理学发展物理学发展三大方向三大方向微观微观粒子物理粒子物理宏观宏观天体物理天体物理.宇宙学宇宙学复杂性复杂性凝聚态物理凝聚态物理非线性物理非线性物理线性世界线性世界 小孤岛小孤岛“当你一旦离开线性近似法，你就开始航行在一个当你一旦离开线性近似法，你就开始航行在一个非常广阔的海洋上。非常广阔的海洋上。”考温考温（美国桑塔费研究所创始人）（美国桑塔费研究所创始人）方法论角度：方法

13、论角度：整体论和还原论整体论和还原论传统物理学遵循还原论思维方式传统物理学遵循还原论思维方式复杂复杂简单简单多元多元一元一元对物质世界进行简单、对物质世界进行简单、统一的描述统一的描述（基本要素）基本要素）重视要素间关系，系统与环境的关系，重视要素间关系，系统与环境的关系，不同层次的交叉渗透。强调横向性、综合性、不同层次的交叉渗透。强调横向性、综合性、复杂性、整体优化原则。提供跨学科研究和学复杂性、整体优化原则。提供跨学科研究和学科统一的可能性。科统一的可能性。整体论：整体论：“通往诺贝尔奖的堂皇道路通常是由简化论的思维通往诺贝尔奖的堂皇道路通常是由简化论的思维取道的，也就是把世界分解的尽可能

14、小，尽可能简取道的，也就是把世界分解的尽可能小，尽可能简单。你为一系列或多或少理想化了的问题寻求解题单。你为一系列或多或少理想化了的问题寻求解题的方案，但却因此背离了真实世界。把问题限制到的方案，但却因此背离了真实世界。把问题限制到你能发现解决办法的地步。这就造成了科学上越来你能发现解决办法的地步。这就造成了科学上越来越多的碎裂片。而真实的世界却要求我们用更加整越多的碎裂片。而真实的世界却要求我们用更加整体的眼光去看问题。任何事情都会影响到其它事情，体的眼光去看问题。任何事情都会影响到其它事情，你必须了解事情的整个关联网。你必须了解事情的整个关联网。”复杂复杂 P.72推荐读物：推荐读物：1.

15、梁美灵、王则柯，梁美灵、王则柯，童心与发现童心与发现混沌与均衡纵横谈混沌与均衡纵横谈 （三联书店：（三联书店：1996）2.（美）米歇尔（美）米歇尔沃尔德罗普沃尔德罗普,复杂复杂诞生与秩序与混沌边沿的科学诞生与秩序与混沌边沿的科学 （三联书店：三联书店：1997）掌握：掌握：理解：理解：了解：了解：2.同一直线上同频率谐振动合成同一直线上同频率谐振动合成3.旋转矢量法、旋转矢量法、振动曲线振动曲线拍、混沌拍、混沌阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动、受迫振动、共振1.简谐振动的运动方程，特征量，能量计算简谐振动的运动方程，特征量，能量计算（弹簧系统，准弹性系统）（弹簧系统，准弹性系统）第第13章章

16、 教学要求教学要求 练习练习1：1.宇航员在月球表面用一轻弹簧秤称岩石样品，此弹宇航员在月球表面用一轻弹簧秤称岩石样品，此弹簧秤在簧秤在10cm长的刻度尺上读数从长的刻度尺上读数从0 10N,他称一他称一块月球岩石时读数为块月球岩石时读数为4N,让岩石上下自由振动时的周让岩石上下自由振动时的周期为期为0.98s，试由此估算月球表面的重力加速度。试由此估算月球表面的重力加速度。解：解：问题：问题：用竖直悬挂的弹簧振子测重力加速度用竖直悬挂的弹簧振子测重力加速度练习练习22.图中水平面光滑。两弹簧完全相同，图中水平面光滑。两弹簧完全相同，且最初处于原长状态。令且最初处于原长状态。令m沿水平面振动，

17、沿水平面振动，经过平衡位置经过平衡位置O时，另一质点时，另一质点M恰自由落恰自由落下粘在下粘在m上，求上，求M粘上前后，振动系统粘上前后，振动系统角角频率比频率比及及振幅比振幅比。MmkkxO解：解：粘上粘上M以前以前运动微分方程运动微分方程系统作简谐振动系统作简谐振动粘上粘上M以后以后mkkxOFFM与与m粘接过程水平方向动量守恒粘接过程水平方向动量守恒设粘上设粘上M前前,m经过平衡位置经过平衡位置O时的时的速率为速率为v1设粘上设粘上M后后,(M+m)经过平衡位置经过平衡位置O时的速率为时的速率为v2思考和讨论：思考和讨论：（1）如果如果M是在是在m运动到最大位移处，垂直落在运动到最大位移

18、处，垂直落在m上上的，情况如何？的，情况如何？（2）如果两弹簧串接在一起，再联结如果两弹簧串接在一起，再联结m，情况又如何情况又如何？kmk1k2xOmkx练习练习3 为减小安装在楼板上的空调鼓风机引起的震为减小安装在楼板上的空调鼓风机引起的震动，将鼓风机安装在有动，将鼓风机安装在有4个弹簧的底座上。设鼓风机和个弹簧的底座上。设鼓风机和底座的总质量为底座的总质量为576 kg，鼓风机转速为鼓风机转速为1800rmin-1。经验指出，驱动频率为振动系统固有频率经验指出，驱动频率为振动系统固有频率5倍时，可减倍时，可减震震90%以上。若按以上。若按5倍计算，所用每个弹簧的劲度系数倍计算，所用每个弹簧的劲度系数应多大？应多大？解：解：驱动频率驱动频率并联弹簧等效劲度系数并联弹簧等效劲度系数振动系统固有频率振动系统固有频率由：由：得：得：