大学概率与统计课件.ppt

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1、1随机事件及其概率随机事件及其概率概率论与数理统计概率论与数理统计第一章第一章2概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学 3第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第一节第一节 样本空间、随机事件样本空间、随机事件第二节第二节 概率、古典概型概率、古典概型第三节第三节 条件概率、全概率公式条件概率、全概率公式第四节第四节 独立性独立性在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定

2、性现象.“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,(1)确定性现象确定性现象“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象 随机现象随机现象4在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称不能预测是哪一种结果的现象称随机现象随机现象。实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.(2)随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反

3、面出现反面.5结果有可能为结果有可能为:1,2,3,4,5 或或 6.实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数.实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果:弹落点会各不相同弹落点会各不相同.6实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为:正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯.7实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿

4、可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴,也可能是也可能是多云多云或或雨雨.8 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性,但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有这种结果的出现具有一定的一定的统计统计规律性规律性,概率论就是研究随机现象规概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科律性的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明9一、随机试验一、随机试验 在概率论中在概

5、率论中,把具有以下三个特征的试验称为把具有以下三个特征的试验称为随机随机试验试验。（1）可以在相同的条件下重复地进行；）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试并且能事先明确试验的所有可能结果；验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。10说明说明 随机试验简称为试验随机试验简称为试验,是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验它包括各种各样的科学实验,也包括对客观也包括对客观事物进行的事物进行的“调查调查”、“观察观察”或或“测量测量”等等.

6、11实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察察正面、反面正面、反面出现的情况出现的情况”.分析分析(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面、反面反面;(3)进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现.故为故为随机试验随机试验.12(1)抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.(2)从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(3)记录某公

7、共汽车站记录某公共汽车站某时刻的等车人数某时刻的等车人数.13样本空间与随机事件样本空间与随机事件随机事件随机事件（简称简称事件事件）：）：在随机试验中，可能发生也可能不发生在随机试验中，可能发生也可能不发生,而在大量试而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件）。通常用大写字母事件）。通常用大写字母A、B,表示。表示。基本结果：基本结果：（1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。结果。（2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本

8、点。每个基本结果称样本点。14随机事件中有两个随机事件中有两个极端情况极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件必然事件 。每次试验中都不发生的事件，称为每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件不可能事件。基本事件基本事件是样本空间的单点集。是样本空间的单点集。复合事件复合事件是由多个样本点组成的集合。是由多个样本点组成的集合。必然事件必然事件包含一切样本点，它就是样本空间包含一切样本点，它就是样本空间。不可能事件不可能事件不含任何样本点，它就是空集不含任何样本点，它就是空集。样本空间：样本空间：随机试验的全体基本事件组成的集合称随机试验的全体基本事件组

9、成的集合称为样本空间。记为为样本空间。记为。151事件的包含事件的包含事件发生事件发生事件发生事件发生设、设、为两个事件，如果中的基本事件都是为两个事件，如果中的基本事件都是的基本事件，则称的基本事件，则称包含于，记为，或包包含于，记为，或包含，记为含，记为 .事件之间的关系和运算事件之间的关系和运算实例实例 A=“长度不合格长度不合格”必然导致必然导致 B=“产品不合格产品不合格”所以所以事件事件之间之间的关系的关系（事件（事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生）发生）16172.事件的相等事件的相等=若两个事件和相互包若两个事件和相互包含，则称这两个事件相等。含，则称这两个事件相等。

10、记为记为 .和同时发生或者同时不发生和同时发生或者同时不发生即即A与与B中的样本点完全相同中的样本点完全相同3.事件的和（并）事件的和（并）将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的一个新事件，称为一个新事件，称为 和的和事件，记为，可和的和事件，记为，可读成并或加读成并或加.有时也可记为有时也可记为 .实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定是否合格所决定,因此因此 C=“产品不合格产品不合格”是是A=“长度不长度不合格合格”与与B=“直径不合格直径不合格”的并，的并，即即A和和B两个事

11、件至少有一两个事件至少有一个发生个发生 A B194.事件的积（交）事件的积（交）将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成事件，称为和的和事件，记为，可读成交或乘交或乘.有时也可记为有时也可记为.实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定是否合格所决定,设设“产品合格产品合格”,“长度合长度合格格”,“直径合格直径合格”2021和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质225.事件的差事件的差从事件中将属于事件的基本事件除去从事件中将属于事件的基本事

12、件除去,剩下的基本剩下的基本事件组成的新事件称为和的差事件事件组成的新事件称为和的差事件,记为记为 .事件发生而事件不发生事件发生而事件不发生实例实例 设设“长度合格但直长度合格但直径不合格径不合格”,“长度合格长度合格”,“直径合格直径合格”.23事件、事件、不可能同时发生不可能同时发生6.事件的互斥（互不相容）事件的互斥（互不相容）若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，也称互不相容，记为也称互不相容，记为 .注意注意 基本事件是两两互斥的基本事件是两两互斥的.247.事件的逆（对立事件）事件的逆（对立事件）称必然事件和事件的差为的逆事件，记称必然事

13、件和事件的差为的逆事件，记为为 ，如果和互逆，则也可称和互为对立事件如果和互逆，则也可称和互为对立事件事件不发生事件不发生实例实例 “骰子出现骰子出现1点点”“骰子不出现骰子不出现1点点”对立对立若事件A1,A2,An为两两互不相容的事件，并且A1+A2+,+An=，称A1,A2,An构成一个完备事件组。2526事件的运算规律事件的运算规律由集合的运算律，由集合的运算律，易给出事件间的运算律易给出事件间的运算律.设设为同一随机试验为同一随机试验中的事件，中的事件，则有则有(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律27(4)自反律自反律(5)对偶律对偶律注：注：上述各运算律可推广到上

14、述各运算律可推广到件的情形件的情形.有限个或可数个事有限个或可数个事28(6)吸收律吸收律(7)替换律替换律29例例1.1 设设A,B,C为为3个事件，用个事件，用A,B,C的运算式表示下列事件：的运算式表示下列事件：（1）A发生而发生而B与与C都不发生：都不发生：（2）A，B都发生而都发生而C不发生：不发生：（3）A，B，C至少有一个事件发生：至少有一个事件发生：（4）A，B，C至少有两个事件发生：至少有两个事件发生：（5）A，B，C恰好有两个事件发生：恰好有两个事件发生：（6）A，B，C恰好有一个事件发生：恰好有一个事件发生：（7）A，B至少有一个发生而至少有一个发生而C不发生：不发生：（

15、8）A，B，C都不发生：都不发生：例例1.2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第表示第i次取次取到合格品（到合格品（i=1,2,3）。试用事件的运算符号表示）。试用事件的运算符号表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。次中至多有一次取到合格品。30解：三次中全取到合格品：A1A2A3;三次中至少一次取到合格品三次中至少一次取到合格品

16、:A1+A2+A3;三次中恰有两次取到合格品三次中恰有两次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品。三次中至多有一次取到合格品。3132练习练习 甲甲,乙乙,丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶,记记 “甲中靶甲中靶”,“乙中靶乙中靶”,“丙中靶丙中靶”,则可用上述三则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件个事件的运算来分别表示下列各事件:(1)(3)(4)(2)“甲未中靶甲未中靶”“甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶”“三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶”“三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”(5)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶”或或33(10)(9)(8)“三人中至少有两人

17、中靶三人中至少有两人中靶”“三人中均未中靶三人中均未中靶”“三人中至多一人中靶三人中至多一人中靶”(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”或或(6)(7)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”“三人中恰有两人中靶三人中恰有两人中靶”或或34注注:用其它事件的运算来表示一个事件用其它事件的运算来表示一个事件,方法往往方法往往不唯一不唯一,如本例中的如本例中的(6)(6)和和(11)(11)实际上是同一事件实际上是同一事件,大家应学会大家应学会特别在解决特别在解决具体问题时具体问题时,往往要更具需要往往要更具需要方法方法.用不同方法表达同一事件用不同方法表达同一事件,选择一种恰当

18、的表示选择一种恰当的表示(6)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”35一、概率的统计意义一、概率的统计意义三、概率的几何定义三、概率的几何定义二、概率的古典定义二、概率的古典定义1.2 随机事件的概率随机事件的概率五、概率的性质五、概率的性质四、概率的公理化定义四、概率的公理化定义36 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！37一、概率的

19、统计意义一、概率的统计意义定义定义显然显然次数为次数为频率频率.若在相同条件下进行若在相同条件下进行 次试验，次试验，其中其中 发生的发生的则称则称为事件为事件 发生的发生的试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次,各做各做 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率

20、观察正面出现的次数及频率.随随n的增大的增大,频率频率 fn(A)呈现出稳定性呈现出稳定性38从上述数据可得从上述数据可得(2)抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时,频率频率fn(A)的随机波动的随机波动幅度较大幅度较大,但但随随 n 的增大的增大,频率频率fn(A)呈现出稳定呈现出稳定性性.即当即当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率fn(A)总是在总是在 0.5 附近附近摆动摆动,且逐渐稳定于且逐渐稳定于 0.5.(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n,所得所得的的fn(A)不一定相同不一定相同;39实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰204810610.51

21、81404020480.50691200060190.501624000120120.500540重要结论重要结论当实验次数当实验次数 n 较小时较小时,事件事件发生的频发生的频率波动幅度比较大率波动幅度比较大,当当 n 逐渐增大时逐渐增大时,频率趋频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小在试验中出现可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概概率率41概率的统计定义概率的统计定义定义定义在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验,若事件若事件A发生的频率发生的频率 随着试验次数随着试验次数n的增大而的增大而稳定地在某个

22、常数稳定地在某个常数P P附近摆动附近摆动,则称则称P为事件为事件A的的概概率，率，记为记为P(A).422、概率的古典定义、概率的古典定义定义定义1.4：设随机试验设随机试验E满足如下满足如下条件条件:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为则称试验为古典概型古典概型，也称为，也称为等可能概型等可能概型。古典概型古典概型 中事件中事件A的概率计算公式为的概率计算公式为43例例1一个袋子中装有一个袋子中装有 10 10 个大小相同的球个大小相同的球,其中其中 3 3个黑球个黑球,7 7

23、 个白球个白球,求求:(1 1)从袋子中任取两球从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率解解以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.(1 1)10 10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有种种,其中其中刚好一个白球刚好一个白球,一个黑球的取法有一个黑球的取法有种取法种取法,两个球均是黑球的取法有两个球均是黑球的取法有种种,记记为为好取到一个白球一个黑球好取到一个白球一个黑球”,为为为黑球为黑球”,则则事件事件“刚刚事件事件“两个球均两个球均44例例2 12名新生中有名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中

24、去，试求：配到三个班中去，试求：（1）每班各分配到一名优秀生的概率；每班各分配到一名优秀生的概率；（2）3名名优优秀生分配到同一个班的概率秀生分配到同一个班的概率.解解 12名新生平均分配到三个班的可能分法名新生平均分配到三个班的可能分法总总数数为为（1）设设A表示表示“每班各分配到一名优秀生每班各分配到一名优秀生”45（2）设设B表示表示“3名名优优秀生分到同一班秀生分到同一班”，故，故3名名优优秀生分秀生分到同一班共有到同一班共有3种分法，其他种分法，其他9名学生分法名学生分法总总数数为为 ，故由乘法原理，故由乘法原理，B包含包含样样本本总总数数为为 46例例3 两封信随机地向标号为、的4

25、个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。解：设事件A表示第二个邮筒只投入1封信。两封信随机地投入4个邮筒共有42种等可能的投法，而组成事件A的不同投法只有C21C31种。有古典概型公式P(A)=C21C31/42=3/8473、几何概型、几何概型若试验具有如下特征若试验具有如下特征:48例例 两人相两人相约约在某天下午在某天下午2 003 00在在预预定地方定地方见见面，先到面，先到者要等候者要等候20分分钟钟，过时则过时则离去离去.如果每人在如果每人在这这指定的一小指定的一小时时内任一内任一时时刻到达是等可能的，求刻到达是等可能的，求约约会的两人能会到面的概会的两人能会到面的概率率.

26、解解 设设x,y为为两人到达两人到达预预定地点的定地点的时时刻，那么，两人到达刻，那么，两人到达时时间间的一切可能的一切可能结结果落在果落在边长为边长为60的正方形内，的正方形内，这这个正方形个正方形就是就是样样本空本空间间,而两人能会面的充要条件是而两人能会面的充要条件是x-y20，即即x-y20且且y-x20.49例 两人约定上午9:0010:00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率。解：设两人到达时刻分别为X、Y，则 0X、Y 60，事件一人要等另一人半小时以上等价于 如图阴影部分所示 50练习 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜到达的时刻是等可能

27、的，如果甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。51解：解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别是设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别是x、y，由题意，由题意0 x 24，0 y 24xy0212424设事件设事件A表示两艘轮船表示两艘轮船中的任何一艘都不需要中的任何一艘都不需要等候码头空出，等价以等候码头空出，等价以下下2种可能情况种可能情况（1）若甲先到码头（即）若甲先到码头（即x y）,则则 有有y-x1;（2）若乙先到码头（即）若乙先到码头（即y x）,则则 有有 x-y 2；事件事件A包含的基本事件可以用图中包含的基本事件可以用图中

28、阴影部分表示阴影部分表示52 在学习几何和代数时，我们已经知道在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础公理是数学体系的基础.数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前提，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容一步的内容.4 4、概率的公理化定义、概率的公理化定义53 即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的尔莫哥洛夫给出了概

29、率的公理公理化定义化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单，但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.54定义定义:设设E E是随机试验是随机试验,是它的样本空间是它的样本空间,对于对于E E的每一件事件的每一件事件A 赋予一个实数赋予一个实数,记为记为P(A),若若P(A)满满足下列三个条件足下列三个条件:1.1.非负性非负性:对每一个事件对每一个事件A,有有2.2.完备性完备性:3.3.完全完全可加性可加性:对任意可数个两两互不相容的对任意可数个两两互不相容的事件事件有有则称则称 P P(A)为事件为事件A的

30、概率的概率.551特别地，当A与B互不相容时，564.减法公式设A,B为两个随机事件，则特别地，57例例1 1 设设A,BA,B为两个随机事件，为两个随机事件，例例2 2 设设A,BA,B为两个随机事件，为两个随机事件，例例3 3 设设A,BA,B互不相容，互不相容，585960例例4 4 设设A,B,CA,B,C是三个事件，且是三个事件，且求求A,B,CA,B,C至少有一个发生的概率至少有一个发生的概率.解解已知已知由由故故得得所求概率为所求概率为6162练习 对一个5人学习小组考虑生日问题：（1）求5个人的生日都在星期日的概率；（2）5人生日都不在星期日的概率；（3）5人生日不都在星期日的概率。解：（1）设A1表示5人生日都在星期日，基本事件总数75，有利事件仅1个，故 P(A1)=1/75，（2）设A2表示5人生日都不在星期日，有利事件 65个，故P(A2)=65/75 （3）设A3表示5人生日不都在星期日，P(A3)=1-P(A1)=1-1/75