初高中数学衔接知.ppt

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1、初高中数学衔接知识讲座初高中数学衔接知识讲座主讲人：戴新忠 在高中数学学习中，会遇到许多初中没有学到的或学的不深入的知识、定理、技能技巧，而这些东西在高中课堂上是不会给予重点讲解和练习的，也就是说，现有初高中数学教材存在 一定的“脱节”，请各位老师在以后的教学中要有意识的给您的学生补足这些知识。第一部分第一部分现有初高中数学知识存在的现有初高中数学知识存在的“脱节脱节”1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2因式分解初中一般只限于二次项分解，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求

2、，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，

3、轴、直线的 对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不 作 要求，只作定量研究,而高中这部分内容视 为重难点。方程、不等式、函数的综合考查 常成为高考综合题。8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。分章节拓展分章节拓展 第二部分第二部分1.1 数与式的运算数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 12 分解因式分解因式2.1 一元二次方程一元二次方程2.1.1 根的判

4、别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）22 二次函数二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式2.3 方程与不等式方程与不等式2.3.1 一元二次不等式解法31 相似形相似形3.1.1平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形3.2 三角形三角形3.2.1 三角形的“四心”1.1 数与式的运算数与式的运算1.1.1绝对值绝对值绝对值的代数意义绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零 即绝对值的几何意义：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义两个

5、数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，实数a和实数b之间的距离例1 解不等式：4 1.1.2.乘法公式乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式（4）两数和立方公式（5）两数差立方公式对上面列出的五个公式，可让有兴趣的同学自己去证明例例1 计算：例2 已知 ，求 的值 1.1.3二次根式二次根式一般地，形如 的代数式叫做二次根二次根式式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如 和 等是无理式，而 ，等是有理式1分母（子）有理化分母（子

6、）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母分母（子）有理化（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式 2二次根式 的意义例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）；（2）；（3）1.1.分式分式 1分式的意义形如 的式子，若B中含有字母，且 ，则称 为分式分式当M0时，分式 具有下列性质：；上述性质被称为分式的基本性质 2繁分式 像 ，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式例1若 ，求常数 的值 例2（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：（3）证明：对任意大于1的正整

7、数n，有 12 分解因式分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法十字相乘法例例1 分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）；(4)2提取公因式法与分组分解法提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）；（2）3关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于若关于x的方程的方程 的两个实数根是的两个实数根是 、，则二次三项式，则二次三项式 就可分解为就可分解为:例3把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）；（2）2.1 一元二次方程一元二次方程我们知道，对于一元二次方程我们知道，对于一元二次

8、方程:用配方法可以将其变形为用配方法可以将其变形为:因为因为a0，所以，所以，4a20于是于是2.1.1根的判别式根的判别式（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x 1，2 ；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根:x1x2 ；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知:一元二次方程 的根的情况可以由b24ac来判定,我们把b24ac叫做一元二次方程 的根的判别式根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程对于一元二次方程 ，有，有（1）当）当0

9、时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2 ；（2）当）当0时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根 x1x2 ；（3）当）当0时，方程没有实数根时，方程没有实数根例例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30；（2）x2ax10；（3）x2ax(a1)0 （4）x22xa02.1.2 根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 有两个实数根 ，则有一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，

10、x2，那么x1x2 ，x1x2 这一关系也被称为韦达定理 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，例例2 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值例例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值22 二次函数二次函数2.2.1 二次函数二次函数yax2bxc的图像和性质的图像和性质问题问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样 的关系？问题问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间 存在怎样的关系？通过上面

11、的研究，我们可以得到以下结：通过上面的研究，我们可以得到以下结：论：在二次函数论：在二次函数ya(xh)2k(a0)中，中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，正左移，h负右移负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，正上移，k负下移负下移”例例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象例例2 把二次函数yx2bxc的

12、图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值2.2.2 二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式1一般式：一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中顶点坐标是其中顶点坐标是(h，k)3交点式：交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中其中x1，x2是二次函数图象与是二次函数图象与x轴交点的轴交点的 横坐标横坐标例例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式例例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式例例

13、3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式2.3 方程与不等式方程与不等式2.3.1一元二次不等式解法一元二次不等式解法怎样解一元二次不等式怎样解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？呢？我们可以借助于二次函数我们可以借助于二次函数yax2bxc(a0)的图象来解一元二次不等式的图象来解一元二次不等式ax2bxc0 (a0)为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0(a0)，b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解 相应

14、地，抛物线yax2bxc（a0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 xx1，或xx2；不等式ax2bxc0的解为 x1xx2（2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2 ，由图2.32可知不等式ax2bx

15、c0的解为 x ；不等式ax2bxc0无解（3）如果0，抛物线yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由图2.32可知 不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式 例例1 解不等式：（1）x22x30；（2）xx260；（3）4x24x10；（4）x26x90；（5）4xx20例例2 已知不等式 的解是 求不等式 的解31 相似形 3.1.1平行线分线段

16、成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线直线 （如图3.1-1），交直线a于点另作直线b交于点 ，不难发现图3.1-1我们将这个结论一般化，归纳出 平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.例例1 如图3.1-2，且 求 .图3.1-2例2 在 中，为边 上点，求证：图3.1-3从此例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线）

17、，所得的对应线段成（或两边的延长线），所得的对应线段成比例比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例角形的三边对应成比例.内角平分线性质定理 例3 在 中，为 的平分线，求证：例3的结论也称为角平分线性质定理角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.外角平分线性质定理 4如图，在 中，的外角平分线 交 的延长线于点 D，求证：.3.12相似形 学过三角形相似的判定方法，有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例1 如图,在

18、直角三角形ABC中，为直角，.求证：（1），；（2）我们把这个例题的结论称为射影定理射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.相交弦定理弦切角定理切割线定理割线长定理3.2 三角形321 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段.三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为三边B

19、C、CA、AB的中点，求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成 2：1.三角形的内心三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.例2 已知的三边长分别为 ，I I为 的内心，且I I在 的边 上的射影分别为 ，求证：三角形的垂心三角形的垂心 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.角形的外心过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心外心.三角形的外心到三个顶点的

20、距离相等，是三角形各边的垂直平分线的交点.例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.另外可证：三角形的重心、垂心、内心、外心“四心”中，有两心重合的三角形是正三角形初中数学与高中数学衔接紧密的知识点初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 第三部分第三部分1 绝对值绝对值 2 乘法公式乘法公式平方差公式平方差公式 立方差公式立方差公式立方和公式立方和公式 完全平方公式完全平方公式完全立方公式完全立方公式 3 分解因式的方法：分解因式的方法：提公因式法，提公因式法，运用公式法，运用公式法，分组分解法，分组分解法，十字相乘法十字相乘法 4.一元一次方程一元一次方程：5.二元一次方程

21、组二元一次方程组6.不等式与不等式组不等式与不等式组（1）不等式）不等式 （2）不等式的解集）不等式的解集（3）一元一次不等式（）一元一次不等式（4）一元一次不等式组）一元一次不等式组 7.一元二次方程一元二次方程8.8.函数函数（1）变量：因变量，自变量。）变量：因变量，自变量。（2）一次函数：）一次函数：（3）一次函数的图象及性质）一次函数的图象及性质（4）二次函数：）二次函数：（5）二次函数的性质）二次函数的性质9.9.图形的对称图形的对称（1）轴对称图形：）轴对称图形：（2）中心对称图形：）中心对称图形：10 10 平面直角坐标系平面直角坐标系11.统计与概率统计与概率：（1）频率分布直方图）频率分布直方图（2）各类统计图的优劣）各类统计图的优劣（3）平均数）平均数（4）中位数与众数）中位数与众数（5）频数与频率）频数与频率（6）事件的可能性）事件的可能性（7）概率）概率