03、插值与拟合.ppt

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1、数学模型数学模型Mathematica modelling南 昌 大 学 基 础 课 部马 新 生 插值与拟合插值与拟合12/20/20221插插 值值 与与 拟拟 合合2.拟拟 合合 的的 基基 本本 原原 理；线理；线 性性 最最 小二小二 乘乘 拟拟合。合。3.面面 对对 一一 个个 实实 际际 问问 题，应题，应 该该 用用 插插 值，还值，还 是是 拟拟 合。合。1.插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日插值，分段线性插值，三次样条插值。插值，分段线性插值，三次样条插值。12/20/20222插插 值值 问问 题题 实实 例例 1 1标准正态分布

2、函数标准正态分布函数 (x)求求(1.014)(1.014)=0.8438 (0.8461 0.8438)0.4=0.8447查查 函函 数数 表表12/20/20223插插 值值 问问 题题 实实 例例 2 2xy机翼下轮廓线12/20/20224插插 值值 问问 题题 的的 提提 法法已知已知 n+1个节点个节点其中其中互不相同，不妨设互不相同，不妨设求任一插值点求任一插值点处的插值处的插值节点可视为由节点可视为由产生产生,，表达式复杂表达式复杂,，或无封闭形式或无封闭形式,，或未知或未知.。12/20/20225求求 解解 插插 值值 问问 题题 的的 基基 本本 思思 路路 构造一个构

3、造一个(相对简单的相对简单的)函数函数通过全部节点通过全部节点,即即再用再用计算插值，即计算插值，即12/20/202261.1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.1 1.1 插值多项式插值多项式有唯一解有唯一解12/20/202271.1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.2 拉格朗插值多项式又（2）有唯一解，故（3）与（1）相同。12/20/202281.1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.3 1.3 误差估计误差估计12/20/202291.1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.4 1.4 例例 将0,/2 n等分，用g(x)=cos(x)产生n+1个节

4、点，作Ln(x)（取n=1,2),计算cos(/6),估计误差。解解:n=1,(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/2,0),L1(x)=y0l0+y1l1=1-2x/,coscos(/6)=0.6667/6)=0.6667n=2,(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/4,0.7071),(x2,y2)=(/2,0),L2(x)=y0l0+y1l1+y2l2=8(x-/4)(x-/2)/2-16x(x-/2)0.7071/2coscos(/6)=L/6)=L2 2(/6)=0.8508 /6)=0.8508 精确值：精确值：cos cos(/6)=0.8660/6)=0.8

5、66012/20/2022101.1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值1.51.5 拉格朗日插值多项式的振荡To MATLAB(runge)Runge现象现象:12/20/2022112.2.分段线性插值分段线性插值xjxj-1xj+1x0 xn计算量与n无关;n越大，误差越小.12/20/2022123.3.三次样条插值三次样条插值12/20/202213插值方法小结插值方法小结拉格朗日插值（高次多项式插值）：曲线光滑；拉格朗日插值（高次多项式插值）：曲线光滑；误差估计有表达式；收敛性不能保证（振荡现象）误差估计有表达式；收敛性不能保证（振荡现象）。用于理论分析，实际意义不大。用于理论

6、分析，实际意义不大。1.对于n+1个节点，拉格朗日插值为什么用n次多项式，次数大于n或小于n会如何？另外，得到的Ln(x)次数 会不会小于n？2.若产生n+1个节点的g(x)为m次多项式，Ln(x)与g(x)的关系如何（mn)？分段线性和三次样条插值（低次多项式插值）：曲线不光滑分段线性和三次样条插值（低次多项式插值）：曲线不光滑（三次样条插值已大有改进）；误差估计较难（对三次样条（三次样条插值已大有改进）；误差估计较难（对三次样条插值）；收敛性有保证。简单实用，应用广泛。插值）；收敛性有保证。简单实用，应用广泛。思考3.样条插值为什么用3次多项式，而不是2或4次？4.三次样条插值中自然边界条

7、件的几何意义是什么？12/20/2022141.1.拉格朗日插值拉格朗日插值:自编程序自编程序,如名为如名为 lagr1.m 的的M文件，文件，第一行为第一行为 function y=lagr1(x0,y0,x)输入输入:节点节点x0,y0,插值点插值点x(均为均为数组，长度自定义数组，长度自定义)）；）；输出输出:插值插值y(与与x同长度数组同长度数组)）。）。应用时输入应用时输入x0,y0,x后后,运行运行 y=lagr1(x0,y0,x)2.2.分段线性插值分段线性插值:已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x)3.3.三次样条插值三次样条插值:已有程序已有程序 y=inte

8、rp1(x0,y0,x,spline)或或 y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值计算12/20/202215用MATLAB作插值计算为例，作三种插值的比较为例，作三种插值的比较以以To MATLAB(Chazhi1)0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.8000 0.8434 0.7500 0.8205 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.5000 0.3077 0.2353 0.3500 0.2973 2.0000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 2.5000 0.1379

9、 0.2538 0.1500 0.1401 3.0000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 3.5000 0.0755 -0.2262 0.0794 0.0745 4.0000 0.0588 0.0588 0.0588 0.0588 4.5000 0.0471 1.5787 0.0486 0.0484 5.0000 0.0385 0.0385 0.0385 0.0385 x y y1 y2 y312/20/202216xy用MATLAB作插值计算机翼下轮廓线已知下轮廓线上数据如下，求已知下轮廓线上数据如下，求x每改变每改变0.1时的时的y值。值。To MATLAB(Cha

10、zhi2)12/20/202217拟拟 合合 问问 题题 实实 例例 1 1温度温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032已知热敏电阻数据：已知热敏电阻数据：求求60600C时的电阻时的电阻R。设设 R=at+ba,b为待定系数为待定系数12/20/202218拟拟 合合 问问 题题 实实 例例 2 2 t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据已知一室模型

11、快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射注射300mg)求血药浓度随时间的变化规律求血药浓度随时间的变化规律c(t).半对数坐标系半对数坐标系(semilogy)下的图形下的图形12/20/202219曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi)i=1,n,寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x),使使 f(x)在在某种准则下与所有某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线

12、y=f(x)的的距离距离12/20/202220曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的基本思路 先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),mn,令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中其中 a1,a2,am 为待定系数。为待定系数。确定确定a1,a2,am 的的准则（最小二乘准则）：准则（最小二乘准则）：使使n个点个点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的的距离距离 i 的平方和最小的平方和最小。记记问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2,am 使使 J(a1,a2,am)最小。最小

13、。12/20/202221线性最小二乘法的求解线性最小二乘法的求解记当当RTR可逆时，（可逆时，（4 4）有唯一解：）有唯一解：12/20/202222线性最小二乘拟合思考思考2.2.为什么要规定为什么要规定mn,会出现什么情况？会出现什么情况？1.1.a1,am 有唯一有唯一解解1.1.怎样选择怎样选择 r r1 1(x),(x),r rm m(x)(x)，以保证系数以保证系数a1,am 有唯一解？有唯一解？3.3.除了最小二乘准则你认为还可以用怎样的拟合准则除了最小二乘准则你认为还可以用怎样的拟合准则？比较起来，最小二乘准则有什么优点？比较起来，最小二乘准则有什么优点？提示提示若若mn，有

14、无穷多解。有无穷多解。RTR可逆可逆 Rank(RTR)=m Rank(R)=m R列满秩列满秩 r1(x),rm(x)线性无线性无关关若若m0);2.2.血液容积血液容积v,t=0瞬时注射瞬时注射剂量剂量d,血药浓度立即为血药浓度立即为d/v.模型假设模型假设：12/20/202227拟拟 合合 问问 题题 实实 例例 2 2给药方案给药方案 由假设1，由假设2,若若c1=10,c2=25(g/ml),给药方案设计归结为根据数据给药方案设计归结为根据数据(ti,ci)i=1,n(d 给定）给定）拟合曲线拟合曲线c(t),以确定系数以确定系数k,v.快速静脉注射下一室模型的血药浓度快速静脉注射

15、下一室模型的血药浓度c(t)：给药方案给药方案 设计：设计：cc2c10tctc0012/20/202228拟拟 合合 问问 题题 实实 例例 2 2给药方案给药方案 血药浓度数据血药浓度数据(t=0注射注射300mg)t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01记记则则To MATLAB(xueyao)思考思考:：取对数化为线性最小二乘：取对数化为线性最小二乘,对结果有什么影响对结果有什么影响？12/20/202229布置“插值与拟合”实验目的目的1.1.掌握用掌握用M

16、ATLAB计算三种插值的方法，并对结计算三种插值的方法，并对结果作初步分析果作初步分析；2.2.掌握用掌握用MATLAB作作线性最小二乘的方法；线性最小二乘的方法；内容内容预备：编制计算拉格朗日插值的预备：编制计算拉格朗日插值的M文件文件.1.1.a,b,c,d任选其二；，任选其一；任选其二；，任选其一；，任选其一；选做。，任选其一；选做。要求要求1.1.目的。目的。2.2.内容（对每一题）：模型（对应用题）内容（对每一题）：模型（对应用题）；算法设计；计算结果；结果分析；附程序（必要时；算法设计；计算结果；结果分析；附程序（必要时加说明语句）。加说明语句）。3.3.收获和建议。收获和建议。3.3.用插值或拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。用插值或拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。12/20/202230