第概率论与数理统计课件(中国矿业大学)八章 2012.ppt

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1、第八章假 设 检 验二二、单个正态总体均值和方差、单个正态总体均值和方差一一、参数的假设检验、参数的假设检验 的假设检验的假设检验 三三、两个正态总体参数的假设检验、两个正态总体参数的假设检验 假设检验的基本概念假设检验的基本概念若对若对参数参数有所有所了解了解但有怀但有怀疑猜测疑猜测需要证需要证实之时实之时用假设用假设检验的检验的方法来方法来处理处理若对参数若对参数一无所知一无所知用参数估计用参数估计的方法处理的方法处理 假设检验是指施加于一个或多个总体的假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设概率分布或参数的假设.所作假设可以是正所作假设可以是正确的确的,也可以是错误的也可以

2、是错误的.为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确,从总体中抽从总体中抽取样本取样本,根据样本的取值根据样本的取值,按一定原则进行检验按一定原则进行检验,然后作出接受或拒绝所作假设的决定然后作出接受或拒绝所作假设的决定.何为何为假设检验假设检验?假设检验所以可行假设检验所以可行,其理论背景为实际其理论背景为实际推断原理推断原理,即即“小概率原理小概率原理”。假设检验的内容假设检验的内容参数检验参数检验非参数检验非参数检验总体均值总体均值,均值差的检验均值差的检验总体方差总体方差,方差比的检验方差比的检验分布拟合检验分布拟合检验符号检验符号检验秩和检验秩和检验假设检验的理论依据假设检验的

3、理论依据基本思想基本思想通过大量实践，通过大量实践，人们对小概率事件人们对小概率事件(即一次试验中即一次试验中发生发生的的概率很小的事情）总结出一条原理：概率很小的事情）总结出一条原理：并称此并称此为为实际推断原理，实际推断原理，其为其为判断假设的根据。判断假设的根据。在在假设检验时，假设检验时，若若一次试验中小概率事件发生了一次试验中小概率事件发生了,就认为是不合理的。就认为是不合理的。小概率事件在一次试验中发小概率事件在一次试验中发生的概率记为生的概率记为，一般取一般取在在假设检验中假设检验中,称称为为显著水平、检验水平显著水平、检验水平。小概率事件在一次试验中几乎不会发生小概率事件在一次

4、试验中几乎不会发生。下面我们指出这很符合人们的逻辑下面我们指出这很符合人们的逻辑,实际上这种实际上这种思维称为思维称为 带概率性质的反证法带概率性质的反证法 u 通常的反证法设定一个假设以后通常的反证法设定一个假设以后,如果出现的事如果出现的事实与之矛盾实与之矛盾,(,(即如果这个假设是正确的即如果这个假设是正确的话话,出现一个出现一个概率等于概率等于0 0的事件的事件)则绝对地否定假设则绝对地否定假设.u 带概率性质的反证法的逻辑是带概率性质的反证法的逻辑是:即如果假设即如果假设H0是正确的是正确的话话,出现一个概率很小的出现一个概率很小的 事件事件,则以很大的把握否定假设则以很大的把握否定

5、假设H0.某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉,按标准强度为按标准强度为68/mm68/mm2 2,而而实际生产的强度实际生产的强度X服服N(,3.6,3.62 2).).若若E E(X)=)=68,=68,则则认为这批螺钉符合要求认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求否则认为不符合要求.为此为此提出如下假设提出如下假设:H0:=68 称为称为原假设原假设或或零假设零假设 原假设的对立面原假设的对立面:H1:68 称为称为备择假设备择假设引例引例假设检验假设检验的的任务任务必须在原假设与必须在原假设与备择假设备择假设 之间作一选择之间作一选择若原假设正确若原假设正确,则则因而因而,即即偏离偏离68不

6、应该太远不应该太远,故故取较大值是小概率事件取较大值是小概率事件.可以确定一个常数可以确定一个常数c c 使得使得因此因此,取取 ,则则 现从整批螺钉中取容量为现从整批螺钉中取容量为3636的样本的样本,其均其均值为值为 ,问原假设是否正确问原假设是否正确?由由为检验的为检验的接受域接受域(实际上没理由拒绝实际上没理由拒绝),现现落入接受域落入接受域,则接受原假设则接受原假设即区间即区间(,66.824)与与(69.18,+)为检为检验的验的拒绝域拒绝域称称 的取值区间的取值区间(66.824,69.18)H0:=68 由引例可见由引例可见,在给定在给定 的前提下的前提下,接受还接受还是拒绝原

7、假设完全取决于样本值是拒绝原假设完全取决于样本值,因此所作因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：检验可能导致以下两类错误的产生：第一类错误弃真错误弃真错误第二类错误取伪错误取伪错误正确正确正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类错误 犯第一类错误的概率通常记为犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为 H0 为真为真H0 为假为假真实情况真实情况所作判断所作判断接受接受 H0拒绝拒绝 H0第一类错误第一类错误(弃真弃真)第二类错误第二类错误(取伪取伪)任何检验方法都不能完全排除犯错任何检验方法都不能完全排除犯错 假设检验的指导思想是控制犯第一类假设检验的

8、指导思想是控制犯第一类误的可能性误的可能性.理想的检验方法应使犯两类理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小错误的概率都很小,但在样本容量给定的但在样本容量给定的情形下情形下,不可能使两者都很小不可能使两者都很小,降低一个降低一个,往往使另一个增大往往使另一个增大.错误的概率不超过错误的概率不超过,然后然后,若有必要若有必要,通通过增大样本容量的方法来减少过增大样本容量的方法来减少 .显著性检验显著性检验：只对犯第一类错误的概率加以控制，只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率。而不考虑犯第二类错误的概率。称称 为显著性水平为显著性水平。P拒绝拒绝|为真为真 不否定不否定H0

9、并不是肯定并不是肯定H0一定对，而只是说差一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度的程度.8.2 单个正态总体均值与方差的假设检验单个正态总体均值与方差的假设检验设设总体总体为为X的样本。的样本。我们对我们对,2 2作作显著性检验显著性检验一、总体均值一、总体均值的的假设检验假设检验1、已知、已知2，检验检验统计量：统计量：U 检验检验拒绝域：拒绝域：某某车间用一台包装机包装葡萄糖车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖包得的袋装糖当机器正常时当机器正常时,某日开工后为检验包装机是否正常某日开工后为检验包装机是否正常,包装的糖包装的糖9 9袋

10、袋,称得净重为称得净重为(公斤公斤):):0.497 0.506 0.518 0.524 0.4980.511 0.520 0.515 0.512问问机器是否正常机器是否正常?例例1 1重是一个随机变量重是一个随机变量X,且且其均值为其均值为=0.5=0.5公斤公斤,标准差标准差=0.015=0.015公斤公斤.随机地抽取它所随机地抽取它所解：解：先提出假设先提出假设（=0.05=0.05）统计量：统计量：拒绝域：拒绝域：代入计算，代入计算，双边假设检验双边假设检验左边假设检验左边假设检验右边假设检验右边假设检验对于给定的显著水平对于给定的显著水平，我们来求我们来求右边检验问题右边检验问题的的

11、拒绝域拒绝域。总体总体，其中其中已知，已知，的的无偏估计无偏估计拒绝域形式为拒绝域形式为所以所以拒绝域为拒绝域为同理同理左边假设检验左边假设检验拒绝域为拒绝域为例例2 2解解 先提出假设先提出假设拒绝域为拒绝域为某某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率X 服从服从，正常时均值为，正常时均值为=40=40生产一批推进器，从中随机取生产一批推进器，从中随机取n n=25=25只，测得燃烧率只，测得燃烧率得得样本均值样本均值，问工艺革新后燃烧率，问工艺革新后燃烧率正态分布，即正态分布，即cm/scm/s，标准差标准差=2cm/s=2cm/s（不变）不变）,现用新的生产方法

12、现用新的生产方法（=0.05=0.05）是否有显著的提高是否有显著的提高?计算计算查表查表所以落在了拒绝域之内，拒绝所以落在了拒绝域之内，拒绝H0，接受接受H1 认为工艺革新后燃烧率有显著的提高。认为工艺革新后燃烧率有显著的提高。2未知，检验未知，检验（t 检验法）检验法）双边假设检验双边假设检验，拒绝域为，拒绝域为可用样本方差可用样本方差代替代替2 2统计量统计量右边假设检验右边假设检验拒绝域为拒绝域为左边假设检验左边假设检验拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为解解 先提出假设先提出假设计算计算8.28.2，7.87.8，7.97.9，8.28.2，8.18.1，8.08.0，问是否有理由认，问

13、是否有理由认为为零件的长度大于零件的长度大于8.08.0？某某零件的长度零件的长度其中其中1010个零件的长度量为：个零件的长度量为：8.18.1，7.97.9，8.28.2，8.08.0，（=0.05=0.05）未知，实测未知，实测例例3 3查表得查表得所以所以故没有落在拒绝域之内，拒绝故没有落在拒绝域之内，拒绝 H1，接受接受H0不能认为零件的标准长度大于不能认为零件的标准长度大于8.0。某次某次考试的考生成绩考试的考生成绩从中随机地抽取从中随机地抽取3636位考生的成绩，平均成绩为位考生的成绩，平均成绩为63.563.5分，分，未知，未知，例例4 4标准差标准差 s=15分，分，问在显著

14、水平问在显著水平0.05下是否可以认为下是否可以认为全体考生的平均成绩为全体考生的平均成绩为70分？分？求求的的置信水平为置信水平为0.95的置信区间。的置信区间。拒绝域为拒绝域为解解 先提出假设先提出假设计算计算故落在拒绝域之内，拒绝故落在拒绝域之内，拒绝H0，接受接受H1即不能认为全体考生的平均成绩为即不能认为全体考生的平均成绩为70分。分。的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为二、单个正态总体方差的假设检验二、单个正态总体方差的假设检验设设总体总体为为X 的的样本。对样本。对2 作显著性检验作显著性检验（，其中其中检验）检验）引例引例 已知某种延期药静止燃烧时间已知某种

15、延期药静止燃烧时间今从今从一批延期药中任取一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位副测得静止燃烧时间（单位秒）数据为秒）数据为问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为的方差为解解 提出假设提出假设取取统计量统计量说明说明或或在在H0成立的条件下都是成立的条件下都是小概率事件。小概率事件。因此，因此，在在样本值样本值下下计算计算若若或或则则拒绝拒绝H0。若若则则接受接受H0。本题本题根据样本值算得根据样本值算得双边假设检验双边假设检验拒绝域为拒绝域为或或则接受则接受H0。即可信延期药的静止燃烧时间即可信延期药的静止燃烧时间T的方差为的方差为显然显然因

16、此由上例可得因此由上例可得右边假设检验右边假设检验拒绝域为拒绝域为左边假设检验左边假设检验拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为解解于于80 80?(=0.05)=0.05),熔熔化化时时间间电工器材厂生产一批保险丝，电工器材厂生产一批保险丝，取取1010根测得其熔化根测得其熔化时间为时间为 42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等例例5 5提出假设提出假设其中其中所以未落在拒绝域内，即接受所以未落在拒绝域内，即接受H0。可以认为

17、整批保险丝的熔化时间的方差小于等于可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于8080。某某学生参加体育培训班结束时其跳远成绩学生参加体育培训班结束时其跳远成绩X 近似近似例例6 6服从正态分布，鉴定成绩是均值为服从正态分布，鉴定成绩是均值为576cm，标准差为标准差为8cm，若干天后对该学生独立抽查若干天后对该学生独立抽查10次，得跳远成绩次，得跳远成绩数据为数据为578，572，580，568，572，570，572，570，596，584，问该学生跳远成绩水平是否与鉴定成绩有，问该学生跳远成绩水平是否与鉴定成绩有显著差异？（显著差异？（=0.05）解解 提出假设提出假设取取统计量统计量查表

18、查表拒绝域为拒绝域为其中其中或或由于由于即可以认为即可以认为,未落在拒绝域之内未落在拒绝域之内,故接受故接受H0。提出假设提出假设取取统计量统计量查表查表拒绝域为拒绝域为其中其中综合综合与与,该生跳远成绩水平与鉴定成绩无显著差异该生跳远成绩水平与鉴定成绩无显著差异.因此未落在拒绝域之内因此未落在拒绝域之内,故接受故接受H0,即可以认为即可以认为两个正态总体参数的假设检验 第八章 第三节一、两个正态总体一、两个正态总体均值差均值差的假设检验的假设检验二、两个正态总体二、两个正态总体方差方差的假设检验的假设检验设设为为总体总体的的一个样本一个样本,为为总体总体相互独立。记相互独立。记的的一个样本一

19、个样本,X与与Y一、两个正态总体均值差的假设检验一、两个正态总体均值差的假设检验均为已知均为已知,关于关于的的假设检验假设检验双边假设检验双边假设检验其中其中为为已知常数。已知常数。统计量统计量(当当H0 为真为真)左边假设检验左边假设检验右边假设检验右边假设检验故拒绝域为故拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为未知未知,关于关于的的假设检验假设检验双边假设检验双边假设检验其中其中为为已知常数。已知常数。统计量统计量(当当H0 为真为真)左边假设检验左边假设检验右边假设检验右边假设检验故拒绝域为故拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为注意：注意：在关于在关于的的假设检验中，通常假设检验中，

20、通常=0，即即检验检验是否成立。是否成立。相互独立相互独立,从从X 中取中取1010个样本，个样本，问，问能否能否例例1 1 假设总体假设总体认为认为从从Y 中取中取1010个样本，个样本，？（？（=0.05=0.05）解解 提出假设提出假设未知未知故拒绝域为故拒绝域为计算计算未落在拒绝域之内未落在拒绝域之内,接受接受H0,可以认为可以认为二、两个正态总体方差的假设检验二、两个正态总体方差的假设检验均均未知的条件下未知的条件下双边假设检验双边假设检验选取统计量选取统计量(当当H0 为真为真)故拒绝域为故拒绝域为或或左边假设检验左边假设检验右边假设检验右边假设检验拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为

21、假设测定结果服从正态分布假设测定结果服从正态分布（1 1）在检验水平为）在检验水平为=0.01=0.01条件下，能否认为条件下，能否认为（2 2）求）求的置信度为的置信度为90%90%的置信区间，并对结果的置信区间，并对结果加以说明。加以说明。例例 设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8 8件和件和9 9件件产品，测其性能指标产品，测其性能指标X，得到两组数据，经对其作相得到两组数据，经对其作相应运算得应运算得解解 提出假设提出假设拒绝域为拒绝域为或或计算计算显然显然 求

22、置信区间。由求置信区间。由知知未落在拒绝域之内未落在拒绝域之内,接受接受H0,可以认为可以认为,故故因为此区间包含因为此区间包含0，故可以认为两总体均值差为，故可以认为两总体均值差为0。确定原假设和被择假设的原则确定原假设和被择假设的原则:等号必须放在原假设里等号必须放在原假设里例例1 1 某厂生产小型马达某厂生产小型马达,说明书上写着说明书上写着:这种小型马达在正常负载下平均消耗这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过电流不会超过0.8 安培安培.现现随随机机抽抽取取16台台马马达达试试验验,求求得得平平均均消消耗耗电电流流为为0.92安安培培,消消耗耗电电流流的的标标准差为准差为0.3

23、2安培安培.假假设设马马达达所所消消耗耗的的电电流流服服从从正正态态分分布布,取取显显著著性性水水平平为为 =0.05,问问根根据据这这个样本个样本,能否否定厂方的断言能否否定厂方的断言?解解 根据题意待检假设可设为根据题意待检假设可设为 H0:0.8；H1:0.8 未知未知,故故选检验统计量选检验统计量:查表得查表得 t0.05(15)=1.753,故拒绝域为故拒绝域为现现故接受原假设故接受原假设,即不能否定厂方断言即不能否定厂方断言.解二解二 H0:0.8；H1:0.8 选用统计量选用统计量:查表得查表得 t0.05(15)=1.753,故拒绝域故拒绝域现现故接受原假设故接受原假设,即否定

24、厂方断言即否定厂方断言.由例由例1 1可见可见:对问题的提法不同对问题的提法不同(把哪把哪个假设作为原假设个假设作为原假设),),统计检验的结果也会统计检验的结果也会不同不同.上述两种解法的立场不同，因此上述两种解法的立场不同，因此得到不同的结论得到不同的结论.第一种假设是不轻易否定厂方的结论；第二种假设是不轻易相信厂方的结论.由于假设检验是控制犯第一类错误由于假设检验是控制犯第一类错误的概率的概率,使得拒绝原假设使得拒绝原假设H0的决策变得比的决策变得比较慎重较慎重,也就是也就是H0 得到特别的保护得到特别的保护.因而因而,通常把有把握的通常把有把握的,经验的结论作为原假设经验的结论作为原假

25、设,或者尽量使后果严重的错误成为第一类或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误错误.母亲嗜酒是否影响下一代的健康母亲嗜酒是否影响下一代的健康 美美国国的的Jones医医生生于于1974年年观观察察了了母母亲亲在在妊妊娠娠时时曾曾患患慢慢性性酒酒精精中中毒毒的的6名名七七岁岁儿儿童童（称称为为甲甲组组）.以以母母亲亲的的年年龄龄，文文化化程程度度及及婚婚姻姻状状况况与与前前6名名儿儿童童的的母母亲亲相相同同或或相相近近，但但不不饮饮酒酒的的46名名七七岁岁儿儿童童为为对对照照租租(称称为为乙乙组组).测测定定两两组儿童的智商，结果如下：组儿童的智商，结果如下：课后思考题课后思考题甲甲 组组 6 7

26、8 19乙乙 组组 46 99 16人数人数智商平均数智商平均数样本标准差样本标准差智商智商组别组别 由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？若有影响，推断其影响程度有代的智力？若有影响，推断其影响程度有多大多大?提示提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题 智商一般受诸多因素的影响智商一般受诸多因素的影响.从而可以从而可以 本问题实际是检验甲组总体的均值是本问题实际是检验甲组总体的均值是否比乙组总体的均值偏小否比乙组总体的均值偏小?若是，这个差异范围有多大若是，这个差异范围有多大?前一问前一问题属假设检验，后一问题属区间估计题属假设检验，后一问题

27、属区间估计.解解假定两组儿童的智商服从正态分布假定两组儿童的智商服从正态分布.由于两个总体的方差未知，而甲组由于两个总体的方差未知，而甲组的样本容量较小，因此采用大样本下两的样本容量较小，因此采用大样本下两总体均值比较的总体均值比较的U检验法似乎不妥检验法似乎不妥.故故当当 为真时，统计量为真时，统计量 采用方差相等采用方差相等(但未知但未知)时，两正态总体时，两正态总体均值比较的均值比较的t检验法对第一个问题作出检验法对第一个问题作出回答回答.为此为此,利用样本先检验两总体方差利用样本先检验两总体方差是否相等，即检验假设是否相等，即检验假设拒绝域为拒绝域为 未落在拒绝域内，故接受未落在拒绝域

28、内，故接受 .即可认为即可认为两总体方差相等两总体方差相等.下面用下面用 t 检验法检检验法检验验 是否比是否比 显著偏小？显著偏小？即检验假设即检验假设当当 为真时，检验统计量为真时，检验统计量 其中其中 嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响.落在拒绝域内，故拒绝落在拒绝域内，故拒绝 .即认为母亲即认为母亲 下面继续考察这种不良影响的程度下面继续考察这种不良影响的程度.为此要对两总体均值差进行区间估计为此要对两总体均值差进行区间估计.取取 于是置信度为于是置信度为 99%的置信区间为的置信区间为 由此可断言：在由此可断言：在99%的置信度下，嗜酒的置信度下，嗜酒母

29、亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要低低 2.09 到到 39.91.故故限限制制显显著著性性水水平平的的原原则则体体现现了了“保保护护零零假假设设”的的原原则则.注注 大家是否注意到，在解决问题时，大家是否注意到，在解决问题时，两次假设检验所取的显著性水平不同两次假设检验所取的显著性水平不同.前者远前者远在检验方差相等时，取在检验方差相等时，取 ;在在检验均值是否相等时取检验均值是否相等时取 .比后者大比后者大.为何这样取呢为何这样取呢?因为检验的结因为检验的结果与检验的显著性水平果与检验的显著

30、性水平 有关有关.小，则拒绝域也会小，产生的后小，则拒绝域也会小，产生的后果使零假设难以被拒绝果使零假设难以被拒绝.在在 较大时较大时,若能接受若能接受 ,说明说明为真的依据很充足为真的依据很充足;同样，在同样，在 很小时，很小时，我们仍然拒绝我们仍然拒绝 .说明说明 不真的理由就不真的理由就更充足更充足.说明在所给数据下，得出相应的说明在所给数据下，得出相应的本例中本例中,对对 ,仍得出仍得出 可被接受可被接受,及对及对 ,可被拒绝可被拒绝的结论的结论.结论有很充足的理由结论有很充足的理由.另外在区间估计中，取较小的置信另外在区间估计中，取较小的置信 若反之若反之,取较大的置信水平，则可取较大的置信水平，则可水平水平 (即较大的置信度即较大的置信度),从而使从而使得区间估计的范围较大得区间估计的范围较大.减少估计区间的长度，使区间估计精确减少估计区间的长度，使区间估计精确提高，但相应地区间估计的可靠度降低提高，但相应地区间估计的可靠度降低了，即要冒更大的风险了，即要冒更大的风险.