大学概率论之条件概率,乘法公式.ppt

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1、问题的提出问题的提出：1)共共n张彩票，有张彩票，有3张中彩张中彩.问：问：第第2个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？2)共共n张彩票，有张彩票，有3张中彩张中彩.问：问：已知已知第第l个人摸中，则个人摸中，则 第第2个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式39 有二个箱子有二个箱子,分别编号为分别编号为1,2.1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球.某人从某人从1号箱中任取一号箱中任取一球放入球放入2号箱号箱,再从再从2号箱中任意摸出一球号箱中任意摸出一球,求已知从求已知从1号箱取出白球的条件下从号箱

2、取出白球的条件下从2号箱取得红球号箱取得红球的概率的概率.记记 A=从从1号箱取得白球号箱取得白球,B=从从2号箱取得红球号箱取得红球12条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式40同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下发生的条件下事件事件 A发生的概率，发生的概率，简称简称A对对B的条件概率的条件概率.定义定义为事件为事件 A 发生的条件下发生的条件下事件事件 B 发生的概率，发生的概率，简称简称B对对A的条件概率的条件概率.41 1)缩减样本空间缩减样本空间：将将 缩减为缩减为 A=A，采用古典概型来计算，采用古典概型来计算.2)用定义用定义：条件概率条件概率 P(B|A)的计算的计算

3、42条件概率条件概率 有何不同有何不同?条件概率条件概率P(B|A)中，中，A与与B地位不同，且已知地位不同，且已知A已发生作为条件。在概率已发生作为条件。在概率P(AB）中，）中，A，B同时同时发生，地位相同。在应用时必须区别是发生，地位相同。在应用时必须区别是例如从例如从6个正品个正品2个次品的袋中，无放回抽个次品的袋中，无放回抽取取2次，一次取一个。次，一次取一个。A=第一次为正品第一次为正品，B=第二次为次品第二次为次品，求（，求（1）第二次才）第二次才取到次品的概率（取到次品的概率（2）已知第一次取到正）已知第一次取到正品，品，B发生的概率。发生的概率。43性质性质条件概率是概率条件

4、概率是概率44例例1 1 盒中装有盒中装有5个产品个产品,其中其中3个一等品，个一等品，2个个二等品二等品,从中不放回地取产品从中不放回地取产品,每次每次1个个,已知已知第一次取得一等品，求第二次取得的是二等第一次取得一等品，求第二次取得的是二等品的概率品的概率.解解 令令 Ai=第第 i次取到一等品次取到一等品，（1）45例例2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8,活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4,如果现在有一只如果现在有一只20岁的这种动物岁的这种动物,问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少?解：设解：设 A=

5、活活 20 岁以上岁以上，B=活活 25 岁以上岁以上则有则有46(1)若若 P(B)0，则则 P(AB)=P(B)P(A|B)；若若 P(A)0，则则 P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若若 P(A1A2 An 1)0，则则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2 An 1)乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.利用条件概率求积事件的概率即乘法公式利用条件概率求积事件的概率即乘法公式乘法公式乘法公式47例例3 3 盒中装有盒中装有5个产品个产品,其中其中3个一等个一等品，品，2个二等品个二等品,从中不放回地取产品从

6、中不放回地取产品,每次每次1个个,求求（1）取两次，两次都取得一等品的概率）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率;解解 令令 Ai=第第 i 次取到一等品次取到一等品（1）（也可直接按古典概型算（也可直接按古典概型算48(2)4950一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球.随机地抽取随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与个与所抽出的球具有相同颜色的球所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取

7、到红，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率球的概率.波里亚罐子波里亚罐子(传染病）模型传染病）模型b个白球个白球,r个红球个红球51于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球个白球,r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球.解解 设设 Wi=第第i次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球，j=1,2,3,4

8、52用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率.这是一个传染病模型这是一个传染病模型.每次每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)53乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球.随机地抽随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个个与所抽出的球具

9、有相同颜色的球与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四这种手续进行四次次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率红球的概率.b个白球个白球,r个红球个红球波里亚罐子模型波里亚罐子模型54于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球个白球,r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球.解解 设设 Wi=第第i次取

10、出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球，j=1,2,3,455用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率.这是一个传染病模型这是一个传染病模型.每次每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)565710个考签中有个考签中有4个难签，个难签，3人参加抽签（不放回）人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后。求，甲先

11、、乙次、丙最后。求1）甲抽到难签的概）甲抽到难签的概率；率；2）甲、乙都抽到难签的概率；）甲、乙都抽到难签的概率；3）甲没有）甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率；抽到难签，而乙抽到难签的概率；4）甲乙丙都）甲乙丙都抽到难签的概率抽到难签的概率.解：设事件解：设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签分别表示甲、乙、丙抽到难签练习练习57在标有在标有1,2,3,4,5这这5个数字的卡片里个数字的卡片里,无放回地抽取无放回地抽取两次两次,一次一张一次一张,求求 (1)第一次取到奇数卡片的概率第一次取到奇数卡片的概率;(2)已知第一次取到偶数已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片求第二次取到奇数卡片的概率的概率;(3)第二次才取到奇数卡片的概率第二次才取到奇数卡片的概率.解解 设设A,B分别表示第一次和第二次取到奇数分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件卡片这两个事件,则则P(A)=练习练习58