单自由度系统自由振动.ppt

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1、1机械振动理论机械振动理论单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2 教学内容教学内容单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼3l 无阻尼自由振动无阻尼自由振动令令 x 为位移，以质量块的为位移，以质量块的静平衡位置静平衡位置为坐标原点，为坐标原点，为静变形为静变形当系统受到初始扰动时，由牛顿第二当系统受到初始扰动时，由牛顿第

2、二定律，得：定律，得：在静平衡位置：在静平衡位置：固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程：0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置0 x静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置m动画动画1单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动4固有振动或自由振动微分方程固有振动或自由振动微分方程：令令：单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s）则有则有：通解通解：任意常数，由初始条件决定任意常数，由初始条件决定 振幅振幅：初相位初相位：固有频率固有频率固有频率固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动5相位滞后相位滞后单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动6系统固有的数值

3、特征系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系何进行振动的方式都毫无关系 不是系统的固有属性的数字特征不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动7考虑系统在初始扰动下的自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动 设设 的初始位移和初始速度为：的初始位移和初始速度为：令令：有有：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动8时刻以后的自由振动解为：时刻以后的自由振动解为：零时刻的初始条件：零时刻的初始条件

4、：零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动9零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止为振动频率的简谐振动，并且永无休止初始条件的说明：初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的初始条件是外界能量转入的一种方式，有一种方式，有初始位移初始位移即转即转入了入了弹性势能弹性势能，有，有初始速度初始速度即转入了即转入了动能动能单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动10零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动

5、：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止为振动频率的简谐振动，并且永无休止 初始条件：初始条件：固有频率从左到右：固有频率从左到右：时间时间位置位置单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动11固有频率计算的另一种方式：固有频率计算的另一种方式：在静平衡位置：在静平衡位置：则有：则有：对于不易得到对于不易得到 m 和和 k 的系统，若能测出静变形的系统，若能测出静变形 ，则用该，则用该式计算是较为方便的式计算是较为方便的0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置单自由度系统自由振动单自由度系

6、统自由振动12例：例：提升机系统提升机系统重物重重物重 量量钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 重物以重物以 的速度均匀下降的速度均匀下降 求：绳的上端突然被卡住时，求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力）钢丝绳中的最大张力 Wv单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动13解：解：振动频率振动频率重物匀速下降时处于静平衡位重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置住瞬时重物所在位置 则则 t=0 时，有：时，有：振动解：振动解：W静平衡位置静平衡位置kxWv单自由度系统自由振动单自由度系统

7、自由振动14振动解：振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和动张力之和：动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半 由于由于 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度 Wv单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动15例：例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度 EJ求：梁的自由振动频率和最大挠度求：梁的自由振动频率和最大挠度mh0l/2l/2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动16解：解：由材料力学由材料力学：自

8、由振动频率为自由振动频率为：取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立坐标系坐标系静变形静变形mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动17撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有：则自由振动振幅为则自由振动振幅为：梁的最大扰度：梁的最大扰度：mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动18例：圆盘转动例：圆盘转动圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I在圆盘的静平衡位置上任意选一根在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置半径作为角位移的

9、起点位置扭振固有频率扭振固有频率为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动由由上上例例可可看看出出，角角振振动动与与直直线线振振动动的的数数学学描描述述完完全全相相同同。如如果果在在弹弹簧簧质质量量系系统统中中将将 m、k 称称为为广广义义质质量量及及广广义义刚刚度度，则则弹弹簧簧质质量量系系统统的的有有关关结结论论完完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的 0mx静平衡位置静平衡位置弹簧

10、原长位置弹簧原长位置单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动从从前前面面两两种种形形式式的的振振动动看看到到，单单自自由由度度无无阻阻尼尼系系统统总总包包含含着着惯惯性性元元件件和和弹弹性性元元件件两两种种基基本本元元件件，惯惯性性元元件件是是感感受受加加速速度度的的元元件件，它它表表现现为为系系统统的的质质量量或或转转动动惯惯量量，而而弹弹性性元元件件是是产产生生使使系系统统恢恢复复原原来来状状态态的的恢恢复复力力的的元元件件，它它表表现现为为具具有有刚刚度度或或扭扭转转刚刚度度的的弹弹性性体体。同同一一个个系系统统中中，若若惯惯性性增增加加，则则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大

11、使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动21例：复摆例：复摆刚体质量刚体质量 m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量 重心重心 C 求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 a0C单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动22解：解：由牛顿定律由牛顿定律：因为微振动：因为微振动：则有则有：固有频率固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率 ，则可求出

12、，则可求出 ，再由移轴定理，可，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：得物质绕质心的转动惯量：a0C单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动23例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角斜面倾角 300质量质量 m=1kg弹簧刚度弹簧刚度 k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零开始时弹簧无伸长，且速度为零求：求：系统的运动方程系统的运动方程m300重力加速度取重力加速度取 9.8单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动24解：解：以静平衡位置为坐标原点以静平衡位置为坐标原点建立坐标系建立坐标系振动固有频率：振动固有频率：振动初始条件：振动初始条件：

13、考虑方向考虑方向初始速度：初始速度：运动方程：运动方程：m300如如果果系系统统竖竖直直放放置置，振振动动频频率率是是否改变？否改变？单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动25教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动26能量法能量法对对于于不不计计阻阻尼尼即即认认为为没没有有能能量量损损失失的的单单自自由由度

14、度系系统统，也也可可以以利利用用能能量量守守恒恒原原理理建建立立自自由由振振动动的的微微分分方方程程，或或直直接接求求出出系系统的固有频率统的固有频率无无阻阻尼尼系系统统为为保保守守系系统统，其其机机械械能能守守恒恒，即即动动能能 T 和和势势能能 V 之和保持不变之和保持不变，即：，即：或：或：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动弹簧质量系统弹簧质量系统 动能：动能：势能：势能：（重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能）不可能恒为不可能恒为 0 0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置零势能点零势能点单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动如果将坐标原点不是取在系统的静平

15、衡位如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：动能：势能：势能：设新坐标设新坐标 0mx零势能点零势能点y静平衡位置静平衡位置弹簧原长弹簧原长如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项置上，方程中就不会出现重力项置上，方程中就不会出现重力项置上，方程中就不会出

16、现重力项单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动29考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大能为零，动能达到最大最大位移位置，系统动最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大能为零，势能达到最大对于转动：对于转动：x 是广义的是广义的0mx静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mx单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动30例：如图所示倒置的摆例：如图所示倒置的摆 摆球质量摆球质量 m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 求求:(1)倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作

17、微幅振动时的固有频率(2)摆球摆球 时，测得频率时，测得频率 为为 ，时，时，测得频率为测得频率为 ，问摆球质量为多少千克时恰使系，问摆球质量为多少千克时恰使系 统处于不稳定平衡状态？统处于不稳定平衡状态？lmak/2k/2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动31解法解法1：广义坐标广义坐标动能动能势能势能零势能位置零势能位置1零势能位置零势能位置1lmak/2k/2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动32解法解法2：零势能位置零势能位置2动能动能势能势能零势能位置零势能位置2lmak/2k/2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动33例：均质圆柱例：均质圆柱质量质量m，半径，半径R

18、与地面纯滚动与地面纯滚动在在A、B点挂有弹簧点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动34解：解：k1abRk1k2k2AB广义坐标：圆柱微转角广义坐标：圆柱微转角圆柱做一般运动，由柯希圆柱做一般运动，由柯希尼定理，动能：尼定理，动能：C点为运动瞬心点为运动瞬心势能：势能：CA点速度：点速度：B点速度：点速度：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动35解：解：k1abRk1k2k2AB动能：动能：势能：势能：C单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动36k1Rk2M m 例：例：铅垂平面内一个滑轮铅垂平面内一个

19、滑轮-质量质量-弹簧系统弹簧系统确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率滑轮为匀质圆柱滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。端与地面固结。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动37解：解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x动能：动能：x势能：势能：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动38解：解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x动能：动能：x势能：势能：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动39教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻

20、尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动40瑞利法瑞利法 利利用用能能量量法法求求解解固固有有频频率率时时，对对于于系系统统的的动动能能的的计计算算只只 考考虑虑了了惯惯性性元元件件的的动动能能，而而忽忽略略不不计计弹弹性性元元件件的的质质量量所所具具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限mkx0

21、这这种种简简化化方方法法在在许许多多场场合合中中都都能能满满足足要要求求，但但有有些些工工程程 问问题题中中，弹弹性性元元件件本本身身的的质质量量因因占占系系统统总总质质量量相相当当大大的的比比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能:系统最大动能：系统最大动能：系统最大势能：系统最大势能：若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 弹簧等效质量弹簧等效质量 mtmkx0因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限单自

22、由度系统自由振动单自由度系统自由振动42教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动43等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：当当 、分别取最大值时：分别取最大值时：则可得出：则可得出：Ke：简化系统的

23、等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动44动能动能势能势能零势能位置零势能位置1lmak/2k/2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动45k1abRk1k2k2AB动能动能势能势能单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动46k1Rk2M m x动能动能势能势能单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动47方法方法2：定义法：定义法等等效效刚刚度度：使使系系统统在在选选定定的的坐坐标标上上产产生生单单位位位位移移而而需需要

24、要在在此此坐坐标标方方向向上上施施加加的的力力，叫叫做做系系统统在在这这个个坐坐标标上上的的等效刚度等效刚度等等效效质质量量：使使系系统统在在选选定定的的坐坐标标上上产产生生单单位位加加速速度度而而需需要要在在此此坐坐标标方方向向上上施施加加的的力力，叫叫做做系系统统在在这这个个坐坐标标上上的等效质量的等效质量 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动48例：串联系统例：串联系统总变形：总变形：在质量块上施加力在质量块上施加力 P弹簧弹簧1变形：变形：弹簧弹簧2变形：变形：根据定义：根据定义：或或 P mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位

25、移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动49例：并联系统例：并联系统两弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等：受力不等：受力不等：在质量块上施加力在质量块上施加力 P由力平衡：由力平衡：根据定义：根据定义：并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和 P mk1k2 mk1k2使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度单自由度系

26、统自由振动单自由度系统自由振动50例：杠杆系统例：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体杠杆是不计质量的刚体求：系统对于坐标求：系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度的等效质量和等效刚度 k1k2m1m2l1l2l3x单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动51解法解法1：能量法：能量法动能：动能：势能：势能：等效质量：等效质量：等效刚度：等效刚度：固有频率：固有频率：k1k2m1m2l1l2l3x单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动52解法解法2：定义法：定义法设使系统在设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力方向产生单位加速度需要施加力P设使系统在设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力坐标上产

27、生单位位移需要施加力P则在则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：上产生惯性力，对支座取矩：则在则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：处将产生弹性恢复力，对支点取矩：PPk1k2m1m2l1l2l3x单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动53教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动54阻尼自由振动阻尼

28、自由振动 最常用的一种阻尼力学模型是最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼粘性阻尼例例如如：在在流流体体中中低低速速运运动动或或沿沿润润滑滑表表面面滑滑动动的的物物体体，通通常常就就认为受到粘性阻尼认为受到粘性阻尼 实际系统的机械能不可能守恒，存在各种各样的阻力实际系统的机械能不可能守恒，存在各种各样的阻力 振振动动中中将将阻阻力力称称为为阻阻尼尼：摩摩擦擦阻阻尼尼，电电磁磁阻阻尼尼，介介质质阻阻尼和结构阻尼尼和结构阻尼 尽尽管管已已经经提提出出了了许许多多数数学学上上描描述述阻阻尼尼的的方方法法，但但是是实实际际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定系统中阻尼的物理本质仍然极难确定单自由度系统自由振动

29、单自由度系统自由振动粘性阻尼力与相对速度称正比，即：粘性阻尼力与相对速度称正比，即：c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数：为粘性阻尼系数，或阻尼系数 单位：单位：动力学方程：动力学方程：或写为：或写为：固有频率固有频率相对阻尼系数相对阻尼系数 mkc建立平衡位置，并受力分析建立平衡位置，并受力分析mx0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动56动力学方程：动力学方程：令：令：特征方程：特征方程：特征根：特征根：三种情况：三种情况：欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动57第一种情况：第一种情况：欠阻尼欠阻尼动力学方程：动力学方程：特征方程：特征方程：特征根

30、：特征根：特征根：特征根：阻尼固有频率阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率有阻尼的自由振动频率 振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定两个复数根两个复数根单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动欠阻尼欠阻尼振动解：振动解：设初始条件：设初始条件：则：则：或：或：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动59欠阻尼欠阻尼振动解：振动解：阻尼固有频率阻尼固有频率阻尼自由振动周期：阻尼自由振动周期：T0：无阻尼自由振动的周期：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动60欠阻尼欠阻尼响应

31、图形响应图形振动解：振动解：欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动=0 1时间时间位置位置单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动61欠阻尼欠阻尼响应图形响应图形振动解：振动解：欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动1 =0 有有 阻尼和无阻尼时的阻尼和无阻尼时的自由振动自由振动单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动62不同阻尼，振动衰减的快慢不同不同阻尼，振动衰减的快慢不同不同阻尼大小的振动衰减情况不同阻尼大小的振动衰减情况：阻尼小：阻尼小：阻尼大：阻尼大阻尼大，则振动衰减快阻尼大，则振动衰减快阻尼小，则衰减慢阻尼小，则衰减慢不同阻尼大小时的自由

32、振动不同阻尼大小时的自由振动单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动63评价阻尼对振幅衰减快慢的影响评价阻尼对振幅衰减快慢的影响与与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为无关，任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为衰减振动的频率为 ，振幅衰减的快慢取决于，振幅衰减的快慢取决于 ，这两个重要的特征反，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部映在特征方程的特征根的实部和虚部 减幅系数减幅系数定义为相邻两个振幅的比值：定义为相邻两个振幅的比值：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动64减幅系数：减幅系数：含有指数项，不便于工程应用含有指数项，不便于工程应用实际中常采用实际中常采用对数衰

33、减率对数衰减率：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动65实验求解实验求解利用相隔利用相隔 j 个周期的两个个周期的两个峰值峰值 进行求解进行求解得：得：当当 较小时（较小时（）单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动66第二种情况：第二种情况：过阻尼过阻尼动力学方程：动力学方程：特征方程：特征方程：特征根：特征根：特征根：特征根：两个不等的负实根两个不等的负实根 振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动67过阻尼过阻尼振动解：振动解：设初始条件：设初始条件：则：则：一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生一种按指数规律衰减的非周期蠕

34、动，没有振动发生 响应图形响应图形单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动68第三种情况：第三种情况：临界阻尼临界阻尼动力学方程：动力学方程：特征方程：特征方程：特征根：特征根：特征根：特征根：二重根二重根振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动振动解：振动解：临界阻尼临界阻尼则：则：也是按指数规律衰减的也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻非周期运动，但比过阻尼衰减快些尼衰减快些 临界阻尼系数临界阻尼系数设初始条件：设初始条件：响应图形响应图形单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动70tx(t)临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比

35、过阻尼衰减快些临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：三种阻尼情况比较：欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动71小结：小结：动力学方程动力学方程欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼按指数规律衰减的非周期蠕动按指数规律衰减的非周期蠕动 按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快 振幅衰减振动振幅衰减振动单自由度

36、系统自由振动单自由度系统自由振动72例：阻尼缓冲器例：阻尼缓冲器静载荷静载荷 P 去除后质量块越过去除后质量块越过平衡位置的位移为初始位移平衡位置的位移为初始位移的的 10 求：求：缓冲器的相对阻尼系数缓冲器的相对阻尼系数 kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动73解：解：由题知由题知 设设求导求导：设在时刻设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：即经过半个周期后出现第一个振幅即经过半个周期后出现第一个振幅 x1kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动74由题知由题

37、知 解得：解得：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动75例：例：刚杆质量不计刚杆质量不计 求：求：（1）写出运动微分方程）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量小球质量 mlakcmb单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动76解：解：阻尼固有频率：阻尼固有频率：无阻尼固有频率：无阻尼固有频率：m广义坐标广义坐标力矩平衡：力矩平衡：受力分析受力分析lakcmb单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动77教学内容教学内容无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动能量法能量法能量法能量法瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法等效质量和等效刚度等效质

38、量和等效刚度等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动78等效粘性阻尼等效粘性阻尼 阻尼在所有振动系统中是客观存在的阻尼在所有振动系统中是客观存在的 大多数阻尼是非粘性阻尼，其性质各不相同大多数阻尼是非粘性阻尼，其性质各不相同 非粘性阻尼的数学描述比较复杂非粘性阻尼的数学描述比较复杂 处理方法之一：处理方法之一：采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼原则：原则：等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的等效粘性阻尼在

39、一个周期内消耗的能量等于要简化的等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动79 通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然为简谐振动然为简谐振动 该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的 粘粘性性阻阻尼尼在在一一个个周周期期内内消消耗耗的的能能量量 可可近近似似地地利利用用无无

40、阻阻尼尼振动规律计算出：振动规律计算出：目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数 讨论以下几种非粘性阻尼情况：讨论以下几种非粘性阻尼情况：干摩擦阻尼干摩擦阻尼平方阻尼平方阻尼结构阻尼结构阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动80（1）干摩擦阻尼）干摩擦阻尼库仑阻尼库仑阻尼摩擦力：摩擦力：摩擦系数：摩擦系数：正压力：正压力：符号函数：符号函数摩擦力一个周期内所消耗的能量：摩擦力一个周期内所消耗的能量：等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动81（2）平方阻尼）平方阻尼工程背景：低粘度流体中以较大速度运动的物体工程背景：

41、低粘度流体中以较大速度运动的物体：阻力系数：阻力系数等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：阻尼力与相对速度的平方成正比，方向相反阻尼力与相对速度的平方成正比，方向相反摩擦力：摩擦力：在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动82（3）结构阻尼）结构阻尼由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为的阻尼称为结构阻尼结构阻尼：比例系数：比例系数等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：特征：应力应变曲线存在滞回曲线特征：应力应变曲线存在滞回曲线内摩擦所耗散的能量等于滞回环内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积：所围的面积：加载和卸载沿不同曲线加载和卸载沿不同曲线应变应变应力应力 加载加载卸载卸载0单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动83单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动