北京理工大学概率论3讲.ppt

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1、 在实际应用中，除了要研究事件在实际应用中，除了要研究事件A的概率的概率P(A)之外，有时还需要研究在之外，有时还需要研究在事件事件B已经发生已经发生的条件，的条件，事件事件A发生的概率发生的概率。我们称这种概率为。我们称这种概率为事件事件B已发已发生的条件下事件生的条件下事件A发生的条件概率发生的条件概率，记为，记为1.3 条件概率和乘法公式条件概率和乘法公式 P(A|B)一般说来一般说来 P(A|B)P(A)一一.条件概率条件概率P(A)=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此

2、时试验所有发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是可能结果构成的集合就是B，B中共中共 P(A)=1/6.容易看到容易看到P(A|B)有有3个元素，它们的出现是等可能的个元素，它们的出现是等可能的,其中只有其中只有1个在集个在集 A 中中于是于是 P(A|B)=1/3 再再如如，将一枚硬币抛掷两次，观测其出现正反，将一枚硬币抛掷两次，观测其出现正反面的情况面的情况。设事件。设事件A=至少出现至少出现1次次H，事件事件B=两两次掷出同一面次掷出同一面。现已知事件。现已知事件A已经发生，求事件已经发生，求事件B 发生的概率。发生的概率。于是于是 P(B|A)=1/3容易看到容易看到P(B|A)样本

3、空间为样本空间为S=HH,HT,TH,TT事件事件A=HH,HT,TH,事件事件B=HH,TT P(B)=2/4.条件概率条件概率P(A|B)实质就是缩减的样本空间实质就是缩减的样本空间上的事件的概率：由于已知事件上的事件的概率：由于已知事件B已经发生，已经发生，试验条件发生了改变，原样本空间试验条件发生了改变，原样本空间S缩减为缩减为B,需在该空间上计算事件需在该空间上计算事件A发生的概率。发生的概率。可以证明，在古典概型下，若可以证明，在古典概型下，若P(B)0,有有设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0，则称则称 1.条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件B发生的条件下，

4、事件发生的条件下，事件A的条件概率的条件概率.2.条件概率的性质条件概率的性质 设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0，则则P(.|B)满足概率的三满足概率的三条公理，即条公理，即(1).非负性：对任一事件非负性：对任一事件A，0P(A|B)1;(2).规范性：规范性：P(S|B)=1；(3).可列可加性：可列可加性：设设 A1,An互不相容，则互不相容，则条件概率条件概率P(.|B)也具有三条公理导出的一切性质也具有三条公理导出的一切性质如如（2）在缩减的样本空间上计算在缩减的样本空间上计算 3.条件概率的计算条件概率的计算（1）用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷

5、出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=B 发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A 所含样本点所含样本点个数个数解法解法1:解法解法2:应用定义应用定义在在A发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算例例6.一盒子装有一盒子装有4只产品，其中只产品，其中3只一等品，只一等品，1只二等只二等品。从中取产品品。从中取产品2次，每次任取一件，做不放回抽样。次，每次任取一件，做不放回抽样。设事件设事件 A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品”，事件，事件B为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”，试

6、求，试求P(B|A).P(AB)=P(B)P(A|B)(1)二二.乘法公式乘法公式公式（公式（1 1）和（）和（2 2）均称为概率的乘法公式或称为概）均称为概率的乘法公式或称为概率的乘法定理。率的乘法定理。如果如果 P(A)0，则有则有 P(AB)=P(A)P(B|A)(2)定理定理 设有两个事件设有两个事件A，B，如果，如果P(B)0，则有，则有 乘法公式容易推广到多个事件的积事件的情况，如乘法公式容易推广到多个事件的积事件的情况，如 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)一般地，设一般地，设A1，A2，An为为n（n 2）个事件，个事件，且且P(A1A2An-1)0时，则有时，则

7、有设设A,B,C为事件，且为事件，且P(AB)0，则有，则有P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)例例7.一一场场精精彩彩的的足足球球赛赛将将要要举举行行，5 5个个球球迷迷好好不不容容易易才才搞搞到到一一张张入入场场券券.大大家家都都想想去去,只只好用抽签的方法来解决好用抽签的方法来解决.入场入场券券“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”解我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到

8、入场券个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.P(A1)=1/5，P()4/5也就是说，第也就是说，第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”，显，显然然因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.由于由于由乘法公式由乘法公式 =(4/5)(1/4)=1/5 也就是说也就是说“抽签与顺序无关抽签与顺序无关.”同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须第第1，第，第2个人都没有抽到个人都没有抽到.因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现

9、继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入入场券场券”的概率都是的概率都是1/5.一个罐子中包含一个罐子中包含 b 个白球和个白球和 r 个红球个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球。个与所抽出的球具有相同颜色的球。这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率且第三、四次取到红球的概率.例例8.8.波里亚罐子模型波里亚罐子模型b个白球个白球,r个红球个红球于是于是b个白球个白球,r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个

10、球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进 c 个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球.解解:设设Ai=第第i次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4 表示事件表示事件“连续取四个球，连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率取到同色球的概率.这是一个这是一个传染病模型传染病模型.每次发每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.b个白球个

11、白球,r个红球个红球 条件概率条件概率前面我们介绍了前面我们介绍了举例说明举例说明 事件事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A发生的概率发生的概率 P(A|B)有没有有没有P(A)=P(A|B)的情形的情形.P(A|B)=P(A)这就是说，这就是说，事件事件B发生，并不影响事件发生，并不影响事件A发生发生的概率，此时在概率上就称事件的概率，此时在概率上就称事件A、B独立独立.A=第二次取到白球第二次取到白球，例例10.盒子中有盒子中有3个黑球，个黑球，2个白球，每次取一个，个白球，每次取一个，有放回地取两次，记有放回地取两次，记B=第一次取到白球第一次取到白球，?P(A|B)=2/5P(A

12、)=不难证明，当不难证明，当P(B)0时，有时，有这是这是“事件事件B发生与否，不影响事件发生与否，不影响事件A发生的概率发生的概率”情形的共同特征情形的共同特征1.两个事件两个事件A，B 的独立性的独立性 定定义义：对对任任意意的的事事件件A，B，若若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件，则称事件A，B是相互独立的。是相互独立的。特别地：特别地：S与任意事件与任意事件A相互独立；相互独立；与任意事件与任意事件A相互独立；相互独立；在实际应用中在实际应用中,往往往往根据问题的实际意义根据问题的实际意义去判断两事件是否独立去判断两事件是否独立.若判断出若判断出事件事件A，B相互独立，则利用公式

13、相互独立，则利用公式 P(AB)=P(A)P(B)可以方便地计算乘积事件可以方便地计算乘积事件AB的概率。的概率。证明证明:仅证仅证A与与 独立独立性质性质1 若若A与与B独立，则独立，则与与B，A与与 与与相互独立相互独立，=P(A)1 P(B)=P(A)P()=P(A)P(AB)P(A )=P(A A B)A、B独立独立故故A与与 独立独立.=P(A)P(A)P(B)2.多个事件的独立性多个事件的独立性 对任意三个事件对任意三个事件A，B，C，若若则称事件则称事件A，B，C相互独立，简称相互独立，简称A，B，C 独立独立 对任意对任意n个事件个事件A1 An，若，若（1）（2）（3）则称事

14、件则称事件A1,An相互独立，简称相互独立，简称A1,An独立独立 请注意多个事件两两独立与相互独立请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对n(n2)个事件个事件?例例.两两线线段段将将长长方方形形 四四等等分分，得得到到E1,E2,E3,E4如如下图所示下图所示E1E2E3E4设设A=E1 E2,B=E1 E3,C=E1 E4。向向 内内均均匀匀投投点点，点落入点落入A,B,C内的事件依然用内的事件依然用A,B,C表示，则有表示，则有事件事件A,B,C 两两独立，但两两独立，但A,B,C并不相互独立。并不相互独立。性质性质1 若事件若事件A

15、1 An(n 2)相互独立，则其中相互独立，则其中任意任意k(2 k n)个事件也相互独立，即个事件也相互独立，即，有，有相互独立相互独立性质性质2 若事件若事件A1 An(n 2)相互独立，则将相互独立，则将A1 An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得中任意多个事件换成它们的对立事件，所得n个事个事件仍相互独立，也即件仍相互独立，也即 B1 Bn相互独立，其中相互独立，其中Bi=Ai 或或性质性质3 若若A1,An相互独立，则相互独立，则证明：证明：例例11.甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为他们射中目标的概率分别为0.4

16、,0.5,0.7。求。求(1)至少有一人射中目标的概率至少有一人射中目标的概率(2)恰有一人射中目标的概率恰有一人射中目标的概率 解解 设设A,B,C分分别别表表示示甲甲，乙乙，丙丙射射中中目目标标，D表表示示“至至少少有有一一人人射射中中目目标标”，E表表示示“恰恰有有一一人人射射中目标中目标”.甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。A,B,C分分别别表表示示甲甲，乙乙，丙丙射射中中目目标标，D表表示示“至至少有一人射中目标少有一人射中目标”D=A B C甲，乙，丙三人同时独立向同一

17、目标射击，他们甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。A,B,C分分别别表表示示甲甲，乙乙，丙丙射射中中目目标标，E表表示示“恰恰有一人射中目标有一人射中目标”例例12.下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图.1、2、3、4、5、6、7、8是是8个独立工作的个独立工作的元件。它们正常工作元件。它们正常工作的概率分别为的概率分别为0.95,0.95,0.70,0.70,0.70,0.75,0.75,0.95。求电路正常工作的概率求电路正常工作的概率.P(B)=PA1 A2(A3+A4+A5)(A6+A7)A8 由于各元件独立工作，所以由于各元件独立工作，所以解：解：=P(A1)P(A2)P(A3+A4+A5)P(A6+A7)P(A8)以以 Ai 分别表示上述分别表示上述8个元件中第个元件中第 i 个元件正常工个元件正常工作，以作，以 B 表示电路正常工作，则表示电路正常工作，则B=A1 A2(A3+A4+A5)(A6+A7)A8 P(A6+A7)=1-P(A3+A4+A5)=P(B)0.782其中其中代入得代入得P(B)=PA1 A2(A3+A4+A5)(A6+A7)A8 思考：如图的两个事件是独立的吗？思考：如图的两个事件是独立的吗？