5.4矩阵三角分解法.ppt

《5.4矩阵三角分解法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5.4矩阵三角分解法.ppt（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、直接法概述直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法，共有若干种对于线性方程组其中系数矩阵未知量向量常数项根据Cramer(克莱姆)法则,若determinantal行列式的记号若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:经过n-1次同解即以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法则都是三角形方程组上述方法称为直接三角形分解法2 Matrix Factorization Doolittle 道立特分解法道立特分解法 /*Doolittle Factorization*/：LU 分解的紧凑格式分解的紧凑格式 /*compact form*/反复计算反复计算,很浪费哦很浪费哦

2、通过比较法直接导出通过比较法直接导出L 和和 U 的计算公式。的计算公式。思思路路2 Matrix Factorization Doolittle固定固定 i:对对 j=i,i+1,n 有有lii=1a固定固定 j，对，对 i=j,j+1,n 有有b上述解线性方程组的方法称为直接三角分解法的 Doolittle法例1.用Doolittle法解方程组解:由Doolittle分解Doolittle法在计算机上实现是比较容易的但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间:因此可按下列方法存储数据:直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示:存储单元(位置)紧凑格式的Doolittle法例2.用

3、紧凑格式的Doolittle法解方程组(例1)解:所以Matrix Factorization Choleski 平方根法平方根法 /*Choleskis Method*/：对称对称/*symmetric*/正定正定/*positive definite*/矩阵的分解法矩阵的分解法一个矩阵一个矩阵 A=(aij)n n 称为称为对称阵对称阵，如果，如果 aij=aji。一个矩阵一个矩阵 A 称为称为正定阵正定阵，如果，如果 对任意非零向对任意非零向量量 都成立都成立。回顾：回顾：对称正定阵的几个重要性质对称正定阵的几个重要性质 A 1 亦对称正定，且亦对称正定，且 aii 0若若不然，则不然，

4、则存在非零解，即存在非零解，即存在非零解。存在非零解。对对任意任意 ,存在存在 ,使得使得 ,即即 。其中其中第第 i 位位 A 的顺序主子阵的顺序主子阵/*leading principal submatrices*/Ak 亦亦对对 称正定称正定对称性显然。对任意对称性显然。对任意 有有 ,其中其中 。A 的特征值的特征值/*eigen value*/i 0 设对应特征值设对应特征值 的非零特征向量的非零特征向量为为 ，则，则 。A 的全部顺序主子式的全部顺序主子式 det(Ak)0因为因为一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解)记为Diagonal:对角因此所以综合以上分析,则有

5、定理1.(Cholesky分解)且该分解式唯一这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解二、对称正定线性方程组的解法线性方程组则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组对称正定方程组的平方根法例1.用平方根法解对称正定方程组解:即三、平方根法的数值稳定性用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元由可知因此平方根法是数值稳定的事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解而不必加入选主元步骤2 Matrix Factorization Tridiagonal System 追赶法解追赶法解三对角三对角方程组方程组 /*Crout Reduction for Tridiagonal Linear System*/Step 1:对对 A 作作Crout 分解分解直接比较等式两边直接比较等式两边的元素，可得到计的元素，可得到计算公式。算公式。Step 2:追追即解即解 ：Step 3:赶赶即解即解 ：与与G.E.类似，一旦类似，一旦 i=0 则算法中断，故并非任何则算法中断，故并非任何三对角阵都可以用此方法分解。三对角阵都可以用此方法分解。有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用,即三对角线方程组,其形式为:其中-(1)以下以Crout分解导出三对角线方程组的解法设例1.用追赶法解三对角线方程组解:1111因此原线性方程组的解为