Ch5 大数定律及中心极限定理.ppt

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1、一、一、Chebyshev不等式不等式若随机变量若随机变量X 的数学期望和方差分别为的数学期望和方差分别为 那么对任意的正数那么对任意的正数0,必有必有Chebyshevf(x)m-em+emx可见可见2 越小，事件越小，事件的概率越接近的概率越接近1X的值密集在其数学期望附近的概率越大的值密集在其数学期望附近的概率越大由此可见方差刻画了随机变量取值的离散程度由此可见方差刻画了随机变量取值的离散程度此结论也说明了方差是描述随机变量取值与其此结论也说明了方差是描述随机变量取值与其数学期望分散程度的一个量。数学期望分散程度的一个量。此不等式不但是大数定律此不等式不但是大数定律的理论基础，的理论基础

2、，而且对落在有限区间上的而且对落在有限区间上的概率估算概率估算也有也有重要意义。重要意义。若随机变量若随机变量X 的数学期望和方差分别为的数学期望和方差分别为 那么对任意的正数那么对任意的正数0,必有必有例例1 一颗骰子连续掷一颗骰子连续掷4次，点数总和记为次，点数总和记为X，试估计，试估计解：解：以以Xi表示第表示第 i 次的点数次的点数(i=1,2,3,4)，则，则Xi 的分布律为的分布律为Xi123456P1/61/61/61/61/61/6例例1 一颗骰子连续掷一颗骰子连续掷4次，点数总和记为次，点数总和记为X，试估计，试估计解：解：以以Xi表示第表示第 i 次的点数次的点数(i=1,

3、2,3,4)，有，有由于由于故故且且Xi 相互独立相互独立例例1 一颗骰子连续掷一颗骰子连续掷4次，点数总和记为次，点数总和记为X，试估计，试估计解：解：以以Xi表示第表示第 i 次的点数次的点数(i=1,2,3,4)，则有，则有由由Chebyshev不等式得不等式得例例2 一电网有一电网有1万盏路灯，万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为晚上每盏灯开的概率为0.7.求同时开的灯数在求同时开的灯数在6800至至7200之间的概率。之间的概率。解解 设设X 为同时开的灯数为同时开的灯数,则则 由此可得由此可得由由Chebyshev不等式可得不等式可得二、大数定理二、大数定理概率论与数理统计是研究随机现象

4、统计规律性的学概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科，科，而随机现象的规律性在相同的条件下进行而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量大量重复试验时会呈现某种稳定性重复试验时会呈现某种稳定性.例如，例如，在概率的统在概率的统计定义中，计定义中，曾提到一件事发生的频率具有即事件发曾提到一件事发生的频率具有即事件发生的频率趋于事件发生的概率，生的频率趋于事件发生的概率，其中所指的是：其中所指的是：试验的次数无限增大时，试验的次数无限增大时，事件发生的频率在某种收事件发生的频率在某种收敛意义下逼近某一定数敛意义下逼近某一定数(事件发生的概率事件发生的概率)，最早的大数定理最早的大数定理.当当

5、这就是这就是 一般的大数定理讨论一般的大数定理讨论个随机变量的平均值的稳定个随机变量的平均值的稳定二、大数定理二、大数定理 一般的大数定理讨论一般的大数定理讨论 n 个随机变量的平均值的稳定个随机变量的平均值的稳定性性.大数定理对上述情况从理论的高度进行了论证本大数定理对上述情况从理论的高度进行了论证本节先介绍基本的大数定理，节先介绍基本的大数定理，然后，然后，再介绍另一类基本再介绍另一类基本的中心极限定理的中心极限定理.大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率

6、生产过程中的生产过程中的废品率废品率还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。二、二、大数定律大数定律在实践中，在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，不仅事件发生的频率具有稳定性，稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。这种这种由于大数定律的作用，由于大数定律的作用，大量随机因素的总体作用必然大量随机因素的总体作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果。导致某种不依赖于个别随机事件的结果。存在，则对任意的存在，则对任意的 0，有，有设随机变量序列设随机变量序列独立同分布，独立同分布，定理定理5.1 独立同分

7、布序列的独立同分布序列的Chebyshev大数定律大数定律与其数学期望与其数学期望 偏差很小的概率接近于偏差很小的概率接近于1.Chebyshev大数定律表明，独立随机变量序列大数定律表明，独立随机变量序列Xn，当当即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是随机的了差不多不再是随机的了.且且p是事件是事件A 发生的概率，则对任给的发生的概率，则对任给的 0，或或设设nA 是是n 重重Bernoulli试验中事件试验中事件A 发生的发生的 次数，次数，定理定理5.2 Bernoulli大数定律大数定律事件事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p 有较大偏有较大偏Bernou

8、lli大数定律大数定律表明表明，当重复试验次数当重复试验次数n充分大时，充分大时，差的概率很小差的概率很小.Bernoulli大数定律提供了通过试验来确定事件概率大数定律提供了通过试验来确定事件概率此定理以严格的数学形式描述了概率的稳定性此定理以严格的数学形式描述了概率的稳定性.的方法的方法.二、二、De Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理 一一、独立同分布序列的中心极限定理、独立同分布序列的中心极限定理 中心极限定理中心极限定理 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景:的综合影响的综合影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，

9、就受着许多随机因素的影响随机因素的影响.在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生 在任一给定时刻在任一给定时刻,一个一个城市的耗电量是大量单城市的耗电量是大量单独的耗电者需用电量的独的耗电者需用电量的总和总和.在一个蓄水池中的储水在一个蓄水池中的储水量可以看作是极大数量的量可以看作是极大数量的单独供水池的供水量的总单独供水池的供水量的总和和.在一个物理实验中的测量误差是由许多不可能在一个物理实验中的测量误差是由许多不可能观察到的观察到的,而可看作是可加的小误差所组成而可看作是可加的小误差所组成.前面我们的讨论中讲过正态分布在随机变量的一前面我们的

10、讨论中讲过正态分布在随机变量的一切可能分布中占有特殊地位。在客观世界中，我们遇切可能分布中占有特殊地位。在客观世界中，我们遇到的许多随机现象都是服从或近似服从正态分布的，到的许多随机现象都是服从或近似服从正态分布的，为什么大量的随机变量都服从正态分布？为什么大量的随机变量都服从正态分布？俄国数学家李亚普诺夫俄国数学家李亚普诺夫()证明了证明了在某些在某些非常一般非常一般的充分条件下，独立随机变量的和的的充分条件下，独立随机变量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分分布，当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分布的。布的。在概率论中，把在概率论中，把大量独立的随机变量和的分布以大量

11、独立的随机变量和的分布以正态分布为极限正态分布为极限的这一类定理统称为中心极限定理。的这一类定理统称为中心极限定理。设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互相互独立同分布，独立同分布，且且E(Xi)=，D(Xi)=2(2 0)(i=1,2,)，记随机变量，记随机变量1、独立同分布的中心极限定理、独立同分布的中心极限定理(Lindeberg-Levy)则则Yn的分布函数的分布函数Fn(x)对任意的对任意的x(-,+)都有都有 该定理说明，该定理说明，YnN(0,1)中心极限定理可以解释如下：中心极限定理可以解释如下：如果多个相互独立的随机变量相加如果多个相互独立的随机变量相加,不管它们是离散不

12、管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的的还是连续的或者是任何类型的,只要它们大小相差并只要它们大小相差并不悬殊，每个随机变量对于总和的作用都很微小不悬殊，每个随机变量对于总和的作用都很微小,则加则加起来以后得到的随机变量起来以后得到的随机变量,就近似服从正态分布。就近似服从正态分布。在实际工作中，只要在实际工作中，只要n足够大，便可把独立同分布的足够大，便可把独立同分布的随机变量之和当作正态变量。随机变量之和当作正态变量。例例1 一盒同型号螺丝钉共有一盒同型号螺丝钉共有 100 个个,已知该型号已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是期望值是100g,标准

13、差是标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg的概率的概率.解解设设为第为第个螺丝钉的重量个螺丝钉的重量,且且 Xi 之间独立同分布之间独立同分布,于是一盒螺丝钉的重量为于是一盒螺丝钉的重量为由此由此例例1 一盒同型号螺丝钉共有一盒同型号螺丝钉共有 100 个个,已知该型号已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是期望值是100g,标准差是标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg的概率的概率.解解一盒螺丝钉的重量为一盒螺丝钉的重量为由中心极限定理有由中心极限定理有例例2粮仓内老鼠的数目服从泊松分

14、布粮仓内老鼠的数目服从泊松分布,且仓内无鼠的且仓内无鼠的概率概率求求200个仓内老鼠总数超过个仓内老鼠总数超过350只的概率只的概率解解:设第设第i个粮仓内老鼠数目为个粮仓内老鼠数目为Xi，则，则独立且同分布，独立且同分布，由由解得解得故故2、De Moivre-Laplace定理定理 在在n重重Bernoulli试验中，每次试验中事件试验中，每次试验中事件A发生的发生的概率为概率为p(0p1)，记，记Zn为为n次试验中事件次试验中事件A发生的次数，发生的次数，则对任意实数则对任意实数x，有，有其中其中q=1-p此定理表明，此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布。

15、当。当n充充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算。为正态随机变量的概率计算。第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理对于一列二项分布对于一列二项分布对于一列二项分布对于一列二项分布r.vr.vr.vr.v ，有，有，有，有近似近似近似近似近似近似近似近似于是当于是当于是当于是当 充分大时，可以认为充分大时，可以认为充分大时，可以认为充分大时，可以认为 近似近似近似近似的图形为的图形为的图形为的图形为例例3 报童沿街向行人兜售报纸，报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报设每位行人买报的概率为的概

16、率为0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童且他们是否买报是相互独立的。求报童向向100位行人兜售之后，卖掉位行人兜售之后，卖掉1530份报纸的概率。份报纸的概率。解解 设报童卖掉报纸的份数为设报童卖掉报纸的份数为X,由中心极限定理知，由中心极限定理知，例例4 某市保险公司开办一年人身保险业务某市保险公司开办一年人身保险业务,被保险人被保险人每年需交付保险费每年需交付保险费 160 元元,若一年内发生重大人身事若一年内发生重大人身事故故,其本人或家属可获其本人或家属可获 2 万元赔金万元赔金.已知该市人员一年已知该市人员一年发发生生重重大大人人身身事事故故的的概概率率为为0.005，现现有有

17、5000人人参参加加此项保险此项保险,问保险公司一年内从此项业务所得到的总问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在收益在 20 万到万到 40万元之间的概率是多少万元之间的概率是多少?解解解解 记记5000 个被保险人中一年内发生重大人身事故个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数为的人数为X，则，则由中心极限定理可知，由中心极限定理可知，例例4 某市保险公司开办一年人身保险业务某市保险公司开办一年人身保险业务,被保险人被保险人每年需交付保险费每年需交付保险费 160 元元,若一年内发生重大人身事若一年内发生重大人身事故故,其本人或家属可获其本人或家属可获 2 万元赔金万元赔金.已知该市人员

18、一年已知该市人员一年发发生生重重大大人人身身事事故故的的概概率率为为0.005，现现有有5000人人参参加加此项保险此项保险,问保险公司一年内从此项业务所得到的总问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在收益在 20 万到万到 40万元之间的概率是多少万元之间的概率是多少?解解一年内公司的总收益为：一年内公司的总收益为：所求概率为所求概率为第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理Ox-8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8记记记记则则则则近似近似近似近似共共共共15151515层小钉层小钉层小钉层小钉小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向右落下层钉后向右落下层钉后向右落下层钉后向右落下小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后向左落下高尔顿高尔顿高尔顿高尔顿(Francis(Francis(Francis(Francis Galton,1822-Galton,1822-Galton,1822-Galton,1822-1911)1911)1911)1911)英国人类学英国人类学英国人类学英国人类学家和气象学家家和气象学家家和气象学家家和气象学家