线性代数6-2.ppt

《线性代数6-2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数6-2.ppt（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题有没有其它方法，也可以把二次型化问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面先介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面先介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法（二）（二）拉格朗日配方法拉格朗日配方法化二次型为标准形化二次型为标准形1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都

2、配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1 1中方中方法配方法配方.解解例例1 1含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项回代求解回代求解所用变换矩阵为所用变换矩阵为解解例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以C1再配方再配方，得，得回代求解回代求解C2所用变换矩阵为所用变换矩阵为所做非退化线性变换为所做

3、非退化线性变换为（三）（三）合同变换法合同变换法化二次型为标准形化二次型为标准形(行变换与列变换对称，主对角元不化为零行变换与列变换对称，主对角元不化为零行变换与列变换对称，主对角元不化为零行变换与列变换对称，主对角元不化为零)已知矩阵间的合同关系亦为等价关系已知矩阵间的合同关系亦为等价关系故可用初等变换来求与一个对称矩阵故可用初等变换来求与一个对称矩阵A合同合同的对角阵的对角阵。例例3 用用行列对称初等变换法行列对称初等变换法化二次型为标准形。化二次型为标准形。解解：行变换与列变换对称行变换与列变换对称行变换与列变换对称行变换与列变换对称对称对称对称对称C故故二、小结二、小结将将一个二次型化

4、为标准形，可以用正交变换一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩数必定相同，项数等于所给二次型的秩