第三章第一和二节 平面立体的投影.ppt

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1、第三章第三章 简单立体的投影简单立体的投影第一节第一节 简单立体的投影简单立体的投影 常见的基本几何体常见的基本几何体平面基本体平面基本体曲面基本体曲面基本体平面立体：表面都是平面多边形的立体平面立体：表面都是平面多边形的立体曲面立体：既有平面、又有曲面的立体曲面立体：既有平面、又有曲面的立体平面立体的平面立体的投影实质投影实质是关于其表面上点、线、面投影是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，的集合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的轮廓线，对于可见的轮廓线，其投影以粗实线表示，不可见的轮廓线，则以虚线表示。其投影以粗实线表示，不可见的轮廓线，则以虚线表示。在投影图中

2、，在投影图中，当当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制点画线等顺序优先绘制。一、棱柱一、棱柱1、棱柱的组成棱柱的组成 由由两个底面和几个侧棱面两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，叫侧棱线，侧棱线相互平行侧棱线相互平行。a ad de eb bc ca ab bdcdce eeeccddaabbA AD DC CE EB BX XZ ZY Y正六棱柱的投影正六棱柱的投影 如图如图,为一正六棱柱，其顶为一正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们的面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面及

3、侧水平投影反映实形，正面及侧面投影积聚为一直线。面投影积聚为一直线。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 六六棱柱有六个侧棱面，前后棱面为棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平正平面面，它们的正面投影反映实形，水平投影，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一条直线。及侧面投影积聚为一条直线。adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影 棱柱的其它四个侧棱面均为棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面铅垂面，其水平，其水平投影均积聚为直线。正面投影和侧面投影均为投影均积聚为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。类似形。adebcabdceecdabADCEBXZ

4、Y正六棱柱的投影图a(b)d(c)e(f)abdcea”b”d”c”X XZ ZY YH HY YWW2、棱柱的三视图棱柱的三视图 作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图所示。如图所示。棱柱具有这样的棱柱具有这样的投影特投影特点：点：一个投影反映底面实一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。形或复合矩形。f a aa 3、棱柱表面上取点、棱柱表面上取点(b)b bc c c注意：从现在注意：从现在开始，投影图开始，投影图中将不

5、画出投中将不画出投影轴。影轴。取点方法：取点方法：首先判断点在首先判断点在哪个棱面内。哪个棱面内。取点方法同在取点方法同在平面表面取点，平面表面取点，但要注意可见但要注意可见性的判别。性的判别。1、棱锥的组成棱锥的组成 由由一个底面和一个底面和几个侧棱面几个侧棱面组成。组成。侧棱线交于有限远侧棱线交于有限远的一点的一点锥顶锥顶。二、棱锥二、棱锥SABCWVasbsabcbacsXYZ正三棱锥的投影正三棱锥的投影 左图所示为一正三棱左图所示为一正三棱锥，锥顶为锥，锥顶为S S，其底面为其底面为ABCABC，是水平面，水，是水平面，水平投影平投影abcabc反映实形。反映实形。棱面棱面SABSAB

6、、SBCSBC是是一般位置平面，它们的一般位置平面，它们的各个投影均为类似形。各个投影均为类似形。棱面棱面SACSAC为侧垂面，为侧垂面，其侧面投影其侧面投影s”a”c”s”a”c”为为一直线。一直线。2、棱锥的三视图投影棱锥的三视图投影 作三视图时，先画出底面作三视图时，先画出底面ABCABC的各个投影，再作的各个投影，再作出锥顶出锥顶S S的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的三面投影。的三面投影。ssabcacba”(b”)c”s”正三棱锥的三面投影图X XY YH HZ ZY YWWOOSABCWVasbsabcbacsXYZ方法一：连接连接

7、smsm并延并延长，与长，与acac交于交于22，2m2 在投影在投影acac上求出上求出点的水平投影点的水平投影2 2。连接连接s2s2，即求出即求出直线直线SS的水平投影。的水平投影。根据在直线上的根据在直线上的点的投影规律，求出点的投影规律，求出MM点的水平投影点的水平投影mm。再根据知二求三再根据知二求三的方法，求出的方法，求出m”m”。m”asbc正三棱锥的三面投影图sacba”(b”)c”s”mX XY Y H HZ ZY YWW3、三棱锥表面上取点、三棱锥表面上取点M方法二：方法二：11m 过过mm作作m1 m1 acac，交，交sasa于于11。求出求出点的水平投点的水平投影影

8、1 1。过过1 1作作1m ac1m ac，再再根据点在直线上的几根据点在直线上的几何条件，求出何条件，求出m m。再根据知二求三的再根据知二求三的方法，求出方法，求出m”m”。（。（具具体步骤略体步骤略)scb正三棱锥的三面投影图sabcaa”(b”)c”s”mnnnN三棱锥表面上取点三棱锥表面上取点NK（k）三棱锥表面上取点三棱锥表面上取点Kkk第二节第二节 平面立体的截切平面立体的截切截平面截平面截交线截交线截面截面 用平面与立体相交，截去体的一部分用平面与立体相交，截去体的一部分 截切截切。截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线截交线截交线。用以截切立体的平面用以截切立体的平面截

9、平面截平面。截交线的性质：截交线的性质：是一封闭的多边形。是一封闭的多边形。截交线的形状取决于被截立截交线的形状取决于被截立 体的形状及截平面与立体的体的形状及截平面与立体的 相对位置。相对位置。截交线的投影的形状取决于截交线的投影的形状取决于 截平面与投影面的相对位置。截平面与投影面的相对位置。截交线是截平面与立体表面截交线是截平面与立体表面 的共有线。的共有线。求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。求截交线的步骤：求截交线的步骤：截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截

10、平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。线，并连接成多边形。一、平面体表面的截交线一、平面体表面的截交线 截交线的每条边是截交线的每条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。截交线是一个由直线组成的截交线是一个由直线组成的封闭的平封闭的平 面多边形面多边形。例例1 1：求三棱柱被正垂面：求三棱柱被正垂面P P截去左上角后的投影截去左上角后的投影abc(d)abcdabdc交线的形状？

11、交线的形状？截平面与体的截平面与体的几个面相交？几个面相交？投影分析投影分析 空间分析空间分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性pv例例2 2：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。C 求截交线求截交线C 完善轮廓完善轮廓C 检查检查 注意截交线投影的类似性注意截交线投影的类似性注意可见性注意可见性C 空间分析和投影分析空间分析和投影分析3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 3 3 5.4 4 P3241 15(5(5)A2”51234正五棱柱被截切后的视图和立体图正五

12、棱柱被截切后的视图和立体图3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 3 3 5.4 4 P3241 15(5(5)2 2(a)(a)截平面与上、下底面平行，截面为正五边形截平面与上、下底面平行，截面为正五边形 (b)(b)截平面截断五条棱截平面截断五条棱,截面为五边形截面为五边形(c)(c)截平面截断六条边截平面截断六条边,截面为六边形截面为六边形 (d)(d)截平面截断四条边截平面截断四条边,截面为四边形截面为四边形(e)(e)截平面截断三条棱截平面截断三条棱,截面为三角形截面为三角形 (f)(f)截平面与侧棱平行截平面与侧棱平行,截面为矩形截面为矩形例例 3:3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面

13、P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 2 2(3 3、6 6、7 7)1 1(8 8)4 4（5 5）1 15 54 47 72 28 83 36 61 12 23 34 45 56 67 78 8交线的形状？交线的形状？截平面与体的截平面与体的几个棱面相交几个棱面相交？投影分析投影分析例例4 4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。空间分析空间分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性3 3 2 2 1

14、1(4 4)1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 43 3例例4 4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。我们采用的是哪我们采用的是哪种解题方法？种解题方法？棱线法！棱线法！分析：分析：P P、V V是侧平面，是侧平面，Q Q是水平面。要逐个截平面是水平面。要逐个截平面分析和绘制截交线。分析和绘制截交线。例例5 5：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。1(3)1(3)2(4)2(4)1 1(2(2)2(10)1(9)3 3(4(4)PQV5 5(6(6)7 7(8(8)9 9(10(10)5 56 69(79(7）

15、10(810(8）55663(7)3(7)4(8)4(8)例例6 6：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。2 23 31 1 2 2 1 1 2 2(3(3)4 4(5 5)6 6 1 14 45 53 3 4 4 5 5 6 66 6 例例7 7：求六棱柱被切口后的水平投影和侧面投影。：求六棱柱被切口后的水平投影和侧面投影。11（2）4（3）5（6）65234431265165432题题1 求立体被求立体被截切后的截切后的投影投影棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法1.1.找到找到截平面与截平面与棱柱棱柱上若干条棱上若干条棱线的交点；线的交点；2.依次连线；依次连线；3.判断可见性；判断可见性；4.整理轮廓线。整理轮廓线。8711121056943961（3）2（4）10571181112910431（2）8(7)3（4）10（5）9（6）11题题2 求立体截切后的投影求立体截切后的投影12(13)14(15)(12)(13)(14)(15)14(12)15(13)棱锥上的截交线棱锥上的截交线1.找到找到截平面与截平面与棱锥棱锥上若干条棱线的交点上若干条棱线的交点2.依次连线依次连线3.判断可见性判断可见性4.整理轮廓线整理轮廓线235411164（5）6543262（3）题题3 求立体求立体截切后的投影截切后的投影PHQV