微分及其应用.ppt

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1、第六节微分及其应用第六节微分及其应用第六节微分及其应用第六节微分及其应用一、微分的概念一、微分的概念一、微分的概念一、微分的概念二、微分的几何意义二、微分的几何意义二、微分的几何意义二、微分的几何意义第二章导数与微分第二章导数与微分第二章导数与微分第二章导数与微分三、微分的基本公式和运算法则三、微分的基本公式和运算法则三、微分的基本公式和运算法则三、微分的基本公式和运算法则四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念一、微分的概念先看一个例子先看一个例子,一正方形边长由一正方形边长由 x0其面积增加了多少？其面积增加了多

2、少？面积的面积的增加部分记作增加部分记作 y，则，则 y=(x0+x)2-x02=2x0 x+(x)2 设正方形的面积为设正方形的面积为 y=f(x0)=x02，变到变到 x0+x 时，时，y=x02 其其中中,2x0 x 是是 x 的的线线性性函函数数,当当 x0 时时,它它是是 x 的的同同阶阶无无穷穷小小,是是 y 的的主主要要部部分分.而而(x)2是较是较 x 高阶的无穷小高阶的无穷小.很明显很明显,当当 x 很小时很小时,(x)2在在 y 中所起的作用很微小中所起的作用很微小,可以忽略可以忽略.因此因此定定义义设设函函数数 y=f(x)在在点点 x0 0 处处可可导导，则称则称 为为

3、函函数数 f(x)在在点点 x0 的的微微分分,记记作作 dy 或或 df(x),即即 若若不不特别指明函数在哪一点的微分特别指明函数在哪一点的微分,一般就一般就记为记为即即若若令令 y=x,则则这就是说这就是说,自变量自变量 x 的微分的微分dx 就是它的改变量就是它的改变量 x,因此因此,微分表达式可写成微分表达式可写成 即函数即函数 y=f(x)的的导数等导数等于函数的微分于函数的微分dy 与与自变量的微分自变量的微分 dx 的商的商,因此因此,导数又称导数又称微商微商.由此可见，由此可见，例例 1 求函数求函数 y=x2 在在 x=3,x=0.01 时的时的 dy 和和 y.解解 因为

4、因为所以所以而而 例例 2 求函数求函数 y=lnsinx 的的微分微分.解解 例例 3 求函数求函数 y=xsinx 的的微分微分.解解 NTMP二、微分的几何意义二、微分的几何意义二、微分的几何意义二、微分的几何意义如如图图所所示示，就就是是曲曲线线 y=f(x)在在点点 P 处处切切线线的的纵纵坐坐标标在在相相应处应处 x 的增量，的增量，而而 y 就就是是曲曲线线 y=f(x)的的纵纵坐坐标在点标在点 x 处的增量处的增量.xx+xy=f(x)yx OPN=dx，NM=y，所以所以 dy=NT，NT=P Nt a n=f (x)dx，即函数即函数 y=f(x)的微分的微分 dyMNPN

5、TNdy 1 1.微分的基本公式微分的基本公式微分的基本公式微分的基本公式d(c)=三、微分的基本公式和运算法则三、微分的基本公式和运算法则三、微分的基本公式和运算法则三、微分的基本公式和运算法则0.d(xa)=axa-1dx.d(ex)=exdx.d(ax)=axlnadx.d(sin x)=cos xdx.d(cos x)=-sin xdx.d(tanx)=sec2 xdx.d(cotx)=-csc2 xdx.d(secx)=secxtanxdx.d(cscx)=-cscxcotxdx.2 2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、

6、积、商的微分法则设设 u、v 都是都是可导可导函数函数，c 为常数，则为常数，则d(u v)=du dv.d(uv)=vdu+udv.d(cu)=cdu.3 3.微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性设函数设函数 y=f(u)在点在点 u 处可导处可导,u=(x)在点在点 x 处可导处可导,dy=f (u)(x)dx.则复合函数则复合函数 y=f (x)的微分的微分为为由于由于du=(x)dx，所以上式可写为所以上式可写为dy=f (u)du.这个公式与这个公式与 dy=f (x)dx 在在形式上完全一样，形式上完全一样，这个性质称为这个性质称为微分形式的不变性微分形

7、式的不变性.所所含含的的内内容容却却广广泛泛得得多多,无无论论 u 是是中中间间变变量量或或是是自自变变量量,函函数数 y=f(u)的的微微分分都都可可用用 f (u)du表表示示,例例 4设函数设函数 y=3x2 tanx，求求 dy.解解dy =d(3x2)d(tanx)=3d(x2)sec2 xdx=6xdx sec2 xdx=(6x sec2x)dx.例例 5设函数设函数 y=e1-3x cosx，求求 dy.解解dy=d(e1-3x cosx)=e1-3x d(cos x)+cosxd(e1-3x)=-e1-3x(sin x+3cos x)dx.=e1-3x(-sin x)dx+co

8、sx e1-3x(-3)dx例例 6求求 dy.解解例例 7设函数设函数 y=sin(1-2x)，求，求dy.解解方法方法1 利用微分公式利用微分公式 dy=y dx计算计算,有有dy=sin(1-2x)dx=cos(1-2x)(1-2x)dx =-2cos(1-2x)dx.方法方法2 把把(1-2x)看成中间变量看成中间变量 u,则有则有dy=d(sinu)=cosudu=cos(1-2x)d(1-2x)=-2cos(1-2x)dx.例例 8在等式在等式 d()=xdx 左端的括号中填左端的括号中填入适当的函数入适当的函数,使等式成立使等式成立.解解因为因为 d(x2)=2xdx,所以所以一

9、般地有一般地有(c c为任意常数为任意常数).).四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用当当|x|很小时很小时(记作记作|x|1)，y dy.即即 y=f(x0+x)-f(x0)f (x0)x，或或f(x0+x)f(x0)+f (x0)x.有有 公式公式常用来计算函数改变量的近似值，常用来计算函数改变量的近似值，公式公式计算函数在点计算函数在点 x0 附近函数值的近似值附近函数值的近似值.解解圆的面积公式是圆的面积公式是例例 9半径为半径为 10 cm 的金属圆片加热后的金属圆片加热后,半半径伸长径伸长 0.05 cm，问面积大

10、约增加了多少？问面积大约增加了多少？1 1.计算函数改变量的近似值计算函数改变量的近似值计算函数改变量的近似值计算函数改变量的近似值面积面积 S 大约增加值大约增加值 S dS=把把代入代入,得得 S 2 2.计算函数值的近似值计算函数值的近似值计算函数值的近似值计算函数值的近似值例例 10 计算计算 的近似值的近似值.解解设设 则则由公式由公式得得取取 代入上式，得代入上式，得在公式在公式中中,当当 时时,得得f(x)f(0)+f (0)x.当当|x|很很小时小时,可用公式可用公式求函数求函数 f(x)在点在点 x=0 附近函数值的近似值附近函数值的近似值.由公式由公式可证工程上可证工程上常

11、用的几个近似公式常用的几个近似公式:3 3.计算计算计算计算f f(x x)在在在在x x=0=0附近附近附近附近函数值的近似值函数值的近似值函数值的近似值函数值的近似值(1)1+x,(2)ln(1+x)1+x,(3)sinx x,(4)tanx x,(5)(6)arcsinx x.例例 11试证当试证当|x|1 时，时，证证设设 f(x)=arcsinx，则则 f(0)=arcsin0=0，arcsinx x.f (0)=1，代入代入 f(x)f(0)+f (0)x 得得 arcsinx x.例例 12车工加工锥形工件时（见下图）车工加工锥形工件时（见下图）,来计算倾斜角来计算倾斜角,其中其中,D 和和 d 分别是工件大、小头的直径分别是工件大、小头的直径,L 是工件的长度是工件的长度,试推导这试推导这个近似公式个近似公式.LDd 常常用近似公式用近似公式解解 由上图可得由上图可得由于角由于角 很小很小,由近似公式由近似公式(4)(4)tanx x,得得而而所以所以