函数的应用举例.ppt

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1、2.9 2.9 函数的应用举例函数的应用举例数学模型与数学建模数学模型与数学建模:简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法30米米 有一堵长为有一堵长为30米的墙，现有米的墙，现有50米的篱笆，如米的篱笆，如果利用这堵墙为一边，将篱笆围成一个长方形的果利用这堵墙为一边，将篱笆围成一个长方形的鸡舍鸡舍,请写出鸡舍的面积请写出鸡舍的面积S与其宽与其宽x的关系式的关系式xS引申引申：如果在现有条件下想得到一个面积最大的鸡

2、舍，：如果在现有条件下想得到一个面积最大的鸡舍，将如何确定它的长和宽呢？将如何确定它的长和宽呢？S=x(50-2x)=-2x2+50 x定义域定义域:实际应用问题实际应用问题函数关系式函数关系式解决数学问题解决数学问题矩形面积矩形面积引引例例50-2xxyO102512.5 当长为当长为25米米,宽为宽为12.5米时面积最大米时面积最大.x|10 x25 第一步：引入变量，抽象数量关系；第一步：引入变量，抽象数量关系；第二步：尝试建立函数关系式；第二步：尝试建立函数关系式；第三步：解决这个已转化成的函数问题；第三步：解决这个已转化成的函数问题；第四步：将所得结论转绎成具体问题的解答第四步：将所

3、得结论转绎成具体问题的解答.解函数应用问题的基本步骤解函数应用问题的基本步骤:函函数数法法例例1 按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a元，每期元，每期利率为利率为r，设本利和为，设本利和为y，存期为，存期为x，写出本利和，写出本利和 y随存随存期期 x变化的函数式如果存入本金变化的函数式如果存入本金1 000元，每期利率元，每期利率2.25%，试计算，试计算5期后的本利和是多少期后的本利和是多少?复利是一种计算利息的复利是一种计算利息的方法方法,即把前一期的利息和本即把前一期的利息和本金加在一起算做本金金加在一起算做本金,再计算再计算下一期的利息下一期的利息.结

4、论结论:在实际问题中在实际问题中,常常常遇到有关平均增长率的问题常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基数为如果原来产值的基数为N，平均，平均增长率为增长率为 p，则对于时间，则对于时间 x 的总的总产值产值y，可以表示为，可以表示为:y=N(1+p)x例例2 某城市现有人口总数为某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增万人，如果年自然增长率为长率为1.2%，写出该城市人口数，写出该城市人口数 y（万人）与年份（万人）与年份 x（年）的函数关系式；试计算大约多少年后该城市人（年）的函数关系式；试计算大约多少年后该城市人口将达到口将达到120万人万人?x年后该城市人口总数为：年后该城市人

5、口总数为：即即 1.02x=1.2依题意：依题意：100(1+1.2%)x=120解：解：答：该城市人口数函数为答：该城市人口数函数为y=100(1+1.2%)x，大约，大约经过经过15年该城市人口达到年该城市人口达到120万万.y=100(1+1.2%)x1图图例三例三 某人开汽车沿一条直路以某人开汽车沿一条直路以 60 km/h 的速度从的速度从A地到地到 150 km远处的远处的B地地,在在B地停留地停留1 h后后,再以再以 50 km/h的速度返回的速度返回A地地.把汽车与把汽车与A地的距离地的距离 x(km)表示表示为时间为时间 t(h)(从从A地出发时开始地出发时开始)的函数的函数

6、,并画出函数并画出函数的图象的图象;再把车速再把车速 v km/h表示为时间表示为时间 t(h)的函数的函数,并画并画出函数的图象出函数的图象.AB150kmx kmv=50km/hv=60km/h2图图Ox(km)t(h)12.5 3.56.550100150返回Ov(km/h)t(h)12.5 3.56.5-202060-40-5040a-2x练习一练习一 如图，有一块边长为如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积无盖的盒子，写出体积V以以x为自变量为自变量 的

7、函数式，并讨的函数式，并讨论这个函数的定义域论这个函数的定义域xaxa-2xa-2x练习二练习二 将一个底面圆的直径为将一个底面圆的直径为 d的圆柱截成横截面的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为 x,截面的面积为截面的面积为S，求面积，求面积S以以 x为自变量的函数式，并为自变量的函数式，并写出它的定义域写出它的定义域dxOABDC小小结结 函数应用题的解题步骤可以用下面函数应用题的解题步骤可以用下面的框图表示的框图表示:数学模型的解数学模型的解实际应用问题实际应用问题数学模型数学模型实际问题的解实际问题的解抽象概括抽象概括还

8、原说明还原说明推理演算推理演算作业：作业：P88练习练习3，4题；题；P89习题习题2.9第第1，2，3题题.阅读阅读P90自由落体运动的数学模型自由落体运动的数学模型 预习预习P92实习作业实习作业建立实际问题的建立实际问题的 函数模型函数模型 例例3设在海拔设在海拔xm处的大气压强是处的大气压强是yPa，y与与x之间的之间的函数关系式是函数关系式是y=cekx，其中其中c，k为常量已知某为常量已知某地某天在海平面的大气压为地某天在海平面的大气压为1.01105Pa，1000m高高空的大气压为空的大气压为0.90105Pa，求求600m高空的大气压强高空的大气压强(结果保留结果保留3个有效数

9、字个有效数字)例四例四.以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表表身高身高/cm/cm60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110 110 120 120 130 130 140 140 150 150 160 160 170170体重体重/kg/kg6.136.13 7.907.909.999.9912.1512.15 15.0215.02 17.5017.50 20.9220.92 26.8626.86 31.1131.11 38.8538.85 47.2547.25 55.0555.05根据上表中各组对应的数据，能否

10、从我们学过的函数根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数 中找到一种函数中找到一种函数,使它比较近似地反映该使它比较近似地反映该地未成年男性体重地未成年男性体重y关于身高关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解的函数关系，试写出这个函数的解析式析式,并求出并求出a,b的值的值若体重超过相同身高男性平均值的若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于倍为偏胖，低于0.8倍为倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重体重78 kg，他的体重是，他的体重是否正常？否正常？根据上表的数据描点画出图象，观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因

11、此，可以判断它不能用函数来近似反映根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数来近似反映函数拟合与预测的步骤函数拟合与预测的步骤：在中学阶段，在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤：在中学阶段，在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤：能够根据原始数据、表格能够根据原始数据、表格.绘出散点图绘出散点图 通过考察散点图通过考察散点图,画出画出“最贴近最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点点”不漏，那么这将是个十分完不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实

12、际应用中，这种情况是不可能发生的因此，使实际点尽可能美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是就是“最贴近最贴近”的了的了根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据据 练习练习：某工厂今年月、某工厂今年月、2月、月、3月生产某种月生产某种产品为产品为1万件、万件、1.2万件、万件、1.3万件，为了估计以后万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量用一个函数模拟该产品的月产量y与月份与月份x的关系，的关系，模拟函数可以选用二次函数或模拟函数可以选用二次函数或y=abx+c（其中其中a、b、c为常数），已知为常数），已知4月份该产品的产量为月份该产品的产量为1.37万件，万件，请问用以上哪一个函数作为模拟函数较好？请说请问用以上哪一个函数作为模拟函数较好？请说明理由。明理由。