第四章弯曲应力.ppt

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1、弯 曲 应 力第 四 章 对称弯曲的概念及计算简图对称弯曲的概念及计算简图对称弯曲的概念及计算简图对称弯曲的概念及计算简图 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力

2、图平面刚架和曲杆的内力图 梁的合理设计梁的合理设计梁的合理设计梁的合理设计一、弯曲的概念一、弯曲的概念4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图 梁梁：以弯曲变形为主的杆件。以弯曲变形为主的杆件。1.弯曲变形弯曲变形 外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。（有时还包括力偶）。受力特征受力特征：变形特征变形特征：梁变形前为直线的轴线：梁变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。，变形后成为曲线。纵向对称面纵向对称面 ：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为纵向对称面。称为纵向对称面。

3、对称弯曲对称弯曲 ：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。这种弯曲称为对称弯曲。二、对称弯曲二、对称弯曲非对称弯曲非对称弯曲：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯曲。但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯曲。AB横截面的对称轴横截面的对称轴梁的轴线梁的轴线纵向对称面纵向对称面变形后的轴线与外力变形后的轴线与外力在同一平面内在同一平面内三、

4、梁的计算简图三、梁的计算简图RH（1 1）固定端固定端 在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁1.支座的简化支座的简化RHR（2 2）固定铰支座）固定铰支座(3)(3)可动铰支座可动铰支座2.工程中常用到的静定梁工程中常用到的静定梁悬臂梁悬臂梁外伸梁外伸梁简支梁简支梁3.几种超静定梁几种超静定梁lABCqF例题例题1 1:计算计算悬臂梁的约束力。悬臂梁的约束力。FqBAlC由平衡方程得由平衡方程得：解解:求梁的约束力求梁的约束力 RA 和和 mR。解得：解得：1m1m1m0.5m3mF=50kNM=5kN.mAECDKB例题例题2：计算图：计算图所示多跨静定梁的约束力

5、。所示多跨静定梁的约束力。1m1m1m0.5m3mF=50kNM=5kN.mAECDKB再将副梁再将副梁 CB 的两个约束力的两个约束力 XC ，YC 反向，反向，并分别加在主梁并分别加在主梁 AC 的的 C 点处，求出点处，求出 AC 的约束力。的约束力。分析：先将中间铰分析：先将中间铰 C 拆开，并通过平衡方程求出副梁拆开，并通过平衡方程求出副梁 CB 的约束力。的约束力。CM=5kN.mDKB1m1m1m0.5m3mP=50kNM=5kN.mAECDKB解：（解：（1）研究）研究CB梁，由平衡方程梁，由平衡方程M=5kN.mDKBF=50kNAEC（2）研究）研究 AC 梁，由平衡方程梁

6、，由平衡方程aFAB一、梁的剪力（一、梁的剪力（Fs）和弯矩和弯矩 （M ）的定义与计算的定义与计算4-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图mmx1.用截面法求横截面上的内力用截面法求横截面上的内力Fs用截面法假想地在用截面法假想地在横截面横截面mm处把梁分处把梁分为两段，先分析梁左段。为两段，先分析梁左段。xxmAmyCaFABmmx由平衡方程得由平衡方程得可得可得 Fs=FAFs 称为称为 剪力剪力剪力剪力可得可得 M=FA x由平衡方程由平衡方程FsM内力偶内力偶 M 称为称为 弯矩弯矩弯矩弯矩aFABmmxxxmAmyCFsMaFABmmxxxmAmyC梁在弯

7、曲变形时，梁在弯曲变形时，横截面上的内力有横截面上的内力有两个，即，两个，即，结论结论剪力剪力 Fs弯矩弯矩 MFsMBmmF取右段梁为研究对象。取右段梁为研究对象。其上剪力的指向和弯矩其上剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。研究对象所示相反。MFsxxmAmyCdxmmFsFs+（1）剪力）剪力 Fs 的符号的符号使使dx 微段有微段有 左端向上而右端向下左端向上而右端向下左端向上而右端向下左端向上而右端向下的相对错动时，横截面的相对错动时，横截面 m-m 上上的剪力为的剪力为 正正。2.Fs 和和 M 的正负号的规定的正负号的规定或使或使 dx 微段有

8、顺时针转动趋势的剪力为微段有顺时针转动趋势的剪力为 正正。使使 dx 微段有微段有 左端向下而右端向上左端向下而右端向上左端向下而右端向上左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面的相对错动时，横截面 m-m 上上的剪力为的剪力为负负。dxmmFsFs-或使或使 dx 微段有逆时针转动趋势的剪力微段有逆时针转动趋势的剪力为为 负负。mm+_当当 dx 微段的弯曲微段的弯曲下凸下凸（即该段的（即该段的下半部受拉下半部受拉）时时，横截面横截面m-m 上的弯矩为上的弯矩为 正正正正；（2）弯矩符号）弯矩符号（受拉）（受拉）MMmm（受压）（受压）MM当当 dx 微段的弯曲微段的弯曲上上凸凸（即该段的（

9、即该段的下半部受拉下半部受拉压压）时时，横截面横截面m-m 上的弯矩为为上的弯矩为为负负负负。BdEDAabclCF例题例题3：为图示梁为图示梁的计算简图。已知的计算简图。已知 P1、P2，且且 P2 P1，尺寸尺寸a、b、c 和和 l 亦均为已知。试求梁在亦均为已知。试求梁在 E、F 点处横截面处的点处横截面处的剪力和弯矩。剪力和弯矩。解解:BdEDAabclCF解得：解得：BdEDAabclCF记记 E 截面处的剪力截面处的剪力为为 FsE 和弯矩和弯矩 ME。AECBdEDAabclCF假设假设 FsE 和弯矩和弯矩 ME 均为均为 正值正值。解得解得+BdEDAabclCFAECAEC

10、a-cb-ccDl-cBE取右段为研究对象取右段为研究对象BdEDAabclCF解得：解得：+AECa-cb-ccDl-cBEFdB 计算计算 F 点横截面处的剪力点横截面处的剪力 FsF 和弯矩和弯矩 MF。BdEDabclCF-+解得：解得：例题例题4：图图示简支梁受线性变化的分布荷载作用示简支梁受线性变化的分布荷载作用，最大荷载集度为最大荷载集度为 q0。试计算梁在试计算梁在 C 点处横截面上的点处横截面上的剪力和弯矩。剪力和弯矩。lABCa解：求梁的支座力解：求梁的支座力 RA 和和 RBlABCa由平衡方程得由平衡方程得：解得：解得：CaA此合力距此合力距 C 点的距离为点的距离为

11、a/3 在在 C 点处梁上的荷载集度为点处梁上的荷载集度为该梁段上分布荷梁段上分布荷载的合力的合力为lABCa列出平衡方程列出平衡方程CaAlABCa解得解得当当时时 FsC 为为正正MC 恒为正恒为正CaAlABCa（1）横截面上的）横截面上的 剪力剪力剪力剪力 在数值上在数值上等于等于此横截面的此横截面的 左侧左侧 或或 右侧右侧 梁段上梁段上 外力的代数和外力的代数和。向上的外力引起正值的剪力向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力向下的外力引起负值的剪力向下的外力引起正值的剪力向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力向上的外力引起负值的剪力求剪力和弯矩的简便方法求剪力和

12、弯矩的简便方法求剪力和弯矩的简便方法求剪力和弯矩的简便方法左侧左侧 梁段：梁段：右侧右侧 梁段：梁段：（2）横截面上的）横截面上的 弯矩弯矩弯矩弯矩 在数值上在数值上等于等于此横截面的此横截面的 左侧左侧 或或 右侧右侧 梁段上的梁段上的 外力对该截面形心的力矩之代数和外力对该截面形心的力矩之代数和。不论在截面的不论在截面的 左侧左侧 或或 右侧右侧 向上的外力均将引起向上的外力均将引起 正值正值 的弯矩，而向下的弯矩，而向下 的外力则引起的外力则引起 负值负值 的弯矩。的弯矩。顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩逆时针转向的外力偶引

13、起负值的弯矩逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩左侧梁段：左侧梁段：右侧梁段：右侧梁段：例题例题5：轴的计算简图如图所示，已知轴的计算简图如图所示，已知 P1=P2=P=60kN，a=230mm，b =100 mm 和和c=1000 mm。求求 C、D 点处点处横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。ACDBbac 解：解：ACDBbac（1 1）计算）计算 C 横截面上的剪力横截面上的剪力 FsC 和弯矩和弯矩 MC 。看左侧看左侧（2）计算）计算 D 横截面上的剪力横截面上的剪力 FsD 和弯矩

14、和弯矩 MD。看左侧看左侧ACDBbac1m2.5m10kN.mABC12解：解：例题例题例题例题6 6：求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩C12看左侧看左侧1m2.5m10KN.mABC121 截面截面看右侧看右侧看左侧看左侧C121m2.5m10kN.mABC122 截面截面例题例题7：求指定截面上的内力：求指定截面上的内力 FsA左左，FsA右右，FsD左左，FsD右右，MD左左，MD右右，FsB左左，FsB右右。解：解：FA=14.5 kN，FB=3.5 kN m=3kN.m2m2m4mCADBFAFB看左侧看左侧看右侧看右侧计算计算 FsA左左，FsA右

15、右，FsD左左，FsD右右m=3kN.m2m2m4mCADBFAFB看右侧看右侧看左侧看左侧看右侧看右侧看左侧看左侧计算计算 MD左左，MD右右m=3kN.m2m2m4mCADBFAFB看右侧看右侧计算计算 FsB左左，FsB右右m=3kN.m2m2m4mCADBFAFBFs =Fs(x)M =M（x）即：即：二、剪力方程和弯矩方程二、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图1.剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律规律，分别称作剪力方程和弯矩方程分别称作剪力方程和弯矩方程。弯矩图为正

16、值画在弯矩图为正值画在 x 轴轴下侧下侧，负值画在，负值画在 x 轴轴上侧上侧2.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图为正值画在剪力图为正值画在 x 轴轴上侧上侧，负值画在，负值画在 x 轴轴下侧下侧绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的 剪力方程剪力方程 和和 弯矩方程弯矩方程 ，然后根据它们作图。，然后根据它们作图。Fs 图的坐标系图的坐标系xFs(x)oM 图的坐标系图的坐标系xM(x)oAFBl例题例题8：图图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用作用,试作此梁的剪力图和弯矩图。试作此梁的剪力

17、图和弯矩图。AFBlx解解：将坐标原点取在梁的左端，将坐标原点取在梁的左端，写出写出梁的梁的剪力方程剪力方程 和和 弯矩方程弯矩方程：FsxFFlxMAFBlx解解：求得两个约束力求得两个约束力ABl例题例题9：图图示的简支梁示的简支梁，在全梁上受集度为，在全梁上受集度为 q 的均布荷载的均布荷载作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。ABl取距左端为取距左端为 x 的任意横截面。写出的任意横截面。写出 剪力方程剪力方程 和和 弯矩方程弯矩方程。x剪力图为一倾斜直线。剪力图为一倾斜直线。绘出剪力图。绘出剪力图。x=0 处，x=l 处，+ABlx弯矩图为一条二次抛物线

18、弯矩图为一条二次抛物线,由由x =l ,M=0ABlx令令得驻点得驻点弯矩的极值弯矩的极值ABlx绘出弯矩图绘出弯矩图ABlx+梁跨中截面上的弯矩值为最大梁跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上但此截面上，Fs=0两支座内侧横截面上剪力两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大绝对值为最大ABlx+lFABcab解：求梁的约束力解：求梁的约束力例题例题10:图图示的简支梁在示的简支梁在 C 点处受集中荷载点处受集中荷载 F作用。作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。试作此梁的剪力图和弯矩图。因为因为 AC 段和段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段写段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程。剪力方

19、程和弯矩方程。lFABcablFABcab将坐标原点取在梁的左端将坐标原点取在梁的左端 AC段：段：CB段：段：xx由（由（1），（），（3）两式可知）两式可知，AC，CB 两段梁的剪力图各是一条两段梁的剪力图各是一条平行于平行于 x 轴的直线。轴的直线。lFABcabxx+-由（由（2），（），（4）式可知，）式可知，AC，CB 两段梁的弯矩图各是一两段梁的弯矩图各是一条斜直线条斜直线+lFABcabxx在集中荷载作用处的左，在集中荷载作用处的左，右右 两侧截面上两侧截面上:剪力值（图）有突变剪力值（图）有突变剪力值（图）有突变剪力值（图）有突变,突突突突变变 值值等于集中荷等于集中荷等于集

20、中荷等于集中荷载载F F。弯矩图形成尖角，弯矩图形成尖角，弯矩图形成尖角，弯矩图形成尖角，该处该处该处该处弯矩值最大弯矩值最大弯矩值最大弯矩值最大，lFABcabxx+-+（2）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束 处，处，及支座截面处为界点将梁分段及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方分段写出剪力方程和弯矩方 程，然后绘出剪力图和弯矩图。程，然后绘出剪力图和弯矩图。作剪力图和作剪力图和作剪力图和作剪力图和弯矩图的弯矩图的弯矩图的弯矩图的几条规律几条规律几条规律几条规律（1）取梁的左端点为座标原点，）取梁的左端点为座标原点，x

21、 轴向右为正；剪力图向轴向右为正；剪力图向 上为正；上为正；弯矩图弯矩图向下为正。向下为正。（3）梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成弯矩图则形成一个尖角一个尖角。（4）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处但在此处剪力剪力图没有变化。图没有变化。（5）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；

22、）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或或 Fs=0 的截面处。的截面处。ABF例题例题11：一一简支梁受移动荷载简支梁受移动荷载 F 的作用如的作用如图图所示。试求梁的所示。试求梁的最大弯矩为极大时荷载最大弯矩为极大时荷载 F 的位置。的位置。解：先设解：先设 F在距左支座在距左支座A 为为 x 的任意位置。求此情况下梁的的任意位置。求此情况下梁的最大最大弯矩为极大。弯矩为极大。lABFFAFB荷载在任意位置时，支荷载在任意位置时，支座约束座约束力为力为：C当荷载当荷载 F 在距左支座为在距左支

23、座为 x 的任意位置的任意位置 C 时，梁的时，梁的弯弯矩值为矩值为：令令lABFFAFBC此结果说明：当移动荷载此结果说明：当移动荷载 F在简支梁的跨中时，在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大梁的最大弯矩为极大。得最大弯矩值得最大弯矩值将将 x=l/2 代入式代入式例题例题12：已知：已知 q=3kN/m,m=3kN.m，列内力方程并画内力图。列内力方程并画内力图。ACBDqm2m2m4m解：解：FA=14.5 kN ，FB=3.5 kNxxFs(x)=-qx=-3x(0 x 2)AD:(2x 6)ACBDqm2m2m4m(0 x 2)CA:(2 x 6)xxxDB:(6 x 8)(6 x

24、8)ACBDqm2m2m4m画剪力图画剪力图+-CA:Fs(x)=-qx=-3xAD:DB:(0 x 2)(2x 6)(6 x 8)xxxACBDqm2m2m4m6kN8.5kN3.5kNx=4.83m由得14.5-3x=0 x=4.83m 为弯矩的极值点为弯矩的极值点AD:(2x 6)(2 x 6)+-xxxACBDqm2m2m4m6kN8.5kN3.5kNx=4.83m画弯矩图画弯矩图+-6.04(6 x 8)(2 x 6)(0 x 2)ACBDqm2m2m4m单位单位:kN.m467三、弯矩、剪力三、弯矩、剪力 与与 分布荷载集度分布荷载集度 间的微分关系及其应用间的微分关系及其应用 1

25、.弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系设梁上作用有任意分布荷载其集度设梁上作用有任意分布荷载其集度 q=q(x)xyq(x)FMe规定规定：q q(x x)向上为正。向上为正。向上为正。向上为正。将将 x 轴的坐标原点取在梁的轴的坐标原点取在梁的 左端左端左端左端 。xyq(x)FMexyq(x)FMe假想地用坐标为假想地用坐标为 x 和和 x+dx 的的两横截面两横截面 m-m 和和 n-n 从梁从梁中取出中取出 dx 一段。一段。mmnnq(x)Cxmmnn dx由于由于dx 很很小，略去小，略去 q(x)沿沿 dx 的变化。的变化。mmnnq(x)Cm

26、-m 截面上内力为截面上内力为 Fs(x)，M(x)Fs(x)M(x)nn 截面处内力分别为截面处内力分别为 Fs(x)+dFs(x),M(x)+dM(x)。Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)xyq(x)FMexmmnn dx Fy=0Fs(x)-Fs(x)+dFs(x)+q(x)dx=0得到得到 写出平衡方程写出平衡方程=q(x)dFs(x)dxmmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)写出平衡方程写出平衡方程略去二阶无穷小量即得略去二阶无穷小量即得mmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)得到得到mmnn

27、q(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)公式的几何意义公式的几何意义公式的几何意义公式的几何意义剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小处荷载集度的大小处荷载集度的大小处荷载集度的大小弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。处剪力的大小。处剪力的大小。处剪力的大小。M(x)图为一向图为一向下下凸的二次抛物线凸的二次抛物线Fs(x)图为一向右下方倾斜的直线图为一

28、向右下方倾斜的直线xFs(x)o2.q(x)、Fs（x）图、图、M（x）图三者间的关系图三者间的关系（1）梁上有向下的均布荷载，即）梁上有向下的均布荷载，即 q q(x x)0)0 时，向右下方倾斜。时，向右下方倾斜。当当 Fs(x)0 时，向右上方倾斜。时，向右上方倾斜。梁上最大弯矩可能发生在梁上最大弯矩可能发生在 Fs(x)=0 的截面上的截面上，或梁段边界的或梁段边界的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处形成尖角。弯矩图的相应处形

29、成尖角。在集中力偶作用处弯矩图有突变在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。值，但剪力图无变化。q0向下的均布向下的均布荷载荷载无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶MeC向下倾斜的向下倾斜的直线直线 或或下凸的二次下凸的二次抛物线抛物线在在Fs=0的截面的截面水平直线水平直线+一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变处有突变F在在C处有尖角处有尖角或或在剪力突变在剪力突变的截面的截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变Me在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图

30、的特征弯矩图的特征最大弯矩所在最大弯矩所在截面的可能位置截面的可能位置表表表表 4-1 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征例题例题13：一简支梁受均布荷载作用，其集度：一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m,如图如图 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。解：计算梁的约束力解：计算梁的约束力EqABCD0.21.612FAFB将梁分为将梁分为 AC、CD、DB 三段。三段。AC和和 DB上无荷载，上无荷载，CD 段有向下的均布荷载。段有向下

31、的均布荷载。EqABCD0.21.612FAFB+80kN80kNDB段段：水平直线：水平直线CD段段：向右下方的斜直线向右下方的斜直线AC段段：水平直线：水平直线 FsA右右 =FA=80 kN剪力图剪力图EqABCD0.21.612FAFB最大剪力发生在最大剪力发生在 CD 和和 DB 段的任一横截面上。段的任一横截面上。+80kN80kNEqABCD0.21.612FAFB弯矩图弯矩图AC段段：向下倾斜的直线：向下倾斜的直线CD段段：向下凸的二次抛物线：向下凸的二次抛物线+80kN80kNEqABCD0.21.612FAFB其极值点在其极值点在 Fs=0 的中点的中点 E处的横截面上。处

32、的横截面上。DB段段：向上倾斜的直线：向上倾斜的直线 MB =0+80kN80kNEqABCD0.21.612FAFB+单位：单位：kN.m全梁的最大弯矩梁跨中全梁的最大弯矩梁跨中 E点的横截面上。点的横截面上。EqABCD0.21.612 MB =0161648例题例题14：作梁的内力图：作梁的内力图解：支座约束力为解：支座约束力为3m4mABcDE4m4m将梁分为将梁分为 AC、CD、DB、BE 四段四段3m4mABcDE4m4m剪力图剪力图AC：向下斜的直线向下斜的直线（）3m4mABcDE4m4m剪力图剪力图CD：向下斜的直线向下斜的直线()3m4mABcDE4m4m剪力图剪力图DB：

33、水平直线水平直线(）EB：水平直线水平直线(）7kN+-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kN7kN+-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kNFx=5mF点剪力为零点剪力为零,令令其距其距 A点为点为 xx=5m7kN+-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kNFx=5m弯矩图弯矩图AC：()（CD：()（7kN+-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kNFx=5m弯矩图弯矩图DB：()BE：()3m4mABcDE4m4m单位：单位：kN.m201620.5+-662.分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系若在若

34、在 x=a 和和 x=b 处两个横截面处两个横截面 A、B 间无集中力则间无集中力则等号右边积分的几何意义是，上述等号右边积分的几何意义是，上述 A，B 两横截面间两横截面间分布荷载图的面积分布荷载图的面积。式中，式中，FsA，FsB 分别为在分别为在 x=a,x=b 两处各横截面两处各横截面 A，B 上的剪力。上的剪力。若横截面若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得式中，式中，MA，MB 分别为在分别为在 x=a,x=b 处两个横截面处两个横截面 A 及及 B 上的弯矩上的弯矩。等号右边积分的几何意义是，等号右边积分的几何意义是，A，B 两个横截面间两个横截面间剪力图的面

35、积剪力图的面积。例题例题15：计算梁的：计算梁的 C、E 两横截面上的剪力和弯矩。两横截面上的剪力和弯矩。EqABCD0.21.612PAPB在在AC段中段中 q=0，且且 FsA 右右=RA解：解：EqABCD0.21.612PAPB在在 CE 段中段中EqABCD0.21.612PAPB在在 AC 段中段中 FsC=80kN，剪力图剪力图为矩形，为矩形，MA=0+80kN80kN1EqABCD0.21.612PAPB1EqABCD0.21.612PAPB在在 CE 段中，剪力图为三角形段中，剪力图为三角形FsC=80kN，MC=16kN.m+80kN80kN解：解：支座力为支座力为RA =

36、81 kN,RB =29 kN,mA=96.5 kN.m例题例题1616：用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图。梁长单位是米：用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图。梁长单位是米(m)。10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA将梁分为将梁分为 AE，EC，CD，DK，KB 五段。五段。剪力图剪力图AE段段：水平直线：水平直线FsA右右 =FsE左左=RA=81kNED 段：水平直线段：水平直线FsE右右=RA-P=31kNDK 段：向右下方倾斜的直线段：向右下方倾斜的直线FsK=-RB=-29kNKB 段：水平直线段：水平直线FsB左左=-RB=-29 kN+81kN31kN29

37、kN10.5113F=50kNM=5kN.mAE CDKBRARBmA剪力图剪力图+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAE CDKBRARBmA设距设距 K 截面为截面为 x 的截面上的截面上剪力剪力Fs=0。即。即x=1.45m弯矩图弯矩图+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAE CDKBRARBmAxAE，EC，CD 梁段均梁段均为向下倾斜的直线为向下倾斜的直线=1.45m弯矩图弯矩图+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAE CDKBRARBmAx=1.45mDK段：向下凸的二次抛物线段：向下凸的二次

38、抛物线在在 Fs=0 的截面上弯矩有极值的截面上弯矩有极值KB 段：向下倾斜的直线段：向下倾斜的直线弯矩图弯矩图10.5113F=50kNM=5kN.mAE CDKBRARBmA+x=1.45m15.5315534596单位：单位：kN.m10.5113F=50kNM=5kN.mAE CDKBRARBmA+x=1.45m15.5315534596单位：单位：kN.m+81kN31kN29kN中间铰链传递剪力中间铰链传递剪力（铰链左、右两侧的剪力相等）；（铰链左、右两侧的剪力相等）；但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。+abcd18kN2kN3m3m6m补充例题补

39、充例题：已知简支梁：已知简支梁，的剪力图作梁的弯矩图的剪力图作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。有集中力偶作用。CABD14kN+abcd18kN2kN3m3m6mCABD14kN解：解：画荷载图画荷载图AB 段：没有荷载，在段：没有荷载，在B处处有集中力，有集中力，F=20kN。因为因为所以所以F()F=20kN+abcd18kN2kN3m3m6mCABD14kN解：解：画荷载图画荷载图F=20kNq=2kNBC 段：无荷载段：无荷载CD 段：有均布荷载段：有均布荷载 q()+abcd18kN2kN3m3m6mcabd14kN解：解：画弯矩图画弯矩图AB段：向

40、右下倾斜的直线段：向右下倾斜的直线54BC段：向右上倾斜的直线段：向右上倾斜的直线CD段：向下凸的二次抛物线。段：向下凸的二次抛物线。该段内弯矩没有极值。该段内弯矩没有极值。48+补充例题补充例题：已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图。：已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图。abcd解：解：作剪力图作剪力图AB段：因为段：因为 M(x)=常量，常量，剪力图剪力图为水平直线，且为水平直线，且 Fs(x)=0。40kN.m+abcd2m2m2mBC段段 ：Fs(x)=常量常量,剪力图为水平直线剪力图为水平直线CD段段 ：剪力图为水平直线且剪力图为水平直线且 Fs(x)=020kNabc

41、d解：解：作荷载图作荷载图40kN.m+abcd2m2m2m20kNAB段段:无荷载无荷载,m=40kN.m ()在在A处有集中力偶处有集中力偶ABCDmF=20kN ()B 处有集中力处有集中力集中力集中力FBC段：无荷载，段：无荷载，C处有集中力。处有集中力。集中力集中力 :F=20kN ()CD段：段：无荷载无荷载F四、按叠加原理作弯矩图四、按叠加原理作弯矩图当梁上受几项荷载共同作用时，某一横截面上的当梁上受几项荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。上弯矩的代数和。F=ql/3qxl臂梁受集中臂梁

42、受集中荷载荷载 F 和均布荷载和均布荷载 q 共同作用，在距左端共同作用，在距左端为为 x 的任一横截面上的弯矩为的任一横截面上的弯矩为FxFqxlqxF 单独作用单独作用q 单独作用单独作用F，q 作用该截面上的弯矩等于作用该截面上的弯矩等于F，q 单独作用该截面上的弯矩单独作用该截面上的弯矩的代数和的代数和FxFqxlqx-+-+-+例题例题17：图 示一外伸梁示一外伸梁，a=425mm,F1、F2、F3 分别为分别为 685 kN，575 kN，506 kN。试按叠加原理作此梁的弯矩图，求梁的试按叠加原理作此梁的弯矩图，求梁的 最大弯矩。最大弯矩。BCF2F3aDEF1Aaaa解：将梁上

43、荷载分开解：将梁上荷载分开BCaDEF1Aaaa-291adcbeBCF2F3aDEF1Aaaa+adcbe122BCaDEF2AaaaBCF2F3aDEF1AaaaBCaDEF3AaaaBCF2F3aDEF1Aaaa-adcbe215BCF2F3aDEF1Aaaa-adcbe215+adcbe122-291adcbe291215131-adcbe作业P146 4-1,4-2(b,d)P147 4-3(b,e,g),4-4(a)4-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图平面刚架的内力平面刚架的内力：剪力剪力剪力剪力，弯矩弯矩弯矩弯矩，轴力轴力轴力轴力ABC平面刚架是由在同一平面内，不

44、同取向的杆件，通过杆端平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。相互刚性连结而组成的结构。一、平面刚架的弯矩图，轴力图一、平面刚架的弯矩图，轴力图弯矩图：弯矩图：弯矩图：弯矩图：画在各杆的受压一側，不注明正，负号。画在各杆的受压一側，不注明正，负号。剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一側（通常正值画在可画在刚架轴线的任一側（通常正值画在 刚架的外側）。注明正，负号。刚架的外側）。注明正，负号。例题例题：图示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力：图示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力F1 和和 F2 作用

45、，作此刚架的弯矩图和轴力图作用，作此刚架的弯矩图和轴力图。alF1F2ABC解：将刚架分为解：将刚架分为 CB，AB 两段两段CB 段：段：FN(x)=0M(x)=F1x (0 x a)CxM(x)alF1F2ABCxFN(x)Fs(x)Fs(x)=F1 (+)(0 x a)CBaBA 段段：FN(x)=F1 （）(0 x l)M(x)=F1a+F2 x (0 x l)xFs(x)Fs(x)=F2 (+)(0 x l)alF1F2ABCF1FN图图CB段：段：FN(x)=0 BA段：段：FN(x)=F1（）alF1F2ABCFs图图CB段：段：BA段：段：alF1F2ABCF2+F1Fs(x)

46、=F2 (+)Fs(x)=F1 (+)CB段：段：M(x)=F1x (0 x a)BA段：段：M(x)=F1a+F2 x (0 x l)alF1F2ABCM图图F1aF1a+F2lF1a二、平面曲杆的弯曲内力二、平面曲杆的弯曲内力引起拉伸的轴力为正引起拉伸的轴力为正使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩。使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩。产生顺时针转动趋势的剪力为正产生顺时针转动趋势的剪力为正ooPtn oCFoR FNM FsFoR+FRM外伸梁弯曲内力图外伸梁弯曲内力图 4-4 梁截面上的正应力梁截面上的正应力 梁的强度条件梁的强度条件当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上当梁

47、上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩既又弯矩 M，又有剪力又有剪力 Fs。mmFsM154只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=dAdA 才能合成弯矩才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF Fs s=dAdA 才能合成才能合成剪力剪力所以，在梁的横截面上一般既有所以，在梁的横截面上一般既有 正应力正应力，又有又有 切应力切应力mmFsmmM 一、纯弯曲梁截面上的正应力一、纯弯曲梁截面上的正应力 FFaaCD+FF+Fa简支梁简支梁 CD 段任一横截面段任一横截面上上，剪力等于零，而弯矩剪力等

48、于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯为常量，所以该段梁的弯曲就是曲就是 纯弯曲纯弯曲。若梁在某段内各横截面上的若梁在某段内各横截面上的 弯矩为常量弯矩为常量弯矩为常量弯矩为常量，剪力为零剪力为零剪力为零剪力为零，则该段梁的弯曲就称为则该段梁的弯曲就称为纯弯曲纯弯曲。推导公式时，要综合考虑推导公式时，要综合考虑 几何几何，物理物理 和和 静力学静力学 三方面三方面 。取取 一一 纯弯曲纯弯曲 梁来研究梁来研究。推导推导 纯弯曲纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。梁横截面上正应力的计算公式。1.几何方面几何方面以及横向线相垂直的一系列的纵向线以及横向线相垂直的一系列的纵向线（如（如 aa，bb 等等

49、）。mmnnaabb梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如 mm，nn 等）等）mm（1）变形前相互平行的纵向直线（）变形前相互平行的纵向直线（aa，bb 等），等），变形后均为变形后均为 圆弧线（圆弧线（aa，bb等等)，且靠上部的缩短靠下部的伸长。且靠上部的缩短靠下部的伸长。梁变形后观察到的现象梁变形后观察到的现象mmnnaabbaabbmmmmnnaabb（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（）变形前垂直于纵向直线的横向线（mm,nn 等等）变形后仍）变形后仍 为直线（为直线（mm,nn 等）等），但相对转了一个角度，且与，但相对转了一个角

50、度，且与 弯曲后的纵向直线垂直。弯曲后的纵向直线垂直。mmnnaabb平面假设平面假设平面假设平面假设 ：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍为平面，它绕着该横截面上的为平面，它绕着该横截面上的 某一轴某一轴 旋转了一旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线 。由平面假设可知，在梁弯曲时，由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个这两个横截面将相对地旋转一个角度角度 d 。用两个横截面从梁中假想地截取用两个横截面从梁中假想地截取长为长为 dx 的一段的一段。d（3）公式推导）公式推导d 横截面的转动将使梁的凹边的纵横截面的