第3章 布尔代数与逻辑函数化简.ppt

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1、第第3 3章章 布尔代数与逻辑函数化简布尔代数与逻辑函数化简3.1 3.1 基本公式和法则基本公式和法则 3.2 3.2 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简 3.3 3.3 卡诺图化简卡诺图化简 布尔代数又叫逻辑代数或开关代数，它是英国人乔治布尔(G，Boo1e)于1849年首先建立的。1938年香农(Shannon)才开始将其用于开关电路的设计。到20世纪60年代，数字技术的发展才使布尔代数成为逻辑设计的基础，在数字电路的分析与设计中得到广泛的应用。在布尔代数中，它把矛盾的一方假定为“1”,另一方假定为“0”，这样就把逻辑问题数学化了，然后利用布尔代数中的一些基本前提及定理，对问题作数

2、学运算便可得到合乎逻辑推理的结果。由于数字电路采用的是“0”和“l”二进制代码，因此布尔代数也就成了逻辑电路分析和设计的重要数学工具。布尔代数与普通代数均是以字母A、B、C、X、Y、Z等来表示变量的。但在布尔代数中，这些变量的取值范围仅是“0”和“1”，这些变量称为逻辑变量。逻辑运算有三种基本运算，即与、或、非。而一个实际的逻辑电路往往是比较复杂的，是由许多基本运算组成的，即由许多门电路组成。如何分析它的功能，如何设计出这些电路，还需要我们进一步来讨论布尔代数的一些基本公式和规则。3.1基本公式和规则3.1.1基本公式基本公式反映了逻辑运算的一些基本规律，只有掌握了这些基本公式，才能正确地分析

3、和设计出逻辑电路。下表给出了布尔代数常用的基本公式。1.基本公式和规则可见，每个定律几乎都是成对出现的，它们互为对偶式，证明一个即可2.逻辑代数的基本公式验证用真值表逻辑代数的基本公式验证用真值表ABCBCA+BC(A+B)(A+C)(A+B)(A+C)00000101001110010111011100010001000111110011111101011111000111113.分配律证明分配律证明A+BC=(A+B)(A+C)由表中可知A+BC=(A+B)(A+C)吸收律1的证明中，只证第二式：在吸收律2的证明中，也只证第二式：A+AB=A(1+B)=A(因为1+B=1)吸收律3也只证第

4、二式：（证毕）（证毕）（证毕）4.吸收律证明5.多余项定律证明6.多余项定律可推广为3.1.2逻辑代数的基本法则1、代入法则逻辑等式中的任何变量A，都可用另一函数Z代替，等式仍然成立。代入法则可以扩大基本公式的应用范围。例例1证明解解这是两变量的求反公式，若将等式两边的B用B+C代入便得到这样就得到三变量的摩根定律。同理可将摩根定律推广到n变量两变量以上的非号不动，则可得原函数F的对偶式G，且F和G互为对偶式。根据对偶法则知原式F成立，则其对偶式也一定成立。这样，我们只需记忆表3-1基本公式的一半即可，另一半按对偶法则可求出。注意，在求对偶式时，为保持原式的逻辑优先关系，应正确使用括号，否则就

5、要发生错误。如逻辑代数的基本法则将任何一个逻辑表达式中的所有“”换成“+”，“+”换成“”“0换成“1”，“1”换成“0”变量不变变量以上的非号要保留所得到的表达式就是原函数F的对偶函数G，且F和G互为对偶式，这个规则称为对偶规则。例如：2.对偶法则 讨论对偶函数的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则，我们只需记忆基本公式的一半即可，另一半按对偶法则可求出。其对偶式为如不加括号，就变成显然是错误的。注意：在求一个函数的对偶函数时，要注意先后顺序，为保持原式的逻辑优先关系，应正确使用括号，否则就要发生错误。如：逻辑代数的基本法则由原函数求反函数，称为反演或求反。摩根定

6、律是进行反演的重要工具。多次应用摩根定律，可以求出一个函数的反函数。例2求的反函数解用摩根定律求3.反演法则逻辑代数的基本法则先算第一个大非号由上面可以看出反复用摩根定律即可，当函数较复杂时，求反过程就相当麻烦。为此，人们从实践中归纳出求反的法则。逻辑代数的基本法则将任何一个逻辑表达式中的所有“”换成“+”，“+”换成“”“0换成“1”，“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量公共非号(两个或两个以上变量的非号)要保留那么所得到的表达式就是函数F的反函数(或称补函数)。这个规则称为反演规则。反演法则逻辑代数的基本法则反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”。逻辑代数的基本法则例2

7、与上面用摩根定律求出结果一样。例1：例2：注意：在运用反演规则求一个函数的反函数时，逻辑运算的优先顺序：先算括号与运算或运算非运算。另外，为保持原式的逻辑优先关系，也要正确使用括号，否则就要发生错误。逻辑代数的基本法则1.证明等式2.我们可以通过上述基本公式证明等式的成立。例3用公式证明异或逻辑的非同或逻辑，用真值表可以证明,用基本公式也能证明。3.1.3基本公式应用解：得00将此等式推广：在两项组成的与或表达式中，如果其中一项中含有原变量 ，而另一项含有变 ，将这两项的其余因子各自取反，就可得该函数的反函数。例4求的反函数。解0多于项逻辑函数的形式是多种多样的，一个逻辑问题可以用多种形式的逻

8、辑函数来表示，每一种函数对应一种逻辑电路。2.逻辑函数不同形式的转换逻辑函数的表达形式有五种：与或表达式或与表达式与或非表达式与非-与非表达式或非-或非表达式例5将函数与或表达式转换为其它形式。(1)将与或式与非-与非式解:将与或式两次取反，利用摩根定律可得(2)将与或式与或非式首先求出反函数然后再取反一次即得与或非表达式_CABACAABF+=+=逻辑函数不同形式的转换(3)或与式将与或非式用摩根定律展开，即得或与表达式如下：(4)或非-或非式将或与表达式两次取反，用摩根定律展开一次得或非-或非表达式逻辑函数不同形式的转换同一逻辑的五种逻辑图由此可见，不管是何种形式给出的逻辑函数，总可转换为

9、我们所需要的形式，用相应的逻辑门电路实现。由于“与或”形式物理意义明确，与真值表相对应，且对其相应的基本公式较为熟悉。因此，一般情况下，函数均以“与或”形式给出。同一逻辑的五种逻辑图3.逻辑函数的化简逻辑函数的化简方法代数法-用基本公式化简，称为代数法化简卡诺图逻辑函数的化简，在逻辑设计中是十分重要。3.2逻辑函数的代数法化简逻辑函数的的实现，需要逻辑图(即用逻辑门组成的电路图)。如：从式子可看出它是由“与”、“或”、“非”运算组合成的，故可用“与”门、“或”门和“非”门来实现，如图32所示。3.2.1逻辑函数与逻辑图图32函数的逻辑图由于从逻辑问题概括出来的逻辑函数式，不一定是最简式。化简电

10、路，就是为了降低系统的成本，提高电路的可靠性，以便用最少的门实现它们。逻辑图与逻辑函数有直接关系，函数式越简单，则实现该逻辑函数式所需要的门数就越少，这样既可节省器材，且焊点少，又可提高电路的可靠性。例如函数如直接由该函数式得到电路图，则如图3-3所示。图33F原函数的逻辑图但如果将函数化简后其函数式为F=AC+B只要两个门就够了，如图3-4所示。图34函数化简后的逻辑图由此可看出函数化简的重要性。逻辑函数化简通常遵循以下几条原则：(1)逻辑电路所用的门最少；(2)各个门的输入端要少；3.2.2逻辑函数化简的原则它们之间常常是矛盾的，如门数少，往往性能可靠性就要降低。因此，实际中要兼顾各项指标

11、。为了便于比较，确定化简的标准，我们以门数最少和输入端数最少作为化简的标准。(3)逻辑电路所用的级数要少；从速度上来考虑从速度上来考虑(4)逻辑电路能可靠地工作。从可靠性方面来考虑从可靠性方面来考虑主要从成本主要从成本上来考虑上来考虑3.2.3与或逻辑函数的化简如AB与，ABC与都是相邻关系。如果函数存在相邻项，可利用吸收定律1，将它们合并为一项，同时消去一个变量。代数法化简逻辑函数，就是直接运用基本公式将已给逻辑函数化简。因此，我们对基本公式必须熟悉。相邻项任何两个相同变量的逻辑项，只有一个变量取值不同(一项以原变量形式出现，另一项以反变量形式出现)，我们称为逻辑相邻项(简称相邻项)。例6解

12、有时两个相邻项并非典型形式，应用代入法则可以扩大吸收定律1的应用范围。例7解令，则1.应用吸收定律1化简函数与或逻辑函数的化简例8解令与或逻辑函数的化简例9解利用等幂律，一项可以重复用几次。例10其中与其余四项均是相邻关系，可以重复使用。解所以与或逻辑函数的化简2.应用吸收定律2、3利用它们，可以消去逻辑函数式中某些多余项和多余因子。若式中存在某单因子项，则包含该因子的其它项为多余项，可消去。如其它项包含该因子的“反”形式，则该项中的“反”因子为多余变量，可消去。例11解例12解令,则例13解令3.应用多余项定律例14解例15解多余项多余项例16化简解多余项4.综合例子例17化简解5.拆项法例18化简解:直接用公式已无法再化简时，可采用拆项法。拆项法就是用去乘某一项，将一项拆成两项，再利用公式与别的项合并达到化简的目的。此例就是用和分别去乘第三项和第四项，然后再进行化简。化简过程如下：6.添项法在函数中加入零项因子，利用加进的新项，进一步化简函数。例19化简解零项因子