2.8函数模型及其应用.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.三种增长型函数模型的图象与性质三种增长型函数模型的图象与性质2.8 2.8 函数模型及其应用函数模型及其应用 y y=a ax x(a a1)1)y y=log=loga ax x(a a1)1)y y=x xn n(n n0)0)在在(0,+)(0,+)上上的增减性的增减性_增长速度增长速度_相对平稳相对平稳增函数增函数增函数增函数增函数增函数越来越快越来越快越来越慢越来越慢函函 数数性性 质质基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.三种增长型函数之间增长速度的比较三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)(1)指数函数指数函数y y=a ax x(a a1)1)与幂

2、函数与幂函数y y=x xn n(n n0)0)在区间在区间(0,+)(0,+)，无论，无论n n比比a a大多少，尽管在大多少，尽管在x x的一定的一定 范围内范围内a ax x会小于会小于x xn n，但由于，但由于y y=a ax x的增长速度的增长速度_y y=x xn n 的增长速度的增长速度,因而总存在一个因而总存在一个x x0 0,当当x x x x0 0时有时有_._.图象的变化图象的变化随随x x增大逐渐增大逐渐表现为与表现为与_平行平行随随x x增大逐增大逐渐表现为与渐表现为与_平行平行随随n n值变值变化而不同化而不同y y轴轴x x轴轴快于快于a ax x x xn n

3、（2 2）对数函数）对数函数y y=log=loga ax x(a a1)1)与幂函数与幂函数y y=x xn n(n n0)0)对数函数对数函数y y=log=loga ax x(a a1)1)的增长速度，不论的增长速度，不论a a与与n n值的值的 大小如何总会大小如何总会_y y=x xn n的增长速度的增长速度,因而在定义域因而在定义域 内总存在一个实数内总存在一个实数x x0 0,使使x x x x0 0时有时有_._.由由(1)(2)(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函可以看出三种增长型的函数尽管均为增函 数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上数，但它们的增长速度

4、不同，且不在同一个档次上,因此在（因此在（0,+)0,+)上，总会存在一个上，总会存在一个x x0 0，使，使x x x x0 0时有时有 _._.慢于慢于logloga ax x x xn nlogloga ax x3.3.常用的几类函数模型常用的几类函数模型 (1)(1)一次函数模型一次函数模型 f f(x x)=)=kxkx+b b(k k、b b为常数，为常数，k k0);0);(2)(2)反比例函数模型反比例函数模型 (k k、b b为常数为常数,k k0);0);(3)(3)二次函数模型二次函数模型 f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c(a a、b b、c c为常

5、数，为常数，a a0)0)；(4)(4)指数函数模型指数函数模型 f f(x x)=)=a ab bx x+c c （a a、b b、c c为常数，为常数，a a0,0,b b0,0,b b11）；）；(5)(5)对数函数模型对数函数模型 f f（x x）=m mlogloga ax x+n n（m m、n n、a a为常为常 数，数，m m 0,0,a a0,0,a a11）;(6)(6)幂函数模型幂函数模型 f f(x x)=)=axaxn n+b b(a a、b b、n n为常数，为常数，a a0,0,n n1).1).4.4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意求解函数应用问题

6、的思路和方法，我们可以用示意 图表示为图表示为5.5.实际问题中函数的定义域要特别注意实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果另外，结果要回到实际问题中写答案要回到实际问题中写答案.基础自测基础自测1.1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税 外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为7070元，元，不收附加税时不收附加税时,每年大约销售每年大约销售100100万瓶万瓶,若每销售若每销售100100 元国家要征附加税为元国家要征附加税为x x元（税率元（税率x x%）,则每年销售量则每年销售量 减少减少1

7、010 x x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附 加税额不少于加税额不少于112112万元，则万元，则x x的最小值为的最小值为 （）A.2 B.6 C.8 D.10A.2 B.6 C.8 D.10 解析解析 依题意依题意 解得解得22x x8,8,则则x x的最小值为的最小值为2.2.A2.2.从从19991999年年1111月月1 1日起日起,全国储蓄存款征收利息税全国储蓄存款征收利息税,利利 息税的税率为息税的税率为20%20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人，由各银行储蓄点代扣代收，某人 20002000年年6 6月月1 1日存入若干万元人民币，

8、年利率为日存入若干万元人民币，年利率为2%2%，到到20012001年年6 6月月1 1日取款时被银行扣除利息税日取款时被银行扣除利息税138.64138.64元元,则该存款人的本金介于则该存款人的本金介于 （）A.3A.3万万 4 4万元万元 B.4B.4万万 5 5万元万元 C.5C.5万万 6 6万元万元 D.2D.2万万 3 3万元万元 解析解析 设存入的本金为设存入的本金为x x，则则x x2%2%20%=138.6420%=138.64，A3.3.在一定范围内，某种产品的购买量在一定范围内，某种产品的购买量y y 吨与单价吨与单价x x元之元之 间满足一次函数关系间满足一次函数关系

9、,如果购买如果购买1 000 1 000 吨吨,每吨为每吨为800800 元；购买元；购买2 000 2 000 吨吨,每吨为每吨为700700元元;一客户购买一客户购买400 400 吨吨,单价应该是单价应该是 （）A.820A.820元元 B.840B.840元元 C.860C.860元元 D.880D.880元元 解析解析 依题意，可设依题意，可设y y与与x x的函数关系式为的函数关系式为 y y=kxkx+b b,由由x x=800,=800,y y=1 000=1 000及及x x=700,=700,y y=2 000,=2 000,可得可得k k=-10,=-10,b b=9 0

10、00,=9 000,即即y y=-10=-10 x x+9 000,+9 000,将将y y=400=400代入得代入得x x=860.=860.C4.4.某物体一天中的温度某物体一天中的温度T T(单位单位:):)是时间是时间t t(单位单位:h h)的函数的函数:T T(t t)=)=t t3 3-3-3t t+60,+60,t t=0=0表示中午表示中午12001200，其后，其后t t 取正值取正值,则下午则下午3 3时温度为时温度为 （）A.8 B.78 C.112 D.18A.8 B.78 C.112 D.18 解析解析 由题意，下午由题意，下午3 3时，时，t t=3=3，T T

11、(3)=78.(3)=78.B5.5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一有一 种方式其加密、解密原理如下：种方式其加密、解密原理如下：明文明文 密文密文 密文密文 明文明文 已知加密为已知加密为y y=a ax x-2-2（x x为明文为明文,y y为密文）为密文）,如果明文如果明文 “3 3”通过加密后得到密文为通过加密后得到密文为“6 6”，再发送，接受，再发送，接受 方通过解密得到明文方通过解密得到明文“3 3”，若接受方接到密文为，若接受方接到密文为 “1414”，则原发的明文是，则原发的明文是_._.解析解析 依题意依题意y y=a a

12、x x-2-2中，当中，当x x=3=3时，时，y y=6,=6,故故6=6=a a3 3-2-2，解得解得a a=2.=2.所以加密为所以加密为y y=2=2x x-2-2，因此，当，因此，当y y=14=14时，由时，由 14=214=2x x-2,-2,解得解得x x=4.=4.加密加密发送发送解密解密4 4题型一题型一 一次、二次函数模型一次、二次函数模型【例例1 1】如图所示，在矩形如图所示，在矩形 ABCDABCD中，已知中，已知ABAB=a a，BCBC=b b （b b a a）,在在ABAB，ADAD，CDCD，CBCB上分别截取上分别截取AEAE，AHAH,CGCG,CFC

13、F都等于都等于x x，当，当x x为何值时，四边形为何值时，四边形EFGHEFGH的面积最的面积最 大？并求出最大面积大？并求出最大面积.依据图形建立四边形依据图形建立四边形EFGHEFGH的面积的面积S S关于关于 自变量自变量x x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值的目标函数，然后利用解决二次函数的最值 问题求出问题求出S S的最大值的最大值.思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 设四边形设四边形EFGHEFGH的面积为的面积为S S，则则S SAEHAEH=S SCFGCFG=x x2 2,S SBEFBEF=S SDGHDGH=(=(a a-x x)()(b b-

14、x x)，由图形知函数的定义域为由图形知函数的定义域为 x x|0|0 x xb b.又又00b b a a,0,0b b 33b b时时,S S(x x)在（在（0,0,b b上是增函数，上是增函数，此时当此时当x x=b b时，时，S S有最大值为有最大值为综上可知，当综上可知，当a a33b b时，时，时，时，四边形面积四边形面积S Smaxmax=当当a a33b b时，时，x x=b b时，四边形面积时，四边形面积S Smaxmax=abab-b b2 2.探究提高探究提高 二次函数是我们比较熟悉的基本函数二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建建立二次函数模型可以求出函数的最值立二次函

15、数模型可以求出函数的最值,解决实际中的解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解区间之间的位置关系讨论求解.知能迁移知能迁移1 1 某人要做一批地砖，每块地砖（如图某人要做一批地砖，每块地砖（如图1 1所所 示）是边长为示）是边长为0.40.4米的正方形米的正方形ABCDABCD，点，点E E、F F分别在分别在 边边BCBC和和CDCD上，上，CFECFE、ABEABE和四边形和四边形AEFDAEFD均由均由 单一

16、材料制成，制成单一材料制成，制成CFECFE、ABEABE和四边形和四边形AEFDAEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为的三种材料的每平方米价格之比依次为321.321.若若 将此种地砖按图将此种地砖按图2 2所示的形式铺设所示的形式铺设,能使中间的深色能使中间的深色 阴影部分成四边形阴影部分成四边形EFGHEFGH.图图1 1 图图2 2(1)(1)求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是正方形；是正方形；(2)(2)E E、F F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？最省？(1)(1)证明证明 图图2 2是由四块图是由四块图1 1所示地砖

17、组成所示地砖组成,由图由图1 1依次依次逆时针旋转逆时针旋转9090，180180,270,270后得到，后得到，EFEF=FGFG=GHGH=HEHE，CFECFE为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，四边形四边形EFGHEFGH是正方形是正方形.(2)(2)解解 设设CECE=x x，则，则BEBE=0.4-=0.4-x x，每块地砖的费用为每块地砖的费用为WW，制成制成CFECFE、ABEABE和四边形和四边形AEFDAEFD三种材料的每平三种材料的每平方米价格依次为方米价格依次为3 3a a、2 2a a、a a（元），（元），=a a(x x2 2-0.2-0.2x x+0.24+0.

18、24）=a a(x x-0.1)-0.1)2 2+0.23+0.23（00 x x0.400，当，当x x=0.1=0.1时，时，WW有最小值，即总费用最省有最小值，即总费用最省.答答 当当CECE=CFCF=0.1=0.1米时，总费用最省米时，总费用最省.题型二题型二 分段函数模型分段函数模型【例例2 2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样某公司研制出了一种新产品，试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售 情况不断进行调整，结果情况不断进行调整，结果4040天内全部销完天内全部销完.公司对公司对 销售及销售利润进行了调研销售及

19、销售利润进行了调研,结果如图所示，其中结果如图所示，其中 图图（一条折线）、图（一条折线）、图（一条抛物线段）分别是（一条抛物线段）分别是 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图 是每件样品的销售利润与上市时间的关系是每件样品的销售利润与上市时间的关系.(1)(1)分别写出国外市场的日销售量分别写出国外市场的日销售量f f（t t）与上市时间）与上市时间t t 的关系及国内市场的日销售量的关系及国内市场的日销售量g g（t t）与上市时间）与上市时间t t的关的关系；系；(2)(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等国外和国内的日销售利

20、润之和有没有可能恰好等于于6 3006 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由没有，请说明理由.思维启迪思维启迪 第第(1)(1)问就是根据图问就是根据图和和所给的数据所给的数据,运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（2 2）问）问先求得总利润的函数关系式先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是再将问题转化为方程是否有解否有解.解解 (1)(1)图图是两条线段是两条线段,由一次函数及待定系数法由一次函数及待定系数法,图图是一个二次函数的部分图象，是一个二次函数的部分图象，(2)(2)每件

21、样品的销售利润每件样品的销售利润h h（t t）与上市时间）与上市时间t t的关系为的关系为 故国外和国内的日销售利润之和故国外和国内的日销售利润之和F F(t t)与上市时间与上市时间t t的的 关系为关系为当当00t t2020时，时，F F（t t）在）在0 0，2020上是增函数，上是增函数，F F（t t）在此区间上的最大值为）在此区间上的最大值为F F（2020）=6 0006 300.=6 0006 300.当当2020t t3030时，时，由由F F（t t）=6 300=6 300，得，得3 3t t2 2-160-160t t+2 100=0,+2 100=0,解得解得t

22、t=(=(舍去舍去)或或t t=30.=30.当当3030t t4040时，时，由由F F（t t）在（）在（3030，4040上是减函数，上是减函数，得得F F(t t)400400时，时，f f(x x)=60 000-100)=60 000-100 x x是减函数，是减函数，f f(x x)60 000-100)60 000-10040025 000.40025 000.所以，当所以，当x x=300=300时，有最大值时，有最大值25 000.25 000.所以，当月产量为所以，当月产量为300300台时，公司所获利润最大，最台时，公司所获利润最大，最大利润是大利润是25 00025

23、000元元.题型三题型三 指数函数模型与幂函数模型指数函数模型与幂函数模型 【例例3 3】某城市现有人口总数为某城市现有人口总数为100100万人万人,如果年自然如果年自然 增长率为增长率为1.2%1.2%，试解答以下问题：，试解答以下问题：(1)(1)写出该城市人口总数写出该城市人口总数y y（万人）与年份（万人）与年份x x（年（年)的的 函数关系式；函数关系式；(2)(2)计算计算1010年以后该城市人口总数年以后该城市人口总数(精确到精确到0.10.1万人万人););(3)(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到计算大约多少年以后，该城市人口将达到120120万万 人（精确到人（精确

24、到1 1年）年）.(4)(4)如果如果2020年后该城市人口总数不超过年后该城市人口总数不超过120120万人，年万人，年 自然增长率应该控制在多少？自然增长率应该控制在多少？（参考数据（参考数据:1.012:1.0129 91.1131.113，1.0121.01210101.1271.127，lg 1.20.079,lg 20.301 0,lg 1.0120.005,lg 1.20.079,lg 20.301 0,lg 1.0120.005,lg 1.0090.003 9 lg 1.0090.003 9）增长率问题是指数函数问题，利用指数增长率问题是指数函数问题，利用指数 函数模型，构造函

25、数函数模型，构造函数.思维启迪思维启迪解解 （1 1）1 1年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为 y y=100+100=100+1001.2%=1001.2%=100(1+1.2%)(1+1.2%)2 2年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y y=100=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)+100(1+1.2%)(1+1.2%)1.2%1.2%=100=100(1+1.2%)(1+1.2%)2 2.3 3年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y y=100=100(1+1.2%)(1+1.2%)2 2+100+100(1+1.2%)(1+1.2%)2 21.2%1.2%

26、=100=100(1+1.2%)(1+1.2%)3 3.x x年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y y=100=100(1+1.2%)(1+1.2%)x x.(2)10(2)10年后，人口总数为年后，人口总数为 100100(1+1.2%)(1+1.2%)1010112.7112.7（万人（万人).).(3)(3)设设x x年后该城市人口将达到年后该城市人口将达到120120万人，万人，即即100100(1+1.2%)(1+1.2%)x x=120,=120,(4)(4)由由100100(1+(1+x x%)%)2020120,120,得得(1+(1+x x%)%)20201.2,1.2

27、,两边取对数得两边取对数得20lg(1+20lg(1+x x%)lg 1.2=0.079,%)lg 1.2=0.079,所以所以 所以所以1+1+x x%1.009,%1.009,得得x x0.9,0.9,即年自然增长率应该控制在即年自然增长率应该控制在0.9%.0.9%.探究提高探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以此类增长率问题，在实际问题中常可以 用指数函数模型用指数函数模型y y=N N(1+(1+p p)x x(其中其中N N是基础数，是基础数，p p为增长为增长率，率，x x为时间为时间)和幂函数模型和幂函数模型y y=a a(1+(1+x x)n n(其中其中a a为基础为

28、基础数，数，x x为增长率，为增长率，n n为时间为时间)的形式的形式.解题时，往往用到解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.知能迁移知能迁移3 3 1999 1999年年1010月月1212日日“世界世界6060亿人口日亿人口日”，提出了提出了“人类对生育的选择将决定世界未来人类对生育的选择将决定世界未来”的主的主 题题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1 1）世界人口在过去）世界人口在过去4040年内翻了一番，问每年人口年内翻了一番，问每年人口 平均增长率是多少？平均增长

29、率是多少？（2 2）我国人口在）我国人口在19981998年底达到年底达到12.4812.48亿，若将人口平亿，若将人口平 均增长率控制在均增长率控制在1%1%以内，我国人口在以内，我国人口在20082008年底至多年底至多 有多少亿？有多少亿？以下数据供计算时使用：以下数据供计算时使用：数数N N1.0101.0101.0151.0151.0171.0171.3101.3102.0002.000对数对数lg lg N N0.004 30.004 30.006 50.006 50.007 30.007 30.117 30.117 30.301 00.301 0数数N N3.0003.0005.

30、0005.00012.4812.4813.1113.1113.7813.78对数对数lg lg N N0.477 10.477 10.699 00.699 01.096 21.096 21.117 61.117 61.139 21.139 2解解 （1 1）设每年人口平均增长率为）设每年人口平均增长率为x x，n n年前的人口年前的人口 数为数为y y，则则y y(1+(1+x x)n n=60=60，则当，则当n n=40=40时，时，y y=30=30，即即30(1+30(1+x x)4040=60=60，(1+(1+x x)4040=2=2，两边取对数，则两边取对数，则40lg40lg（

31、1+1+x x）=lg 2=lg 2，则则lglg（1+1+x x）=0.007 525=0.007 525，1+1+x x1.0171.017，得，得x x=1.7%.=1.7%.（2 2）依题意，）依题意，y y12.48(1+1%)12.48(1+1%)1010，得得lg lg y ylg 12.48+10lg 12.48+10lg 1.01=1.139 2,lg 1.01=1.139 2,y y13.7813.78，故人口至多有，故人口至多有13.7813.78亿亿.答答 每年人口平均增长率为每年人口平均增长率为1.7%1.7%，20082008年人口至多有年人口至多有13.7813.

32、78亿亿.题型四题型四 函数的综合应用函数的综合应用 【例例4 4】(12(12分分)有一个受到污染的湖泊，其湖水的体有一个受到污染的湖泊，其湖水的体 积为积为V V立方米立方米,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的 水量，都为水量，都为r r立方米立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好的混合且污染物质与湖水能很好的混合.用用g g（t t）表示任一）表示任一 时刻时刻t t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其 为在时刻为在时刻t t时的湖水污染质量分数时的湖水污染质量分数.已知

33、目前污染源已知目前污染源 以每天以每天p p克的污染物质污染湖水克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数湖水污染质量分数 满足关系式满足关系式 (p p0)0)，其中，其中 g g(0)(0)是湖水污染的初始质量分数是湖水污染的初始质量分数.（1 1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的 初始质量分数；初始质量分数；（2 2）求证：当）求证：当g g(0)(0)时时,湖泊的污染程度将越来越湖泊的污染程度将越来越 严重；严重；（3 3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染 停止，那么需要经过多少天才能使湖水

34、的污染水平停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平 下降到开始时下降到开始时(即污染源停止时即污染源停止时)污染水平的污染水平的5%5%？（1 1）水污染质量分数为常数，即）水污染质量分数为常数，即g g(t t)为常数函数；为常数函数；(2)(2)污染程度越来越严重，即证明污染程度越来越严重，即证明g g(t t)为增函数；为增函数；(3)(3)转化为方程即可解决转化为方程即可解决.(1)(1)解解 设设00t t1 1 t t2 2,g g(t t)为常数，为常数，g g（t t1 1）=g g(t t2 2),2),2分分 4 4分分思维启迪思维启迪(2)(2)证明证明 设设00t

35、t1 1 t t2 2,g g(0)-0,(0)-0,t t1 1 t t2 2,g g(t t1 1)-)-g g(t t2 2)0,)0,g g(t t1 1)g g(t t2 2).).故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重越严重.8.8分分(3)(3)解解 污染源停止，即污染源停止，即p p=0=0，此时，此时 设要经过设要经过t t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的水平的5%.5%.即即g g(t t)=5%)=5%g g(0)(0)，即有，即有5%5%g g（0 0）=1010分分由

36、实际意义知由实际意义知g g(0)0(0)0，即需要即需要 天时间天时间.12.12分分探究提高探究提高 (1)(1)对此类问题的解决关键是认真审题，对此类问题的解决关键是认真审题，理顺数量关系理顺数量关系.(2)(2)应用数学模型，抽象出方程、不等式或函数解析应用数学模型，抽象出方程、不等式或函数解析式式.(3)(3)用函数、方程、不等式解答用函数、方程、不等式解答.知能迁移知能迁移4 4 经市场调查，某城市的一种小商品在过经市场调查，某城市的一种小商品在过 去的近去的近2020天内的销售量天内的销售量(件件)与价格（元）均为时间与价格（元）均为时间 t t(天天)的函数的函数,且销售量近似

37、满足且销售量近似满足g g(t t)=80-2)=80-2t t(件件),),价价 格近似满足格近似满足 (1)(1)试写出该种商品的日销售额试写出该种商品的日销售额y y与时间与时间t t(0(0t t20)20)的函数表达式；的函数表达式；(2)(2)求该种商品的日销售额求该种商品的日销售额y y的最大值与最小值的最大值与最小值.解解 （1 1）y y=g g（t t）f f（t t）=（40-40-t t）（）（40-|40-|t t-10|-10|）=（2 2）当）当00t t100,0,b b1)1)；(5)(5)对数型函数模型对数型函数模型:f f(x x)=)=m mloglog

38、a ax x+n n(m m,n n,a a为常数，为常数，m m0,0,a a0,0,a a1);1);(6)(6)分段函数模型分段函数模型.1.1.函数模型应用不当，是常见的解题错误函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正所以，正 确理解题意，选择适当的函数模型确理解题意，选择适当的函数模型.2.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确合理确 定函数的定义域定函数的定义域.3.3.注意问题反馈注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个在解决函数模型后，必须验证这个 数学解对实际问题的合理性数学解对实际问题的合理性.失误与防范失误与防范一、选

39、择题一、选择题 1.1.某电信公司推出两种手机收费某电信公司推出两种手机收费 方式方式:A A种方式是月租种方式是月租2020元元,B B种种 方式是月租方式是月租0 0元元.一个月的本地网一个月的本地网 内打出电话时间内打出电话时间t t(分钟分钟)与打出与打出 电话费电话费s s（元）的函数关系如图，（元）的函数关系如图，当打出电话当打出电话150150分钟时分钟时,这两种方式电话费相差这两种方式电话费相差 （）A.10A.10元元 B.20B.20元元 C.30C.30元元 D.D.元元 定时检测定时检测解析解析 设设A A种方式对应的函数解析式为种方式对应的函数解析式为S S=k k1

40、 1t t+20,+20,B B种方式对应的函数解析式为种方式对应的函数解析式为S S=k k2 2t t,当当t t=100=100时，时，100100k k1 1+20=100+20=100k k2 2,当当t t=150=150时，时，150150k k2 2-150-150k k1 1-20=-20=故选故选A.A.答案答案 A A2.2.由方程由方程x x|x x|+|+y y|y y|=1|=1确定的函数确定的函数y y=f f(x x)在在(-,+)(-,+)上是上是 （）A.A.增函数增函数 B.B.减函数减函数 C.C.先增后减先增后减 D.D.先减后增先减后增 解析解析 当

41、当x x00且且y y00时，时，x x2 2+y y2 2=1,=1,当当x x00且且y y00时，时，x x2 2-y y2 2=1,=1,当当x x000时，时，y y2 2-x x2 2=1,=1,当当x x00且且y y000），匀速），匀速 行驶行驶s s=vt vt,减速行驶减速行驶 (a a0)0)结合函数图象可结合函数图象可 知选知选A.A.A5.5.某产品的总成本某产品的总成本y y(万元万元)与产量与产量x x(台台)之间的函数之间的函数 关系是关系是y y=3 000+20=3 000+20 x x-0.1-0.1x x2 2(0(0 x x240,00且且a a11

42、，f f(x x)=)=x x2 2-a ax x,当当x x(-1,1)(-1,1)时均有时均有 f f(x x)00时，方程时，方程f f(x x)=0)=0只有一个实数根；只有一个实数根；c c=0=0时，时，y y=f f(x x)是奇函数；是奇函数；方程方程f f(x x)=0)=0至多有两个实根至多有两个实根.上述三个命题中所有正确命题的序号为上述三个命题中所有正确命题的序号为_._.解析解析 f f(x x)=)=x x|x x|+|+c c=如图如图，曲线与，曲线与x x轴只有一个交点，轴只有一个交点，所以方程所以方程f f(x x)=0)=0只有一个实数根，正确只有一个实数根

43、，正确.c c=0=0时，时，f f(x x)=)=x x|x x|+|+bxbx，显然是奇函数，显然是奇函数.当当c c=0,=0,b b000在在2,+)2,+)上恒成立上恒成立,且为增函数且为增函数,-4-40-1150，解得，解得x x2.3.2.3.x xN N*，x x33，33x x66，x xN N*，当当x x66时，时，y y=50-3=50-3（x x-6-6）x x-115.-115.令令50-350-3（x x-6-6）x x-1150,-1150,有有3 3x x2 2-68-68x x+1150,+1150,上述不等式的整数解为上述不等式的整数解为22x x20(

44、20(x xN N*）,66185270185，当每辆自行车的日租金定在当每辆自行车的日租金定在1111元时，才能使一日的元时，才能使一日的净收入最多净收入最多.11.11.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注 意力随着老师讲课时间的变化而变化意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时讲课开始时,学生的兴趣激增学生的兴趣激增;中间有一段时间中间有一段时间,学生的兴趣保持学生的兴趣保持 较理想的状态较理想的状态,随后学生的注意力开始分散随后学生的注意力开始分散,设设f f(t t)表示学生注意力随时间表示学生注意力随时间t t（分钟）的变化规律（

45、分钟）的变化规律(f f(t t)越大越大,表明学生注意力越集中表明学生注意力越集中),),经过实验分析得知：经过实验分析得知：(1)(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？持续多少分钟？(2)(2)讲课开始后讲课开始后5 5分钟与讲课开始后分钟与讲课开始后2525分钟比较分钟比较,何时何时学生的注意力更集中？学生的注意力更集中？(3)(3)一道数学难题，需要讲解一道数学难题，需要讲解2424分钟，并且要求学生分钟，并且要求学生的注意力至少达到的注意力至少达到180180，那么经过适当安排，教师能，那么经过适当安排，教师能否在学生

46、达到所需的状态下讲授完这道题目？否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？解解 （1 1）当）当00t t1010时，时，f f(t t)=-)=-t t2 2+24+24t t+100+100=-(=-(t t-12)-12)2 2+244+244是增函数，且是增函数，且f f(10)=240(10)=240；当当2020t t4040时，时，f f(t t)=-7)=-7t t+380+380是减函数，是减函数，且且f f(20)=240.(20)=240.所以所以,讲课开始讲课开始1010分钟，学生的注意力最集中，能持分钟，学生的注意力最集中，能持续续1010分钟分钟.（2 2）f f（5

47、 5）=195=195，f f（2525）=205=205，故讲课开始故讲课开始2525分钟时，学生的注意力比讲课开始后分钟时，学生的注意力比讲课开始后5 5分钟更集中分钟更集中.（3 3）当）当00t t1010时，时，f f（t t）=-=-t t2 2+24+24t t+100=180+100=180，则则t t=4=4；当当202024,28.57-4=24.5724,所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题状态下讲授完这道题.12.12.某化工厂引进一条先进生产线生产某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品某种化

48、工产品,其生产的总成本其生产的总成本y y(万元万元)与年产量与年产量x x(吨吨)之间的函数之间的函数 关系式可以近似地表示为关系式可以近似地表示为y y=-48=-48x x+8 000,+8 000,已知此已知此 生产线年产量最大为生产线年产量最大为210210吨吨.(1)(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成 本最低本最低,并求最低成本并求最低成本;(2)(2)若每吨产品平均出厂价为若每吨产品平均出厂价为4040万元万元,那么当年产量那么当年产量 为多少吨时为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？可以获得最大利润？最大利润是多少？解

49、解 (1)(1)每吨平均成本为每吨平均成本为 (万元万元).).当且仅当当且仅当 即即x x=200=200时取等号时取等号.年产量为年产量为200200吨时吨时,每吨平均成本最低为每吨平均成本最低为3232万元万元.(2)(2)设年获得总利润为设年获得总利润为R R(x x)万元万元,则则R R(x x)=40)=40 x x-y y=40=40 x x-+48-+48x x-8 000-8 000=-+88=-+88x x-8 000-8 000=-(=-(x x-220)-220)2 2+1 680(0+1 680(0 x x210).210).R R(x x)在在0,2100,210上是增函数上是增函数,x x=210=210时时,R R(x x)有最大值为有最大值为-(210-220)-(210-220)2 2+1 680=1 660.+1 680=1 660.年产量为年产量为210210吨时吨时,可获得最大利润可获得最大利润1 6601 660万元万元.返回返回