量子力学2讲.ppt

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1、量子力学量子力学光电子科学与工程学院光电子科学与工程学院刘劲松刘劲松第二讲第二讲波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释不确定度关系不确定度关系1平面波与傅里叶变换的回顾平面波与傅里叶变换的回顾只考虑空间，只考虑空间，一维情况下，平面波为一维情况下，平面波为=Aexp(i xk)将将f(x)用用exp(i xk)展开，有展开，有F(k)为为f(x)的傅里叶变换的傅里叶变换特别地，若特别地，若 ，有，有2第第2讲目录讲目录一、一、量子力学讨论的对象：波函数量子力学讨论的对象：波函数二、二、自由粒子的波函数自由粒子的波函数三、三、一般粒子的波函数及其物理意义一般粒子的波函数及其物理意义四、四、波函数的

2、统计诠释及其性质波函数的统计诠释及其性质五、五、动量分布概率动量分布概率六、六、测不准关系（不确定度关系）测不准关系（不确定度关系）3一、量子力学讨论的对象：波函数一、量子力学讨论的对象：波函数对于经典的粒子，其坐标对于经典的粒子，其坐标 满足满足对于经典的电磁波，其复振幅对于经典的电磁波，其复振幅 满足满足在量子力学中，引入一个物理量：波函数在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程性。波函数满足薛定格波动方程4 自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其

3、能量的质点。因此，其能量E和动量和动量 都是常量。都是常量。根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为率和波长分别为 =E/h，=h/p (1.1-1)又因为波矢为又因为波矢为 ，其中，其中k=2/，因此，自由因此，自由粒子的粒子的 和和k都为常量。由都为常量。由(1.1-1)得到得到 (1.1-2)二、自由粒子的波函数（二、自由粒子的波函数（1）5二、自由粒子的波函数（二、自由粒子的波函数（2）和和k都为常量的波应该是平面波，都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述可用以下函数描述 或或将将(1.1-2)代入，得到代入，得到(1.1-

4、3)这就是自由粒子的波函数，它将粒这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即它是时间和空间的函数，即6三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义(1)当粒子受到外力的作用时，其能量和动量当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用不再是常量，也就无法用这样简单的函数来描述，但总可以用某个这样简单的函数来描述，但总可以用某个波函数波函数 来描述这个粒子的特来描述这个粒子的特性。性。问题是，该如何理解波函数所代表的问题是，该如何理解波函数所代表的物理意义呢？物理意义呢？7三、一般粒子

5、的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义(2)历史上对粒子波动性的认识有两种误解：历史上对粒子波动性的认识有两种误解：(1)波包说，认为粒子波就是粒子的某种实波包说，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。(2)群体说，认为体现粒子波动性的衍射行群体说，认为体现粒子波动性的衍射行为是大量粒子相互作

6、用或疏密分布而产生的为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。结果。8三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义(3)1、波包（波包（1）一维情况下，不考虑时间，一维情况下，不考虑时间，自由粒子的波函数为自由粒子的波函数为，9三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义(4)1、波包（波包（2）1011三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义(5)1、波包（波包（3）能量和动量的关系为，能量和动量的关系为，利用利用得到得到 这说明随着时间的推移，粒子将无限增这说明随着时间的推移，粒子将无限增大。显然物质波包的观点夸大了波动性的

7、一大。显然物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。12三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义(6)对实物粒子的波动性有两种误解对实物粒子的波动性有两种误解 （1）波包说）波包说:认为粒子是一个物质波包；认为粒子是一个物质波包；（2）群体说）群体说:认为粒子的衍射行为是大量认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言，言，弱电子密度长时间强电子密度短时间弱电子密度长时间强电子密度短时间

8、 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。定的概率存在于空间的某个位置。13三、一般粒子的波函数及其物理意义三、一般粒子的波函数及其物理意义（7）2、概率波、概率波粒子的波动性可以用波函数来表示，粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅其中，振幅 表示波动在空间一点表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，上的强弱。所以，应该应该表示表示 粒子出现在点粒子出现在点(x,y,z)附件的概附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将率大小的一个量。从这个

9、意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。粒子的波函数称为概率波。14四、波函数的统计诠释及其性质四、波函数的统计诠释及其性质 表示粒子出现在点表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。附近的概率。表示点表示点(x,y,z)处的体积元处的体积元 中找到粒子的概率。中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件15四四1、波函数的常数因子不定性、波函数的常数因子不定性设设C是一个常数，则是一个常数，则 和和对粒子在点对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述附件出现概率的描述是相同的。是相同的。如果如果则有，则有，16四四2、波函数的相位不

10、定性、波函数的相位不定性如果常数如果常数 ，则，则 和和对粒子在点对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的附件出现概率的描述是相同的。这是因为描述是相同的。这是因为17四四3、对波函数的要求、对波函数的要求1、可积性、可积性2、归一化、归一化3、单值性，要求、单值性，要求 4、连续性、连续性18五、动量分布概率（五、动量分布概率（1）设设 ，则，则 表示粒表示粒子出现在点子出现在点 附件的概率。附件的概率。设设 为粒子的动量，那么粒子具为粒子的动量，那么粒子具有动量有动量 的概率如何表示？的概率如何表示？平面波的波函数为平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开任意粒子的波函数可

11、以按此平面波做傅立叶展开19五、动量分布概率（五、动量分布概率（2）其中，其中，可见，可见，代表代表 中含有平面波中含有平面波 的成分，因此，的成分，因此，应该应该代表粒子具代表粒子具有动量有动量 的概率。的概率。20六六、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(1)经典粒子：可以同时具有确定的动量和空经典粒子：可以同时具有确定的动量和空间位置，即间位置，即 和和 可以同时成立。可以同时成立。微观粒子：微观粒子：和和 不能同时成立。不能同时成立。例例1：设一维自由粒子具有确定的动量：设一维自由粒子具有确定的动量 ，即即 ，其相应的波函数为平面波，其相应的波函数为平面波 故故 且且 2

12、1例例2：设一维粒子具有确定的位置：设一维粒子具有确定的位置 ，即，即 ，则其波函数为，则其波函数为 相应的傅立叶变换为相应的傅立叶变换为 故故 ，即，即六六、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(2)22六六、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(3)平面波的波函数平面波的波函数 能否归一？能否归一？不能归一。不能归一。23例例3：有限长波列：有限长波列六六、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(4)24严格证明表明，对一般粒子，有严格证明表明，对一般粒子，有物理意义：粒子的坐标和动量不可能同物理意义：粒子的坐标和动量不可能同时被准确测量。或者说，微观粒子

13、的位时被准确测量。或者说，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值。定的值。六六、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(5)25测不准关系是微观粒子波粒二象性所带来测不准关系是微观粒子波粒二象性所带来的必然结果。这是因为，对波动而言，不的必然结果。这是因为，对波动而言，不能提能提“空间某一点空间某一点x的的波长波长”。从而，对。从而，对微观粒子，只要承认其具有波粒二象性，微观粒子，只要承认其具有波粒二象性，“微观粒子在空间某一点微观粒子在空间某一点x的动量的动量”，这，这样的提法也没有意义。所以，对一个样的提法也没有意义。所以，对一个给定给定点点x，动量只能是不确定的，这就是不确，动量只能是不确定的，这就是不确定度关系。定度关系。六六、测不准关系测不准关系(不确定度关系不确定度关系)(6)26