常微分方程试题及答案020104.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 常微分方程模拟试题 一、填空题（每小题3 分，本题共 15 分）1一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线 2二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21xyxy为方程的基本解组充分必要条件是 3方程02 yyy的基本解组是 4一个不可延展解的存在在区间一定是 区间 5方程21ddyxy的常数解是 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）6方程yxxy31dd满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）（A）上半平面 （B）xoy 平面 （C）下半平面 （D）除 y 轴外的全

2、平面 7.方程1ddyxy（）奇解 （A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 8)(yf连续可微是保证方程)(ddyfxy解存在且唯一的（）条件 （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分 9二阶线性非齐次微分方程的所有解（）（A）构成一个 2 维线性空间 （B）构成一个 3 维线性空间 （C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间 10方程323ddyxy过点(0,0)有（B）(A)无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解 三、计算题（每小题分，本题共 30 分）求下列方程的通解或通积分：11.yyxylndd 12.xyxyxy2

3、)(1dd 13.5ddxyyxy 140)d(d222yyxxxy 153)(2 yyxy 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分）16求方程255xyy 的通解 17求下列方程组的通解 xtytytxddsin1dd 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分）18设)(xf在),0上连续，且0)(limxfx，求证：方程 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2)(ddxfyxy 的一切解)(xy，均有0)(limxyx 19 在方程0)()(yxqyxpy中，)(),(xqxp在),(上连续，求证：若)(xp恒不为

4、零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(xW是),(上的严格单调函数 常微分方程模拟试题参考答案 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）12 2线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3xxxe,e 4开 51y 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）6D 7C 8B 9C 10A 三、计算题（每小题分，本题共 30 分）11解：1y 为常数解 （1 分）当0y，1y时，分离变量取不定积分，得 Cxyyydlnd （3 分）通积分为 xCyeln （6 分）注：1y 包含在常数解中，当0c 时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。13解：方程两端同乘以5y，得 xyx

5、yy45dd （1 分）令 zy4，则xzxyydddd45，代入上式，得 xzxzdd41 （3 分）这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为 4xzce （4 分）利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为 41e4xCzx （5 分）因此原方程通解为 41e44xCyx （6 分）14解：因为xNxyM2，所以原方程是全微分方程 （2 分）取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为 Cyyxxyyx020dd2 （4 分）计算得 Cyyx3231 （6 分）15解：原方程是克莱洛方程，通解为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您

6、提供优质的文档！3 32CCxy （6 分）四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分）16解：对应齐次方程的特征方程为 052，（1 分）特征根为 01，52，（2 分）齐次方程的通解为 xCCy521e （4 分）因为0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 )()(21CBxAxxxy （6 分）代入原方程，比较系数确定出 31A，51B，252C （9 分）原方程的通解为 xxxCCyx2525131e23521 （10 分）17解：齐次方程的特征方程为 21101 （1 分）特征根为 i （2 分）求得特征向量为 1i （3 分）因此齐次方程的通解为 ttCttCyxcossins

7、in-cos21 （4 分）令非齐次方程特解为 tttCtttCyxcossin)(sin-cos)(21 （5 分）)(),(21tCtC满足 0sin1)()(cossinsincos21ttCtCtttt （6 分）解得 1)(,sincos)(21tCtttC （8 分）积分，得 ttCsinln)(1，ttC)(2 （9 分）通解为 ttttttttttCttCyxcossinlnsin-sinsinlncoscossinsin-cos21 （10分）五、证明题（每小题10 分，本题共20 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质

8、的文档！4 18证明：设)(xyy 是方程任一解，满足00)(yxy，该解的表达式为 0000ede)(e)()(0 xxxxxsxxssfyxy （4 分）取极限 0000ede)(limelim)(lim)(0 xxxxxsxxxxxssfyxy =000000de)(,0ee)(limde)(,00)()()(xxsxxxxxxxsssfxfssf若若 （10 分）19证明：设)(1xy，)(2xy是方程的基本解组，则对任意),(x，它们朗斯基行列式在),(上有定义，且0)(xW又由刘维尔公式 x0d)(0e)()(xsspxWxW，),(0 x （5 分）)(e)()(x0d)(0 xpxWxWxssp 由于0)(0 xW，0)(xp，于是对一切),(x，有 0)(xW 或 0)(xW 故)(xW是),(上的严格单调函数 （10 分）