材料力学 第十一章 能量方法.ppt

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1、1第十一章第十一章第十一章第十一章 能量方法能量方法能量方法能量方法 111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式112 卡氏定理卡氏定理113 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)2111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式一、能量原理：一、能量原理：二、杆件变形能的计算：二、杆件变形能的计算：1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算：弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。32.2.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算：3.3.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算：4变形能的大小与加载

2、过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。即：克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理三、变形能的普遍表达式：三、变形能的普遍表达式：5细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。对于杆状构件：6四、变形能的特点：四、变形能的特点：1.产生同一种基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，不等于各力分别作用时产生的变形能之和。72.变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值。互等定理：8互等定理：表明：第一组力第一组力在第二组力引起的位移上位移上所作的功的功，等于第二组力第二组力在第一组力引起的位移上位移上所作的功的功，这就是功的

3、功的互等定理互等定理。9位移互等定理：如则10例如：外伸梁，在C点的力FP单独作用下截面的转角为A=FPal/(6EI)。求梁仅在A处的力偶矩M作用下C的挠度。又如：为测定悬臂梁在砝码G作用在自由端B时，截面1、2、3、4、5的挠度，如图所示。现仅有一个挠度计（千分表），且限定只能安装一次，试问该如何测定。11MN 例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）求内力APROQMTAAPNBj jTO12外力功等于应变能变形能：13 例例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能应用对称性，得：思考：

4、分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf14112 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)求任意点A的位移f A。一、定理的证明：一、定理的证明：aA图fAq(x)图c A0P=1q(x)fA图b A=1P015 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理。16三、使用莫尔定理的注意事项：三、使用莫尔定理的注意事项：M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。M0去掉主动力，在所求广义位移广义位移广义位移广义位移 点，沿所求 广义位移广义位移广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力广义单位力广义单

5、位力 时，结构产生的内力。M(x)：结构在原载荷下的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。17 四、单位力的施加四、单位力的施加18 例例3 3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：画单位载荷图求内力BAaaCqBAaaC0P=1x19变形BAaaC0P=1BAaaCqx()20求转角，重建坐标系（如图）qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1d)()()()()(00)(00+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM=021 例例 13如图所示刚架，AB段受均布载荷q作用。试求A点的铅垂位移和B截面转角。22 例例4 4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承

6、内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：画单位载荷图求内力51020A300P=60NBx500Cx151020A300Bx500C=1P023变形()24 例16一桁架如图，各杆EA相同，节点B承受集中力F和2F作用，求杆BC的转角。25 1.用卡氏定理、摩尔积分法求图示梁中B点的挠度和C截面的转角，比较两种方法的特点。已知EI为常数。课堂练习课堂练习26 2.试用卡氏定理求图示刚架截面A的转角和截面C的铅垂位移。EI为已知常数。27 3.试用卡氏定理求图示刚架C点两侧截面的相对转角。EI已知。28 4.由杆系及梁组成的混合结构如图所示。设FP

7、、a、E、A、I均为已知。试求C点的垂直位移。29 5.半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩Me。曲杆横截面为圆形，其直径为d。试用卡氏定理求B端的扭转角。30113 卡氏定理卡氏定理给Pn以增量dPn，则：1.先给物体加P1、P2、Pn个力，则：2.先给物体加力 dPn，则：一、定理证明一、定理证明 d dn31再给物体加P1、P2、Pn 个力，则：d dnn=nPU d d第二卡氏定理第二卡氏定理意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(AlbertoCastigliano，18471884)32二、使用卡氏定理的注意事项：二、使用卡氏定理的注意事项：U整体结构在外载作用下的线弹性变形

8、能 Pn 视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为Pn的函数 n n为 Pn作用点的沿Pn方向的变形。当无与 n n对应的 Pn时，先加一沿 n n 方向的Pn，求偏导后，再令其为零。d dn33三、特殊结构（杆）的卡氏定理：三、特殊结构（杆）的卡氏定理：34 例例5 5 结构如图，用卡氏定理求A面的挠度和转角。变形求内力解：求挠度，建坐标系将内力对PA求偏导ALPEIxO()35求转角 A求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明A与所加广义力MA反向。()将内力对MA求偏导后，令M A=0求变形（注意：M A=0）LxOAPMA36 例例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。

9、解：求挠曲线任意点的挠度f（x）求内力将内力对Px 求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。PALxBPx CfxOx137变形（注意：Px=0）38 例例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。求内力解：1.依 求多余反力，将内力对RC求偏导取静定基如图PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC39变形402.求将内力对P求偏导求内力41变形()42变形解：画单位载荷图求内力 例例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。PPAB1143 第十一章第十一章 练习题练习题 一、抗拉（压）刚度为一、抗拉（压）刚度为EIEI的等直杆，受力如图，的等直杆，受力如图，其变形能是否为：其变形能是否为：二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。三、刚架受力如图，已知三、刚架受力如图，已知EIEI为常数，试用莫尔为常数，试用莫尔定理求定理求A A、B B两点间的相对位移（忽略两点间的相对位移（忽略CDCD段的拉伸变段的拉伸变形）。形）。44解：解：45 四、抗弯刚度为四、抗弯刚度为EIEI的梁如图，的梁如图，B B端弹簧刚度为端弹簧刚度为k k，试用卡氏定理求力试用卡氏定理求力P P作用点的挠度。作用点的挠度。解：解：系统的变形能系统的变形能 C C截面的挠度截面的挠度4647