线性代数 第1.3 行列式.ppt

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1、第第1.3节节:行列式行列式12/22/20221(共20页)用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组二阶行列式二阶行列式12/22/20222(共20页)方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.12/22/20223(共20页)由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即二阶行列式中的数称为行列式的二阶行列式中的数称为行列式的元素元素.12/22/20224(共20页)主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二

2、元线性方程组系数行列式系数行列式主对角线元素之积减去副对角线元素之积12/22/20225(共20页)12/22/20226(共20页)12/22/20227(共20页)12/22/20228(共20页)则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母是由原方程组系数构成的二阶分母是由原方程组系数构成的二阶行列式行列式,称为方程组的称为方程组的系数行列式系数行列式.12/22/20229(共20页)根据定义算一算主对角线元素之积减去副对角线元素之积12/22/202210(共20页)三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行

3、列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.12/22/202211(共20页)(1)(1)沙沙路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标12/22/202212(共20页)(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式12/22/202213(共20页)如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性

4、方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.12/22/202214(共20页)若记若记或或12/22/202215(共20页)记记即即12/22/202216(共20页)12/22/202217(共20页)得得12/22/202218(共20页)得得12/22/202219(共20页)则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:12/22/202220(共20页)根据定义算一算12/22/202221(共20页)计算计算12/22/202222(

5、共20页)q 余余子子式式:一般地一般地,如果定义了如果定义了n-1阶阶行列式行列式,则在则在(1.5)式表示的式表示的n阶行列式中阶行列式中,划去划去aij所在所在的行和列的行和列,剩余的元保持原来的次序所构成的剩余的元保持原来的次序所构成的n-1阶行列式阶行列式,称为称为aij的的余子余子式式,记为记为:Mij(1.5)q代数余子式代数余子式:Aij=(-1)i+jMij12/22/202223(共20页)余子式 元素 的余子式 是在行列式中划掉 所在的行和列，余下的元素构成的行列式元素5的余子式元素0的余子式12/22/202224(共20页)代数余子式元素5的代数余子式元素0的代数余子

6、式12/22/202225(共20页)3 阶行列式的余子式定义阶行列式的余子式定义 三阶行列式的值等于它的第一行元素乘以各自的代数余子式再相加12/22/202226(共20页)定义定义1.10 n n阶行列式等于任意一行（列）的每一阶行列式等于任意一行（列）的每一个元与其代数余子式乘积的和个元与其代数余子式乘积的和,即即:分别称为行列式分别称为行列式D D按第按第i i行和第行和第j j列展开的列展开的展开式展开式.称上式为称上式为n阶行列式按第一列的阶行列式按第一列的展开式展开式.12/22/202228(共20页)例例.计算行列计算行列式式解：解：12/22/202229(共20页)将行

7、列式将行列式D D的行列互换的行列互换,得到的新行列式称为行得到的新行列式称为行列式列式D D的的转置行列式转置行列式,记为记为D DT T或者或者D,D,即若即若:a11 a22 a1na21 a22 a2nan1 an2 ann D=,则则DT=a11 a21 an1a12 a22 an2a1n a2n ann 1.3.2:行列式的性质行列式的性质12/22/202230(共20页)性质性质 1.7 行列式转置后行列式转置后,其值不变其值不变,即即DT=D.（行列式的行所具有的性质，对列也一定成立）（行列式的行所具有的性质，对列也一定成立）性质性质 1.8 互换行列式的两行互换行列式的两行

8、(列列),行列式只改行列式只改变符号变符号.（对不相邻的两行（对不相邻的两行(列列)也一样）也一样）推论推论 1.1 行列式有两行行列式有两行(列列)的对应元完全相同的对应元完全相同,则这个行列式为零则这个行列式为零.12/22/202231(共20页)性质性质 1.9 行列式中某一行行列式中某一行(列列)所有元的公因子所有元的公因子,可以提到行列式符号外可以提到行列式符号外(即此因子乘以行列式即此因子乘以行列式).a11 a22 a1na21 a22 a2nai1 ai2 ainan1 an2 ann a11 a22 a1na21 a22 a2nai1 ai2 ainan1 an2 ann

9、D=上式上式中中,将第二个行列式记为将第二个行列式记为12/22/202232(共20页)推论推论 1.2 如果行列式有一行如果行列式有一行(列列)的元全为零的元全为零,则行列式为零则行列式为零.推论推论 1.3 如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)的元对应成的元对应成比例比例,则行列式为零则行列式为零.12/22/202233(共20页)性质性质1.10 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)的元都是两项的和的元都是两项的和,则可以把这个行列式化为两个行列式的和则可以把这个行列式化为两个行列式的和,这两个行列式这两个行列式的这一行的这一行(列列)的元分别是原行列式中相应位置的两项的

10、第的元分别是原行列式中相应位置的两项的第一项和第二项一项和第二项,而其他位置的元不变而其他位置的元不变.12/22/202234(共20页)性质性质 1.11 行列式某一行行列式某一行(列列)的元与另一行的元与另一行(列列)对对应元的代数余子式的乘积之和为零应元的代数余子式的乘积之和为零,即即:12/22/202235(共20页)性质性质1.12 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)的元加上另的元加上另一行一行(列列)相应元的相应元的倍倍,则行列式不变则行列式不变,例如例如:以数以数乘以第乘以第i i行加到第行加到第j j行上行上(记作记作:ri+rj).).a11 a22 a1na2

11、1 a22 a2nai1 ai2 cinaj1 aj2 ajn D=an1an2ann a11 a22 a1n a21 a22 a2n ai1 ai2 cinaj1+ai1 aj2+ai2 ajn+ai1=an1 an2 ann12/22/202236(共20页)性质性质1.141.14 设设A,BA,B为为n n阶方阵阶方阵,则有则有:|AB|=|A|B|(|AB|=|A|B|(乘法定理乘法定理)行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵相乘的行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵相乘的情形情形,即即:（n为为A的阶数）的阶数）性质性质1.131.1312/22/202237(共20页)行列式及其性质行列式及其性质行列式的定义 行列式的性质小小 结结12/22/202238(共20页)作业：作业：P34-351.12(1),(4),(5).12/22/202239(共20页)