V跳过程引论(金融随机分析-南京理工大学,陈萍).pptx

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1、2021/9/112021/9/111V 跳过程引论 教师教师:陈陈 萍萍2021/9/112021/9/1125.1 Poission过程过程 计数过程计数过程计数过程计数过程定义定义 称一个随机过程称一个随机过程 是一个是一个计数计数计数计数过程过程(point process),(point process),若若N(t)N(t)满足满足:1)N(t)1)N(t)1)N(t)1)N(t)取非负整数值；取非负整数值；取非负整数值；取非负整数值；4）若）若s0t0和充分小的和充分小的 ，有，有 其中其中 为为 的高阶无穷小。的高阶无穷小。又称又称 为为Poission过程过程的强度系数的强度

2、系数易见易见易见易见，Poission过程是一个过程是一个Levy过程。过程。2021/9/112021/9/115定理定理5.1.15.1.1 若若N(t),t 0为为Poission过程，则过程，则利用定理利用定理5.1.1,可得到可得到Poission过程的等价定义过程的等价定义:即即定义定义5.1.45.1.4 计数过程计数过程N(t),t0称为具有参数称为具有参数(或强度或强度)的的Poission过程，如果过程，如果1 1）N(0)=0 N(0)=0，4 4）具有独立增量性，）具有独立增量性，3 3）此即此即2021/9/112021/9/1165.1.2 5.1.2 到达时间间隔

3、与到达时刻的分布到达时间间隔与到达时刻的分布到达时间间隔与到达时刻的分布到达时间间隔与到达时刻的分布设设N(t),tN(t),t 00为为泊泊松松过过程程，N(t)N(t)表表示示在在0,t0,t内内事事件件发发生生的的次次数数，令令 ，表表示示第第k k个个事事件件发发生生的的时时刻刻;表表示示第第k-1k-1个个事事件件与与第第k k个个事事件件发发生生的时间间隔，即的时间间隔，即先讨论到达时间间隔先讨论到达时间间隔 的的T Tk k分布分布.2021/9/112021/9/117定理定理5.1.3 到达时间间隔序列到达时间间隔序列到达时间间隔序列到达时间间隔序列 相互独立相互独立相互独立

4、相互独立同分布，且服从参数为同分布，且服从参数为同分布，且服从参数为同分布，且服从参数为 的指数分布的指数分布的指数分布的指数分布.定理定理5.1.3-5.1.4提供了提供了Poisson过程的参数估计过程的参数估计,假设检假设检验及轨道模拟方法验及轨道模拟方法.定理定理5.5.1.4 若计数过程若计数过程N(t),t 0的到达时间间隔序列的到达时间间隔序列 是是相相互互独独立立同同参参数数为为的的指指数数分分布布，则则 N(t),t 0是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程.-Poission过程的又一等价定义过程的又一等价定义要检验要检验要检验要检验N(t),tN(t),t 00是否为是否为

5、是否为是否为PoissonPoisson过程过程过程过程,可转化为检验可转化为检验可转化为检验可转化为检验相邻两次跳跃间隔时间相邻两次跳跃间隔时间相邻两次跳跃间隔时间相邻两次跳跃间隔时间 T Tn n=t=tn n ttn-1n-1,n,n 1 1 是否为指数分是否为指数分是否为指数分是否为指数分布总体的布总体的布总体的布总体的i.i.d i.i.d 样本样本样本样本.2021/9/112021/9/118参数参数参数参数 的极大似然估计的极大似然估计的极大似然估计的极大似然估计:一般地一般地一般地一般地,若从若从若从若从0 0时刻开始时刻开始时刻开始时刻开始,观察到观察到观察到观察到Pois

6、sonPoisson过程过程过程过程N(t),tN(t),t 00的一段样本轨道的一段样本轨道的一段样本轨道的一段样本轨道:1 1,n n的取值的取值的取值的取值:t t1 1tt2 2,t,0,并且并且 ，于是，于是(5.2.1)化为化为2021/9/112021/9/1115定理定理定理定理5.2.25.2.2 设设设设 yymm,m=1,M,m=1,M 是非零常数的有限集，是非零常数的有限集，是非零常数的有限集，是非零常数的有限集，pp(y(ymm),m=1,M),m=1,M 是总和为是总和为是总和为是总和为1 1的正数。如果定义的正数。如果定义的正数。如果定义的正数。如果定义5.2.1

7、5.2.1中中中中随机跳幅随机跳幅随机跳幅随机跳幅Y Yi i的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为p(ym),m=1,M，并且截至，并且截至时刻时刻t,Q中幅度为中幅度为ym的跳跃总数记作的跳跃总数记作Nm(t),则则 对照对照(5.2.3),其中的其中的 是强度为是强度为 的泊松过程。的泊松过程。于是有如下于是有如下“复合泊松过程的分解复合泊松过程的分解复合泊松过程的分解复合泊松过程的分解”定理：定理：定理：定理：其中过程其中过程N1(t),N2(t),NM(t)是两两独立的泊松过是两两独立的泊松过程，每个程，每个Nm(t)具有强度具有强度p(ym).p342021/9/112021/9

8、/11165.3 跳过程及其积分定理定理定理定理5.2.35.2.3设设设设Q(t)Q(t)是强度为是强度为是强度为是强度为 的复合泊松过程，则的复合泊松过程，则的复合泊松过程，则的复合泊松过程，则补偿复合泊松过程补偿复合泊松过程补偿复合泊松过程补偿复合泊松过程 是鞅。是鞅。是鞅。是鞅。定义定义5.3.1 设（设（,F F,P)是概率空间，是概率空间，F F(t),t 0是该是该空间上的一个域流。称空间上的一个域流。称Brown 运动运动B，泊松过，泊松过程程N或复合泊松过程或复合泊松过程Q是关于是关于F F(t)相关的相关的,如果对如果对每个每个t,B(t)，N(t)或或Q(t)关于关于F

9、F(t)可测，且对所有可测，且对所有ut,B(u)-B(t),N(u)-N(t),或或Q(u)-Q(t)关于关于F F(t)独立。独立。2021/9/112021/9/11175.3.1 跳过程我们希望定义随机积分我们希望定义随机积分其中其中-跳过程跳过程连续部分：连续部分：J(t)-适应的右连续纯跳过程适应的右连续纯跳过程右连续且在接连两右连续且在接连两次跳之间取常数值。如泊松过程或复合泊松过程。次跳之间取常数值。如泊松过程或复合泊松过程。2021/9/112021/9/1118记记关于关于X的积分定义为：的积分定义为：写成微分形式为：写成微分形式为：(5.3.1)2021/9/112021

10、/9/1119例例5.3.1 设设X(t)=M(t)=N(t)-t,其中其中N(t)是强度为是强度为的泊松过程，设的泊松过程，设(s)=N(s),则则因此因此注：与注：与Ito积分不同，此积分结果不是鞅！积分不同，此积分结果不是鞅！2021/9/112021/9/1120定理定理5.3.1 假定假定(5.3.1)中的跳过程中的跳过程X(t)是鞅，被是鞅，被积式积式(s)是左连续适应过程，并且是左连续适应过程，并且 则随机积分则随机积分 也是鞅。也是鞅。证明参见严加安证明参见严加安随机分析选讲随机分析选讲。注：由于注：由于X(t)的右连续性，由的右连续性，由(5.3.1)可见，可见，关于积分上限

11、关于积分上限t也是右连续的。也是右连续的。2021/9/112021/9/1121例例5.3.2 设设M(t)=N(t)-t,其中其中N(t)是强度为是强度为的泊松的泊松过程，设过程，设(s)=I 0,S1(s),截至首次发生跳的时刻，截至首次发生跳的时刻，取值为取值为1，之后，之后恒为恒为0.注意到注意到是左连续的，是左连续的，我们有我们有可证，此积分结果是鞅。可证，此积分结果是鞅。2021/9/112021/9/11225.3.2 二次变差取取记记定义定义X的二次变差定义为：的二次变差定义为：两个跳过程两个跳过程X1与与X2的交互变差定义为：的交互变差定义为：2021/9/112021/9

12、/1123定理定理5.3.2 设设其中其中是右连续纯跳过程。则是右连续纯跳过程。则并且并且进一步，进一步，(5.3.2)2021/9/112021/9/1124设另一跳过程设另一跳过程其中其中是右连续纯跳过程。则是右连续纯跳过程。则并且并且(5.3.3)2021/9/112021/9/1125利用微分记号，定理利用微分记号，定理5.3.2表明表明 即连续过程与纯跳过程的交互变差为即连续过程与纯跳过程的交互变差为0.推论推论5.3.2 Brown运动运动W与补偿泊松过程与补偿泊松过程M的交互变差为的交互变差为0.我们将由推论5.5.3知道：方程W,M(t)=0蕴含着W与M独立，从而W与N独立。因

13、此，相应于同一域流的Brown运动与泊松过程必定相互独立。2021/9/112021/9/11265.4 跳过程的随机分析5.4.1 关于单个跳过程的Ito公式对于对于Ito 公式公式:(5.4.1)(5.4.2)在在(5.4.1)中加入纯跳项，得中加入纯跳项，得2021/9/112021/9/1127在在J(t）的两次跳之间，仍有）的两次跳之间，仍有:(5.4.3)如果如果X发生从发生从X(t-)到到X(t)的跳跃，同常的跳跃，同常f(X)也发也发生从生从f(X(t-)到到f(X(t)的跳跃的跳跃.于是有如下于是有如下Ito公式：公式：2021/9/112021/9/1128(5.4.4)定

14、理定理5.4.1 设设X(t)是跳过程，是跳过程，,则则例例5.4.2(几何泊松过程）设几何泊松过程）设其中其中 是常数。求证：该过程是鞅。且是常数。求证：该过程是鞅。且2021/9/112021/9/11295.4.2 关于多个跳过程的Ito公式推论推论5.4.3 设设W(t)是是Brown运动，运动，N(t)是强度为是强度为的泊松过程，它们定义在同一概率空间且相应的泊松过程，它们定义在同一概率空间且相应于同一域流于同一域流F F(t),则则W(t)和和N(t)是独立的。是独立的。定理定理5.4.4（二维形式）设（二维形式）设X1(t)和和X2(t)是跳过程，是跳过程，函数函数f(t,x1,

15、x2)出现在以下公式中的一阶和二阶偏出现在以下公式中的一阶和二阶偏导数存在且连续。则导数存在且连续。则2021/9/112021/9/1130推论推论5.4.5（跳过程的（跳过程的Ito乘积法则）设乘积法则）设X1(t)和和X2(t)是跳过程，则是跳过程，则(5.4.11)2021/9/112021/9/1131推论推论5.4.6 设设X(t)是跳过程。则是跳过程。则PDE的解为的解为(5.4.15)过程过程(5.4.16)称为称为X的的Doleans-Dade指数。指数。(5.4.16)2021/9/112021/9/11325.5 测度变换5.5.1 关于泊松过程的测度变换设设N(t)是概

16、率空间是概率空间(,F F,P)上相应于域流上相应于域流F F(t),t 0的泊松过程。其强度为的泊松过程。其强度为。设。设 是另一个正数，是另一个正数，定义定义(5.5.1)令令(5.5.2)定理定理5.5.1 是概率测度，且在是概率测度，且在 下。过程下。过程N(t),0 t T是强度为是强度为 的泊松过程。的泊松过程。2021/9/112021/9/1133其中其中 ,N(t)是真是测度是真是测度P下强度为下强度为的泊的泊松过程。取松过程。取例例 5.5.2 设股票价格满足几何泊松过程：设股票价格满足几何泊松过程：(5.5.3)然后利用然后利用(5.5.1)-(5.5.2)变换测度，则在

17、变换测度，则在 下，下，有有设设2021/9/112021/9/11345.5.2 关于复合泊松过程的测度变换其中随机跳幅其中随机跳幅其中随机跳幅其中随机跳幅Y Yi i的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为p(ym),m=1,M，并且，并且截至时刻截至时刻t,Q中幅度为中幅度为ym的跳跃总数记作的跳跃总数记作Nm(t),则则 根据根据定理定理定理定理5.2.25.2.2过程过程N1(t),N2(t),NM(t)是两两独立是两两独立的泊松过程，每个的泊松过程，每个Nm(t)具有强度具有强度p(ym).设复合泊松过程设复合泊松过程给定正数给定正数2021/9/112021/9/1135定义定义

18、(5.5.4)令令(5.5.5)定理定理5.5.2 是概率测度，且在是概率测度，且在 下。过程下。过程Q(t),0 t T是强度为是强度为 的复合泊松过程，的复合泊松过程，并且并且Y1,YM是独立同分布的随机变量，满足是独立同分布的随机变量，满足2021/9/112021/9/1136更一般地，如果更一般地，如果更一般地，如果更一般地，如果Y Yi i具有同一密度具有同一密度具有同一密度具有同一密度f(y)，我们可以利用，我们可以利用拉东拉东-尼可迪姆导数过程尼可迪姆导数过程进行测度变换，使得进行测度变换，使得Q(t)具有强度具有强度 ，并且，并且Y1,Y2,具有密度具有密度 .2021/9/

19、112021/9/11375.5.35.5.3关于复合泊松过程和关于复合泊松过程和BrownBrown运动的测度变换运动的测度变换 考虑概率空间考虑概率空间(,F F,P)，其上定义，其上定义Brown运动运动W(t)，同时定义一强度为，同时定义一强度为，跳跃密度为，跳跃密度为f(y)的复的复合泊松过程合泊松过程。假设假设Brown运动和复合泊松过程相应于同一域运动和复合泊松过程相应于同一域流流F(t),t 0.此时，此时，Brown运动与复合泊松过程运动与复合泊松过程必独立。必独立。设设 是另一个正数，是另一个正数，是另一个概率密度，满是另一个概率密度，满足当足当f(y)=0时，时，并设，并设(t)是一个适过程。是一个适过程。2021/9/112021/9/1138定义定义(5.5.6)令令(5.5.7)(5.5.8)2021/9/112021/9/1139定理定理5.5.23 是概率测度，且在是概率测度，且在 下。过程下。过程 是是Brown运动，运动，Q(t)是强度为是强度为 的复合泊松过程，的复合泊松过程，Q(t)的跳跃度的跳跃度Y1，Y2,是独立同分布的随机变是独立同分布的随机变量，具有密度量，具有密度 。并且，。并且，独立于独立于Q(t).