1.4 行列式按行(列)展开.ppt

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1、1.4行列式按行（列）展开定义定义1：在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素的的 余子式。余子式。记为记为称称为元素为元素的代数余子式。的代数余子式。例如：例如：注：注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。代数余子式。注：元素的余子式（代数余子式）只与它的位置有关，与它本身的值，还有第i行，第j列上的其他任何元素无关v定理定理1行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式之和v或v推论推论行列式一

2、行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即v或综上，得公式综上，得公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个简化计算，因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个（个（n1）阶行列阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。在理论上是重要的。v例例1证明范德蒙德（Vander-monde）行列式v证证对行列式阶数用

3、数学归纳法当时，v结论成立假设对阶范德蒙德行列式结论成立，往证阶范德蒙德行列式也成立v从第行开始，后行减前行的倍，得v按第1列展开，并提出每一列的公因子，v有v上式右端的行列式是一个阶范德蒙德行列式，由归纳法假设，它等于所有因子的乘积，其中，即v例2计算如下“两边加一对角”型行列式：v解：例例计算解解v练习：用降阶法（按行练习：用降阶法（按行按列展开）按列展开）v 计算行列式的值。计算行列式的值。=57v总结：v1、定义法：“0”巨多（很少用）v2、化三角形法：v(a)行（列）和相等，如P15：例3，P16例4，P23：例3,(1)，P24：例4,P38:10(2),P39:14（5）;v(b

4、)三条线型行列式：爪型（P41,4（3），两对一边（P38，14（4），三对角线型（如P25，例6）.v3、降阶法：v(a)直接根据行列式的性质将某一行元素化成尽可能多的“0”，然后展开（P23：例3,(2)）;v(b)归纳法：如P26：例7(范德蒙德行列式);v(c)递推法，如P25：例6.v注：v1、对于行（列）和相等的行列式，我们通常把第二行到第n行都加到第一行(列)上去，使得第一行（列）的元素都相等，然后提公因子。v2、我们在计算行列式时首先要观察它的结构再计算（P37:8（2），（5）&1.5克拉默法则v对于二元一次方程组 当系数行列式时,有惟一解，我们知道，二元一次方程组的解可以用

5、行列我们知道，二元一次方程组的解可以用行列式表示，那么含有式表示，那么含有 n 个未知量个未知量x1,x2,xn 的的 n 个线性方程个线性方程 的方程组的方程组的解能否用行列式表示的解能否用行列式表示呢？呢？回答是肯定的，即有回答是肯定的，即有设含有个未知数，个方程的线性方程组为(2)阶行列式称为方程组(2)的系数行列式v定理定理1（克拉默法则）（克拉默法则）若线性方程组(2)的系数行列式，则方程组有惟一解(3)其中是将系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即例例1解四元线性方程组解四元线性方程组 解解 系数行列式系数行列式 于是得于是得 注注:1、利用克拉默法则

6、求解时，这个方程组必须满足两、利用克拉默法则求解时，这个方程组必须满足两个条件个条件:(a)方程组中方程的个数必须与未知量的方程组中方程的个数必须与未知量的个数相等，（个数相等，（b）系数行列式不为零。）系数行列式不为零。2、理论意义：克拉默法给出了解与系数的明显关系。理论意义：克拉默法给出了解与系数的明显关系。但用此法则求解线性方程组计算量大。但用此法则求解线性方程组计算量大。3.撇开求解公式撇开求解公式Cramer法则可叙述为下面定理：法则可叙述为下面定理：定理定理2：如果线性方程组如果线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 则则(2)(2)一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一

7、的 .定理定理 2：如果线性方程组如果线性方程组(2)(2)无解或有两个不同的解，无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零.例例2解方程组解方程组解解 系数行列式系数行列式于是得于是得线性方程组线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组。此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组。齐次线性方程组。非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念:对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组x1=x2=xn=0 一定是它的解一定是它的解。称为齐次方程组。称为齐次方程组(4)的零解。的零解。如果一组不全为零的数是如果一组不全为零的数是(4)的

8、解，则叫做齐次的解，则叫做齐次方程组的非零解。方程组的非零解。方程组方程组(4)一定有零解，但不一定有非零解。一定有零解，但不一定有非零解。定理定理3：如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解。则齐次线性方程组没有非零解。定理定理 3：如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(4)有非零解，则它的系数行有非零解，则它的系数行列式列式 D 必为必为0。例如：例如：系数行列式系数行列式D=0 是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。系数行列式系数行列式有非零解有非零解.v例例3问取何值时，齐次线性方程组有非零解v解解

9、由定理6可知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，而由，解得、或不难验证，当、或时，原齐次线性方程组确有非零解思考题思考题:当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默能否用克拉默法则解方程组法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?解答解答:不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.v作业：P39：15（5）、17、18v克莱姆（Cramer,Gabriel,17041752）瑞士数学家,于1704年7月31日生于日内瓦。1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学

10、教授。他自1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。第2章矩阵2.1矩阵的概念1.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于系数系数常数项常数项一、矩阵概念的引入对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为网上购物既省钱又省力，以当当网为例，当当网需要从

11、北京,上海,广州,发同一种商品给四个人，三个人居住在不同的的城市，那么我们有多少种方呢？二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表称为称为 维维矩阵矩阵.简称简称 矩阵矩阵.记作记作简记为简记为元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.例如例如是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行元素的矩阵只有一行元素的矩阵称为称为行矩阵行矩阵(或或行

12、向量行向量).方阵方阵.也可记作也可记作主主对角线对角线副副(反反)对角线对角线只有一列元素的矩阵只有一列元素的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).全为零的方阵称为全为零的方阵称为上三角矩阵上三角矩阵。称为称为对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵）.（4）形形如如 的的方方阵阵,全为零的方阵称为全为零的方阵称为下三角矩阵下三角矩阵。记作记作(5)数数(纯纯)量矩阵（标量矩阵）量矩阵（标量矩阵）称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.有时也记作有时也记作E E.全为全为1为为数量矩阵数量矩阵或或标量阵标量阵。当当 时，记作时，记作 （6）元素全为零

13、的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .注意注意不同阶数的零矩阵是不不同阶数的零矩阵是不“相等相等”的的.例如例如矩阵棣属关系矩阵棣属关系:单位阵单位阵数量阵数量阵对角阵对角阵三角阵三角阵方阵方阵矩阵。矩阵。2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同维矩阵同维矩阵,并并且对应元素相等且对应元素相等,即即则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作例如例如为为同维矩阵同维矩阵.同维矩阵同维矩阵与与矩阵相等矩阵相等的概念的概念 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同维矩阵维矩阵.例例1 设设解解三、小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念(2)特殊矩阵特殊矩阵方阵方阵上（下）三角阵上（下）三角阵单位矩阵单位矩阵;对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵;零矩阵零矩阵.行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;思考题思考题解答矩阵是对角阵。答：错答：错