大学物理刚体力学基础.ppt

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1、3-1刚体刚体刚体的定轴转动的描述刚体的定轴转动的描述刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。当物体自身线度当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围与所研究的物体运动的空间范围r相比不相比不可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体的空间方位时，我们可以引入刚体模型。的空间方位时，我们可以引入刚体模型。刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。的质点系。质点模型基本上只能表征物体的平动特征。质点模型基本上只能表征物体的平动特征

2、。平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂运动都可以看成平动与转动的合成。运动都可以看成平动与转动的合成。本节讨论转动中最简单的运动定轴转动。本节讨论转动中最简单的运动定轴转动。一、一、刚体刚体二、二、刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运动，这种运动称之为转动。动，这种运动称之为转动。该直线称为该直线称为转轴。转轴。若转动轴固定不动，即既不能改若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴为变方向又不能平移，这个转轴为固固定

3、轴定轴，这种转动称为，这种转动称为定轴转动定轴转动。我们只讨论定轴转动。我们只讨论定轴转动。OZ、转动瞬轴、定轴转动、转动瞬轴、定轴转动若转轴的方向或位置在运动若转轴的方向或位置在运动过程中变化，这个轴在某个时过程中变化，这个轴在某个时刻的位置称为该时刻的刻的位置称为该时刻的转动瞬转动瞬轴。轴。垂直于转动轴的平面为垂直于转动轴的平面为转动平面。转动平面。）角量描述：）角量描述：角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部运动，因此前面关于

4、质点圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。可用。以转动平面与轴的交点为原点，以转动平面与轴的交点为原点，任引一射线为极轴，原点引向考察任引一射线为极轴，原点引向考察点的矢径与极轴的夹角点的矢径与极轴的夹角 为角位置，为角位置，并引入并引入 0 x 2、定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述)刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点所有质点的角量都相同所有质点的角量都相同；质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比。一、力矩一、力矩1、力对固定点的力矩、力对固定点的力矩1）定义：作用于质点的力对）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，惯性系中某参考点的力矩，等于力

5、的作用点对该点的位等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即矢与力的矢积，即力矩是矢量，力矩是矢量，M 的方向垂直于的方向垂直于r和和F所决定的平面，其指向所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。用右手螺旋法则确定。2）力矩的单位、）力矩的单位、牛牛米米(Nm)o m3-2力矩力矩刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律3）力矩的计算：）力矩的计算：M 的大小、方向均与参考点的选择有关的大小、方向均与参考点的选择有关在直角坐标系中，其表示式为在直角坐标系中，其表示式为力矩在力矩在x,y,z轴的分量式，称轴的分量式，称力对轴的矩。力对轴的矩。例如上面所列例如上面所列x ,My,Mz,即为力对轴

6、、轴、轴的矩。即为力对轴、轴、轴的矩。、力对轴的矩：、力对轴的矩：设力设力 的作用线就在的作用线就在Z轴轴的转动平面内，作用点到的转动平面内，作用点到轴的位矢为轴的位矢为r，则力对轴，则力对轴的力矩为的力矩为式中式中 为力为力F到轴的距离到轴的距离若力的作用线不在转动在平面内，若力的作用线不在转动在平面内，则只需将力分解为与轴垂直、平行则只需将力分解为与轴垂直、平行的两个分力即可。的两个分力即可。rF1.1.力对固定点的力矩为零的情况：力对固定点的力矩为零的情况：力力F等于零，等于零，力力F的作用线与矢径的作用线与矢径r共线（力共线（力F F的作用线穿过的作用线穿过0 0点点,即，有心即，有心

7、 力对力心的力矩恒为零）。力对力心的力矩恒为零）。2.2.力对固定轴的力矩为零的情况：力对固定轴的力矩为零的情况：有两种情况,B）力的方向沿矢径的方向（）有心力的力矩为零有心力的力矩为零A)3.质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零二、刚体定轴转动的转动定律：二、刚体定轴转动的转动定律：刚体绕定轴转动，在刚体上取一质元 ，绕轴作半径 的圆周运动，作用在质点上的合力矩由牛顿第二定律可知则质点所受力矩对刚体所受所有力矩求和得：由于刚体各质点相对轴距离不变，令2、刚体定轴转动的转动定理、刚体定轴转动的转动定理作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的

8、力矩之作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。转动定律说明了转动定律说明了 J是物体转动惯性大小的量度。因为：是物体转动惯性大小的量度。因为：即即 J 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，就越大；反之，J越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。的能力越弱

9、，或者说转动惯性越小。如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若若 受力和力矩一样，谁转动得快些呢？受力和力矩一样，谁转动得快些呢？MM转动惯量计算举例：转动惯量计算举例：转动惯量的单位：千克转动惯量的单位：千克米米2（kgm2）4、转动惯量的计算、转动惯量的计算对于单个质点对于单个质点质点系质点系若物体质量连续分布若物体质量连续分布，解(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直例如图所示，求质量为例如图所示，求质量为m，长为，长为l的均匀细棒的转动惯量：的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并

10、与棒垂直转轴通过棒一端并与棒垂直.在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴O的距离为x，设棒的线密度(即单位长度上的质量)为，则该质元的质量dmdx.该质元对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.解(1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为例设质量为例设质量为m m，半径为，半径为R R的细圆环和均匀圆盘分

11、别绕通过各自中心并与圆的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.则整个圆盘对中心轴的转动惯量为(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如图2.36(b)所示，其面积为dS2rdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)，则小圆环的质量dmdS2rdr，该小圆环对中心轴的转动惯量为以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量不同.(2)质量元的选取：质量元的选取：线分布线分布面分布面分布 体分布体分布 (

12、1)刚体的转动惯量刚体的转动惯量以上各例说明：以上各例说明：线分布线分布体分布体分布面分布面分布与刚体的总质量有关，与刚体的总质量有关，与刚体的质量分布有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。与轴的位置有关。(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。例如图例如图(a)所示，质量均为所示，质量均为m的两物体的两物体A，B.A放在倾角为放在倾角为的光滑的光滑斜面上，通过定滑

13、轮由不可伸长的轻绳与斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连相连.定滑轮是半径为定滑轮是半径为R的圆盘，的圆盘，其质量也为其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力求绳中张力和和及物体及物体的加速度的加速度a(轮轴光滑轮轴光滑).解物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分别由牛顿定律得对定滑轮，由转动定律得由于绳不可伸长，所以联立式，得例转动着的飞轮的转动惯量为例转动着的飞轮的转动惯量为J，在，在t0时角速度为时角速度为.此后飞轮经历制此后飞轮经历制动过程，阻力矩动过程，阻力矩M的大小与角速度的大小与角速度的平方成正比

14、，比例系数为的平方成正比，比例系数为k(k为大于为大于零的常数零的常数)，当，当 时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？历的时间是多少？解(1)由题知 ，故由转动定律有 即将 代入，求得这时飞轮的角加速度为(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即分离变量，并考虑到t0时，两边积分故当 时，制动经历的时间为1、转动动能、转动动能可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。乘积的一半。注意比较注意比较转动动能转动动能平动动能平动动能i质点的动能质点的

15、动能整个刚体的动能整个刚体的动能对对i 求和求和3-3刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理2、力矩的功、力矩的功对于对于i 质点其受外力为质点其受外力为Fi，对对i 求和，当整个刚体转动求和，当整个刚体转动d ，则力矩的元功，则力矩的元功式中式中M 为作用于刚体上外力矩之和为作用于刚体上外力矩之和-其表明：其表明：力矩的元功等于力矩的元功等于力矩与角位移之乘积力矩与角位移之乘积（内力矩之和为零）内力矩之和为零）当刚体转过有限角时，力矩的功为当刚体转过有限角时，力矩的功为3、刚体定轴转动的动能定理：、刚体定轴转动的动能定理：力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。力矩对刚体所做的功，

16、等于刚体转动动能的增量。4、刚体的势能、刚体的势能其中其中m为刚体的总质量为刚体的总质量,yc为刚体质心的高度。为刚体质心的高度。质量分布均匀而有一质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心的位置为它的几何中心。心。OXY miMC例如图所示，一根质量为例如图所示，一根质量为m m，长为，长为l l的均匀细棒的均匀细棒OAOA，可绕固定点，可绕固定点O O在竖直平在竖直平面内转动面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成3030角角时中心点时中心点C C和端点和端点A A的速度的速度.解棒

17、受力如图2.39所示，其中重力G对O轴的力矩大小等于 ，是的函数，轴的支持力对O轴的力矩为零.由转动动能定理，有等式左边的积分为重力矩的功.即式中是棒的质心所在处相对棒的质心C在最低点(即棒在竖直位置处)的高度.则中心点C和端点A的速度分别为将 及代入式，得3-4刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律一、一、质点的角动量质点的角动量在质点的匀速圆周运动中，动量在质点的匀速圆周运动中，动量mv 不守恒，但不守恒，但角动量的引入：角动量的引入：开普勒行星运动定律的面积定律开普勒行星运动定律的面积定律许多实例都说明许多实例都说明 是一个独立的物理量，是一个独立的

18、物理量，再考虑到行星的质量再考虑到行星的质量m为恒量，为恒量，在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量角动量引入一个新的物理量角动量 L，来描述这一现象。，来描述这一现象。卫星卫星地球地球+、质点对固定点的角动量、质点对固定点的角动量动量为动量为mv 的质点，对惯性系内的质点，对惯性系内某参考点某参考点0的角动量，等于质点对的角动量，等于质点对该参考点的位矢该参考点的位矢r 与其动量与其动量mv 的的矢积。矢积。角动量是矢量，角动量角动量是矢

19、量，角动量L 的方向垂直于的方向垂直于r 和和mv 所组成的平所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。面，其指向可用右手螺旋法则确定。注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L 画在画在参考点上。参考点上。L 的大小为 L角动量的单位是：千克角动量的单位是：千克米米2秒秒-1(kgm2s-1)。当质点作圆周运动时当质点作圆周运动时,有有v=r,且且r与与v 互相垂直，互相垂直，故有故有 是相对量：是相对量：与参照系的选择有关，与参照系的选择有关，与参考点的选择有关与参考点的选择有关Lr mv=m r2 角动量的定义并没有限定质点只能作曲

20、线运动而不能作直线角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。运动。2、质点对轴的角动量、质点对轴的角动量 假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r，则质点对，则质点对z 轴的角动量为轴的角动量为 ，方向沿，方向沿 z 轴，轴，可正、可负可正、可负质点动量不在转动平面内，则只质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量在转动平面内的分量；需考虑动量在转动平面内的分量；或运用坐标分量式求得：或运用坐标分量式求得：质点的角动量定理质点的角动量定理、对点的角动量定理（微分形式）、对点的角动量定理（微分形式）若用若用r 叉乘牛顿定律叉乘

21、牛顿定律即即式中式中r 是质点对参考点是质点对参考点o的位矢。的位矢。又又于是有于是有或或即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。此即质点对固定点的角动量定理。、角动量定理的积分形式：、角动量定理的积分形式：叫冲量矩叫冲量矩 *：M 和和L 必须是对同一点而言必须是对同一点而言a、对点的角动量守恒律、对点的角动量守恒律若若 ，则，则 质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。角

22、动量守恒定律。外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律b、对轴的角动量守恒律：、对轴的角动量守恒律：若若Mz=0，则则Lz=常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。二、二、质点系的角动量定理质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理、质点系对固定点的角动量定

23、理i质点对固定点质点对固定点O的角动量定理的角动量定理设有一质点系，共有设有一质点系，共有n个质点，其第个质点，其第i个质点受力为个质点受力为则则i质点对固定点质点对固定点o的角动量定理为的角动量定理为对对i求和求和质点系对固定点质点系对固定点O的角动量定理的角动量定理由于内力成对出现，每对内力对由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零，于是有力矩之总和为零，于是有（i)内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理相似）相似）(iii)质点系对固定点的角动量定理的物理意义：质点系对固定点的角

24、动量定理的物理意义：质点系对质点系对o点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。矩的矢量和。(ii)在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能先求合力，再求合力矩。只能说外力矩之和不能说合外力之先求合力，再求合力矩。只能说外力矩之和不能说合外力之矩。矩。2、质点系对轴的角动量定理、质点系对轴的角动量定理如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的

25、角动量定理。式中式中ri 为为i 质点到质点到z 轴的距离，轴的距离，i 是是vi 与与ri 间的夹角。间的夹角。若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度 作圆周运动，作圆周运动，则这时则这时则有则有为简单记只讨论沿为简单记只讨论沿z轴的角动量定理轴的角动量定理这时组成质点系的这时组成质点系的n个质点位于个质点位于z轴的转动平面内，于是有轴的转动平面内，于是有将其与线动量将其与线动量相比相比m 表示物体的平动惯性，则表示物体的平动惯性，则J 表示转动惯性，故将表示转动惯性，故将命名为对轴的命名为对轴的转动惯量，转动惯量，（式中（式中ri 为为mi 到

26、轴的距离）到轴的距离）即：即：若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度 作作圆周运动，则这时系统对轴的角动量为圆周运动，则这时系统对轴的角动量为此时质点系对轴的角动量定理为此时质点系对轴的角动量定理为1、对轴的角动量定理、对轴的角动量定理已知质点对轴的角动量定理的积分形式为已知质点对轴的角动量定理的积分形式为可以证明，这个结论对刚体定轴转动同样成立，同时考虑到可以证明，这个结论对刚体定轴转动同样成立，同时考虑到即：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内角动即：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的增量。这一关系称刚体的角动量定理。

27、量的增量。这一关系称刚体的角动量定理。三、三、刚体组对轴的角动量定理及其守恒定律刚体组对轴的角动量定理及其守恒定律2、定轴转动的角动量守恒、定轴转动的角动量守恒若若 Mz外外0 0，若外力对轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对轴的角若外力对轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对轴的角动量守恒，动量守恒，称之为刚体对轴的角动量守恒定律。称之为刚体对轴的角动量守恒定律。若为刚体，当角动量守恒时，因若为刚体，当角动量守恒时，因J常数，则常数，则 亦为常数，亦为常数，这与转动定律是一致的。这与转动定律是一致的。3、物体组内各质点以相同角速度、物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动时的角动量守恒绕同一轴转动时

28、的角动量守恒J可变，可变，亦可变，但仍有亦可变，但仍有J=常数，故有常数，故有4、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒总角动量总角动量 解此题可分解为三个简单过程：(1)棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰.此过程机械能守恒.以棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点，则有例如图，质量为例如图，质量为m，长为，长为l的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴O转动转动.现将棒拉到水平位置现将棒拉到水平位置(OA)后放手，棒下摆到竖直位置后放手，棒下摆到竖直位置(OA)时，与静止时，与静止放置在水平面放置在水平面A处的质量为

29、处的质量为M的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离向右滑行了一段距离s后停止后停止.设物体与水平面间的摩擦系数设物体与水平面间的摩擦系数处处相同，处处相同，求证求证(2)棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动量守恒(并非动量守恒)和机械能守恒，设碰撞后棒的角速度为，物块速度为v，则有(3)碰撞后物块在水平面滑行，其满足动能定理联立以上四式，即可证得：平平 动动 转转 动动 动量 角动量 动量定理 角动量定理 动量守恒定律 角动量守恒定律 动能定理 动能定理 机 械 能 守 恒 定 律 条件：（或只有保守力作功）质点平动与刚体定轴转动的对应关系质点平动与刚体定轴转动的对应关系